선택형 16문항(65점)과 서답형 4문항(35점)으로 짜인 100점 만점 시험. 삼각비 51점 + 원의 성질 49점으로 두 대단원을 정확히 반씩 나눠 출제했고, 원과 직선이 41점으로 단일 최대 비중을 차지한다. 5점 이상 고배점이 전부 「직각삼각형을 하나 만들어 피타고라스로 닫는」 구조여서, 그림 위에 보조선을 그을 수 있는지가 점수를 갈랐다.
2022학년도 칠곡중학교 3학년 2학기 1차지필(중간)고사 · 9월 30일(금) 3교시 · 2장 4면 구성
삼각비 11문항 51점, 원의 성질 9문항 49점 — 두 대단원을 거의 정확히 반으로 나눈 균형 배분
이번 시험의 변별력을 만드는 축
11·12·14·16번과 서답형3(8점)은 소재가 전부 다르지만, 결국 중심에서 현에 내린 수선이 만드는 직각삼각형 하나로 수렴한다. 11번은 반지름 r과 (9−r)로 방정식을, 12번은 두 현의 길이가 같으면 중심에서의 거리도 같다는 역명제를, 서답형3은 평행하고 길이가 같은 두 철사가 중심을 사이에 두고 3cm씩 떨어져 있음을 읽어야 한다.
2번(5점)은 sin B=5/13과 OH=4에서 OB를 거꾸로 뽑아 기울기 a와 절편 b를 복원하고, 10번(5점)은 sin(∠DAC)=√3/3에서 AC=√6을 되찾아 tan(∠BAD)로 넘어간다. 15번은 색칠한 넓이 32π에서 R²−r²=32를, 서답형4(10점)는 AB=6cm에서 반지름 1을 역산한다. 주어진 것이 값이고 구하는 것이 길이라는 방향이 공통이다.
서답형1(9점)은 정사각뿔에서 CD·BE의 중점 M, N을 잇는 단면을 세워 AM=AN=5√3, MN=10인 이등변삼각형을 만들어야 sin·cos·tan 세 값이 한꺼번에 나온다. 서답형2(8점)는 호의 길이(4π)와 현의 길이(6√3)를 서로 다른 단위 감각으로 더해 둘레를 완성한다.
13번은 반원에 AD·BC·CD가 모두 접할 때 CD=AD+BC=15가 되는 성질을, 서답형4는 점 A에서 원 O₂에 그은 접선이 만드는 AP=2√6과 sin θ=1/5를 이용해 원 O₁을 자르는 현 CD=8/5를 구한다. 두 문항 모두 접점에서 반지름이 수직이라는 한 줄이 출발점이다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
넓이 32π에서 R²−r²=32를 얻으면 √32=4√2가 나오는데, 이는 현의 절반이다. 답은 두 배인 8√2cm. 실제 시험지에도 4√2(①)에 표시가 남아 있어 가장 빈번한 오답으로 보인다. 「구하라는 것이 반인가 전체인가」를 문제 문장에서 되짚어야 한다.
tan(∠BAD)를 tan(∠BAC)−tan(∠DAC)로 계산하면 √2−1/√2=√2/2가 되어 오답이다. 삼각비는 각에 대해 선형이 아니다. AC=√6, BC=2√3을 실제 길이로 복원한 뒤 D에서 다시 직각삼각형을 잡아 √2/4를 얻어야 한다.
넓이 공식에 sin135°를 넣어야 하는데 sin45°와 혼동하면 부호·값은 같아도 논리가 무너지고, cos135°로 잘못 잡으면 값 자체가 달라진다. 둔각은 보각으로 바꾼 뒤 높이를 삼각형 밖에서 재는 그림을 반드시 그린다. 답은 4√2cm².
sinx=0.7880, cosy=0.6561, tanz=1.3270은 각각 52°·49°·53°다. 세로 열(sin/cos/tan)을 확인하지 않고 가장 가까운 숫자만 찾으면 0.7880을 49°의 0.7547 근처로 흘려보내기 쉽다. 3점짜리 무실점 문항이므로 열부터 손가락으로 짚고 읽는다.
등변사다리꼴이므로 BC=AD+2×5cos60°=4+5=9cm다. 양쪽에서 각각 2.5cm씩 삐져나온다는 것을 놓치면 넓이가 통째로 달라진다. 높이 5sin60°=5√3/2와 함께 정리해 65√3/4cm²(④).
서답형 2·3·4는 <조건>에 「풀이 과정과 답을 적을 것」, 서답형1은 「sin·cos·tan을 모두 구하고 각각의 풀이 과정과 답을 적을 것」이 명시돼 있다. 안내문에도 부분점수가 있을 수 있음이라 적혀 있으므로, 답이 막혀도 세운 식·그린 보조선까지는 반드시 남겨야 한다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
중심·현·수선·접점을 표시한 기본 도식 두 개(현형·접선형)를 손으로 20회 반복해 자동화한다. 11·12·14·16번과 서답형3·4가 모두 이 도식에서 3분 안에 끝나며, 이것만으로 41점 중 최소 30점을 확보할 수 있다.
sin·cos·tan 값이 주어지는 순간 「빗변·밑변·높이」를 정수 또는 근호로 채운 삼각형을 여백에 따로 그리는 습관을 들인다. 2번(5점)·10번(5점)·서답형2(8점)가 이 한 동작에 걸려 있어 총 18점이 직결된다.
서답형1은 sin·cos·tan을 각각 채점하므로 세 값 중 두 개만 맞아도 점수가 남는다. ⓐ 보조선·단면 그리기 → ⓑ 길이 확정 → ⓒ 비 계산 순서로 번호를 매겨 쓰면, 마지막 계산이 틀려도 앞 단계 점수를 지킬 수 있다. 최고배점 서답형4(10점)는 반지름 1 확정까지만 써도 첫 단계 점수를 받는다.
5·12·16번과 1·4·6번처럼 단일 개념 문항은 전체의 21점이다. 이 구간에서 검산까지 끝내고 남긴 시간을 서답형4와 14번(5점) 최댓값 판단에 투입하는 시간 배분이 실전 총점을 좌우한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 삼각비의 뜻 | 직각삼각형에서 cos A 구하기 | 4 | 하 | ② | AB=3, BC=2 → AC=√5. cos A=AC/AB=√5/3 |
| 2 | 삼각비 활용 | 좌표평면 직선과 원점에서의 수선, a+b | 5 | 상 | ③ | sin B=OH/OB → b=OB=52/5, cos B=12/13로 OA=13/3, a=b/OA=12/5 → a+b=64/5 |
| 3 | 삼각비의 뜻 | 사분원에서 OD를 삼각비로 표현 | 4 | 중 | ⑤ | △ODB에서 OD=OB/cos x°=1/cos x°, y°=90°−x°이므로 1/sin y° |
| 4 | 삼각비의 뜻 | 세 각의 비 1:2:3, 특수각 계산 | 4 | 하 | ② | 30°·60°·90° → tan30+sin60+cos90=√3/3+√3/2=5√3/6 |
| 5 | 삼각비의 뜻 | 삼각비표에서 세 각 찾아 합 구하기 | 3 | 하 | ④ | x=52°, y=49°, z=53° → 합 154° |
| 6 | 삼각비의 뜻 | 특수각 사칙연산 | 4 | 하 | ② | (1/√3)÷(√3/2) − 1×(1/2) = 2/3 − 1/2 = 1/6 |
| 7 | 삼각비 활용 | 호수 위 섬까지의 높이(실생활 30°·45°) | 4 | 중 | ① | √3h+h=20 → h=20/(√3+1)=10(√3−1) |
| 8 | 삼각비 활용 | 등변사다리꼴의 넓이(∠B=60°) | 5 | 상 | ④ | 높이 5sin60°=5√3/2, BC=4+2·5cos60°=9 → (4+9)/2×5√3/2=65√3/4 |
| 9 | 삼각비 활용 | 둔각(135°)을 낀 삼각형의 넓이 | 4 | 중 | ① | ½·4·4·sin135°=8×√2/2=4√2 (보각 45°로 높이 계산) |
| 10 | 삼각비 활용 | BD=CD 조건에서 tan(∠BAD) | 5 | 상 | ① | sin∠DAC=√3/AD=√3/3 → AC=√6. tan∠BAC=√2, tan∠DAC=1/√2 → tan∠BAD=√2/4 |
| 11 | 원과 직선 | 현의 수직이등분선으로 반지름 구하기 | 4 | 중 | ⑤ | 중심은 PQ 위. r²=(9−r)²+3² → 18r=90 → r=5cm |
| 12 | 원과 직선 | 길이가 같은 두 현과 중심거리 | 3 | 하 | ④ | 아래 현도 7×2=14cm로 위 현과 같음 → 중심거리도 같다 → x=5 |
| 13 | 원과 직선 | 반원의 세 접선, OA의 길이 | 4 | 중 | ② | CD=AD+BC=15, DH=√(15²−5²)=10√2=AB → OA=AB/2=5√2cm |
| 14 | 원과 직선 | 현 AB 위 삼각형 넓이의 최댓값 | 5 | 상 | ⑤ | 중심거리 √(10²−6²)=8, 최대 높이 8+10=18 → ½·12·18=108cm² |
| 15 | 원과 직선 | 동심원에서 색칠한 넓이 32π와 AB | 4 | 중 | ⑤ | π(R²−r²)=32π → R²−r²=32. 반현 4√2 → AB=8√2cm |
| 16 | 원과 직선 | 중심에서 거리가 같은 두 현과 각 x | 3 | 하 | ③ | 두 현이 같은 길이 → 이등변삼각형, 꼭지각 40° → x=(180−40)/2=70 |
| 서답형 1 | 삼각비 활용 | 정사각뿔 단면에서 sin·cos·tan 모두 구하기 | 9 | 상 | √6/3, √3/3, √2 | AM=AN=5√3, MN=10인 이등변삼각형. cos x=5/5√3=√3/3, sin x=√6/3, tan x=√2 |
| 서답형 2 | 원주각 | ∠ABC=30°인 반원, 색칠한 부분의 둘레 | 8 | 중 | 6√3+4π cm | 호 AC의 중심각 60° → 호 CB=120°(길이 4π). ∠ACB=90°이므로 CB=12cos30°=6√3 |
| 서답형 3 | 원과 직선 | 석쇠 속 평행한 두 철사 길이의 합 | 8 | 중 | 16√10 cm | 길이가 같으므로 중심에서 각각 3cm. 반현 √(13²−3²)=4√10 → 한 줄 8√10, 합 16√10 |
| 서답형 4 | 원과 직선 | 맞닿은 세 원, 접선이 자른 현 CD | 10 | 상 | 8/5 cm | AB=6=3d → r=1. AO₂=5, sin θ=1/5. O₁까지 거리 3·(1/5)=3/5 → CD=2√(1−9/25)=8/5 |
2022학년도 칠곡중학교 3학년 2학기 중간고사 수학은 선택형 16문항 65점, 서답형 4문항 35점으로 구성된 100점 만점 시험이다. 서답형이 총점의 35%를 차지해 서술 능력의 비중이 낮지 않다. 단원별로는 원과 직선 41점(8문항)이 가장 크고 삼각비의 활용 32점(6문항), 삼각비의 뜻과 값 19점(5문항), 원주각 8점(1문항) 순이다. 난이도는 상 6문항 39점, 중 8문항 40점, 하 6문항 21점으로 상·중이 79점을 차지한다. 3점짜리 기본 문항을 5·12·16번에 흩어 배치하고 5점 이상 고배점을 2·8·10·14번과 서답형 전체에 몰아, 앞에서 시간을 벌어 뒤에서 승부하도록 설계했다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 「중심에서 현에 내린 수선」 하나로 닫히는 계열이다. 11번(4점)·12번(3점)·14번(5점)·16번(3점)·서답형3(8점)이 소재만 바꾼 같은 구조로 총 6문항 27점을 이룬다. 두 번째 축은 값이 먼저 주어지고 길이를 되찾는 역추적형으로, 2번(5점)·10번(5점)·15번(4점)·서답형4(10점)를 합쳐 24점이다. 최고배점인 서답형4(10점)는 AB=6cm에서 반지름 1을 역산하고, 접선 길이로 sin θ=1/5을 만든 뒤, 그 각을 옆 원에 옮겨 중심거리 3/5을 세워야 현 CD=8/5에 도달하는 3단 중첩 구조다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라, 주어진 그림 위에 보조선을 그어 직각삼각형 한 장을 만들어내는 능력이다.
학부모 관점에서 말하면, 이 시험은 「외운 만큼 맞는 시험」이 아니라 「그림을 다시 그릴 줄 아는가를 묻는 시험」이다. 시험지 안내문에는 서답형 문항의 경우 부분점수가 있을 수 있다고 적혀 있고, 서답형 1~4 모두 <조건>에 풀이 과정과 답을 함께 쓰도록 명시했다. 즉 답이 틀려도 세운 식과 보조선이 남아 있으면 35점 중 일부는 회수된다. 따라서 실점 원인을 찾을 때는 계산 실수보다 먼저 조건 독해(15번에서 반현과 전체를 구분했는가)와 서술 습관(과정을 번호로 남겼는가)을 점검해야 하며, 이 두 가지가 상위권과 중위권을 가른 실질적인 지점이다.