선택형 16문항(65점) + 서답형 4문항(35점), 총 20문항 100점. 이차함수 43점 · 삼각비 57점의 2대 축 구성으로, 계수를 거꾸로 찾는 역추적형 4문항 22점과 스스로 보조선을 그어야 열리는 도형 설계형 6문항 31점이 상위권 변별을 담당한다.
9월 26일(화) 3교시 시행 · 2장 4면 구성 · 서답형은 “부분점수가 있을 수 있음”이 명시된 조건부 서술형
1학기 마지막 단원인 이차함수(43점)와 2학기 첫 단원인 삼각비(57점)를 4:6에 가깝게 배분한 연결형 범위
이번 시험의 변별력을 만드는 축
8번·10번·12번·15번·16번·서답형 4는 문제 그림에 답으로 가는 선이 그려져 있지 않다. 8번은 ∠CDE를 ∠B로 옮겨야 하고, 12번은 A에서 BC에 수선을 내려 3-3√3 분해를 만들어야 하며, 16번은 접힌 각이 30°임을 폭 3√2와 접는 선 6√2의 비 1:2에서 먼저 읽어내야 한다. 서답형 4는 밑면 대각선 FH=4√2와 수직 모서리 DH=2로 직각삼각형 DHF를 새로 세우는 것이 전부다.
3번(4점)은 지나는 점으로 a를, 4번(4점)은 꼭짓점과 y절편으로 a·b·c를, 5번(5점)은 사각형 넓이 9라는 결과값으로 상수 a를, 서답형 2(9점)는 지나는 점과 축 x=2로 a와 b를 각각 찾는다. 모두 “식 → 그래프”가 아니라 “그래프의 성질 → 식”의 역방향이다.
9번은 cos41°=sin49°임을 알아야 sin49°−cos41°이 0으로 사라지고 tan49°=1.15만 남는다. 11번의 표는 27°·28°·29°만 제공하는데 문제의 각은 63°다. sin63°=cos27°=0.89, cos63°=sin27°=0.45로 바꿔야 x−y=8.9−4.5=4.4가 나온다.
서답형 1은 꼭짓점 좌표와 y절편을 나타낸 그래프를 반드시 그릴 것, 서답형 2는 a와 b의 값을 각각 서술할 것, 서답형 3은 cos0°·sin60°·tan30°·tan45°·cos60° 다섯 값을 각각 서술할 것, 서답형 4는 sin x°·cos x°·tan x° 세 값을 각각 서술할 것을 <조건> 상자에 못 박았다. 시험지 안내문에도 “서답형 문항의 경우 부분점수가 있을 수 있음”이 명시되어 있다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
y=2(x−1)²+1은 최솟값이 1로 항상 양수이므로 x<0인 모든 점이 제2사분면에 있다. 꼭짓점이 제1사분면에 있다는 이유로 ③을 고르기 쉽다. 정답은 축이 x=1이라는 ④. 사분면 판정은 꼭짓점이 아니라 그래프 전체가 지나는 영역으로 봐야 한다.
x축 방향 +1은 식에서 x 대신 (x−1)을 넣는 것이다. (x+1)로 대입하면 y절편이 12가 아니라 다른 값이 된다. y=(x−1)²−6(x−1)+5=x²−8x+12이므로 답은 12(⑤). “오른쪽으로 이동 = x에 빼기”를 손으로 확인하고 넘어간다.
y=−3(x+1)²+4를 전개해 c=1을 얻었는데, 문제는 a+b+c가 아니라 a+b−c다. −3−6+1=−8(③)로 답해 오답이 되는 경우가 많다. 정답은 −3−6−1=−10(②). 마지막 연산 기호를 문제에서 다시 확인해야 한다.
A(a,4), C(a−2,0), D(a+2,0), B(0,4−a²)를 문제에 적힌 A→C→D→B 순서 그대로 이어야 한다. 순서를 바꾸면 자기교차 도형이 되어 넓이가 달라진다. 신발끈으로 넓이 |8−a²−2a|=9를 풀면 a²+2a+1=0, 즉 a=−1(③)이고 중근이라 답이 하나뿐이다.
15°는 특수각이 아니므로 표가 필요해 보이지만, ∠ADC=30°가 △ABD의 외각이므로 ∠BAD=15°=∠ABD, 즉 AD=BD=10인 이등변삼각형이 생긴다. DC=5√3을 더해 BC=10+5√3, tan15°=5/(10+5√3)=2−√3(③). 각의 이등변 조건을 놓치면 손을 못 댄다.
테이프 접기는 접는 선 CD를 대칭축으로 하는 반사다. 폭 3√2와 CD=6√2에서 sin(접힌 각)=1/2이므로 각은 30°이고, 반사로 생긴 CF는 밑변과 60°를 이룬다. 밑변 DG=2√6, 높이 3√2로 넓이는 6√3(③). 삼각형 CDG를 이등변으로 착각하면 넓이가 어긋난다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 네 문항의 배점 합이 전체의 35%다. 답안지에 풀이를 쓰기 전 <조건>에 열거된 항목(그래프, a와 b, 특수각 5개, sin·cos·tan 3개)을 번호로 먼저 적고 하나씩 지워가며 채운다. 부분점수가 있는 구조이므로 끝까지 못 풀어도 중간 값은 반드시 남긴다. 서답형 4(9점)는 FH=4√2, DF=6까지만 써도 배점의 상당 부분이 확보된다.
1~6번과 서답형 1·2가 모두 y=a(x−p)²+q와 y=ax²+bx+c 사이를 오간다. 매일 5문항씩 “주어진 조건 → 표준형 세우기 → 전개 → 꼭짓점·절편·사분면 판정”의 한 사이클을 손으로 완주한다. 특히 완전제곱 과정에서의 부호(4번, 서답형 1)와 축 공식 x=−b/2a(서답형 2)를 오답노트 상단에 고정한다.
8·10·12·13·15·16번과 서답형 4는 모두 직각삼각형을 새로 만들어야 풀린다. 그림을 보면 ①직각이 있는가 ②없으면 어디에 수선을 내리는가 ③생긴 두 삼각형의 공통변은 무엇인가 세 질문을 순서대로 던지는 루틴을 만든다. 12번의 A→BC 수선, 13번의 A→BC 수선처럼 ‘정점에서 밑변으로’가 가장 자주 통한다.
9·11번(8점)과 서답형 3(8점), 합 16점이 순수 암기·변환 정확도에 달려 있다. 0°·30°·45°·60°·90°의 sin·cos·tan 15칸 표를 백지에 30초 안에 복원하고, 이어서 sin(90°−A)=cos A 변환으로 63°→27°, 41°→49°를 즉시 바꾸는 연습을 매 수업 앞 3분 루틴으로 고정한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차함수 | y=2x²−4x+3 그래프의 성질 판별 | 4 | 중 | ④ | 2(x−1)²+1로 변형 → 꼭짓점 (1,1), 아래로 볼록, 축 x=1. 최솟값이 1>0이라 제2사분면을 지나므로 ③은 거짓 |
| 2 | 이차함수 | x축 +1, y축 +3 평행이동 후 y절편 | 4 | 하 | ⑤ | x→x−1 대입 후 +3: y=x²−8x+12, x=0 대입해 12 |
| 3 | 이차함수 | 점 (−2,−4)를 지날 때 꼭짓점 좌표 | 4 | 하 | ① | 4a−16−4=−4 → a=4. y=4(x+1)²−8이므로 꼭짓점 (−1,−8) |
| 4 | 이차함수 | 꼭짓점 (−1,4)·y절편 1로 a+b−c 계산 | 4 | 중 | ② | y=a(x+1)²+4에 (0,1) 대입 → a=−3. 전개하면 (a,b,c)=(−3,−6,1), a+b−c=−10 |
| 5 | 이차함수 | 사각형 ACDB의 넓이가 9일 때 상수 a | 5 | 상 | ③ | −(x−a)²+4에서 A(a,4), C(a−2,0), D(a+2,0), B(0,4−a²). 신발끈으로 넓이 |8−a²−2a|=9 → a=−1 |
| 6 | 이차함수 | 계수를 뒤바꾼 y=cx²+bx+a의 꼭짓점 사분면 | 4 | 상 | ① | 그림에서 a>0, 꼭짓점이 제3사분면이므로 b>0, y절편 c<0. 새 함수는 위로 볼록, 축 −b/2c>0, 꼭짓점 y=a−b²/4c>0 → 제1사분면 |
| 7 | 삼각비의 뜻 | 13-12-5 직각삼각형에서 cos A | 3 | 하 | ③ | cos A = 밑변/빗변 = AC/AB = 12/13 |
| 8 | 삼각비의 뜻 | 수선의 발 E, ∠CDE=x°일 때 sin x° | 4 | 중 | ③ | ∠CDE=90°−∠C=∠B. BC=√(9+18)=3√3이므로 sin B=AC/BC=3√2/3√3=√6/3 |
| 9 | 예각의 삼각비 | 사분원에서 sin49°−cos41°+tan49° | 4 | 중 | ④ | cos41°=sin49°=0.75로 앞 두 항이 소거. tan49°는 x=1 위 높이 1.15 → 1.15 |
| 10 | 삼각비의 활용 | ∠ABC=15°, ∠ADC=30°, AC=5에서 tan15° | 4 | 상 | ③ | 외각 성질로 ∠BAD=15° → AD=BD=5/sin30°=10. DC=5/tan30°=5√3, tan15°=5/(10+5√3)=2−√3 |
| 11 | 삼각비의 표 | ∠B=63°, AB=10일 때 x−y (표 27°~29°) | 4 | 중 | ⑤ | x=AC=10sin63°=10cos27°=8.9, y=BC=10cos63°=10sin27°=4.5 → x−y=4.4 |
| 12 | 삼각비의 활용 | AB=6, BC=8, ∠B=60°일 때 AC | 4 | 중 | ④ | A에서 BC에 수선 → 3, 3√3 분해. AC=√((8−3)²+(3√3)²)=√52=2√13 |
| 13 | 삼각비의 활용 | 45°·60°로 올려본 헬리콥터의 높이 (BC=200) | 4 | 중 | ① | h + h/√3 = 200 → h = 200√3/(√3+1) = 100(3−√3) = 300−100√3 |
| 14 | 삼각비의 활용 | AB=4, AC=3, ∠A=30°인 삼각형의 넓이 | 3 | 하 | ② | ½·4·3·sin30° = ½·12·½ = 3 cm² |
| 15 | 삼각비의 뜻 | 정사각형 두 중점이 만든 ∠MDN의 tan | 5 | 상 | ④ | B를 원점으로 D(10,10), M(0,5), N(5,0). DM·DN=100, |DM|=|DN|=5√5 → cos x=4/5, tan x=3/4 |
| 16 | 삼각비의 활용 | 폭 3√2 테이프를 CD=6√2로 접었을 때 △CDG 넓이 | 5 | 상 | ③ | sin(접힌 각)=3√2/6√2=½ → 30°. 반사로 CF는 60°, G=(√6,3√2), D=(3√6,3√2). ½·2√6·3√2=6√3 |
| 서답형 1 | 이차함수 | y=−3x²+12x−7이 지나지 않는 사분면 (그래프 필수) | 9 | 중 | 제2사분면 | −3(x−2)²+5로 변형 → 꼭짓점 (2,5), y절편 −7, 위로 볼록. x<0에서 최댓값이 −7이라 항상 y<0 → 제2사분면 통과 불가 |
| 서답형 2 | 이차함수 | (3,−2)를 지나고 축이 x=2일 때 ab | 9 | 중 | 8 | 축 x=4a/8=a/2=2 → a=4. y=4x²−16x+5b에 (3,−2) 대입 → 5b=10, b=2. ab=8 |
| 서답형 3 | 특수각의 삼각비 | 2+cos0°×sin60°×tan30°−tan45°÷cos60° | 8 | 하 | 1/2 | 1×(√3/2)×(√3/3)=½, 1÷½=2 → 2+½−2 = ½. 나눗셈을 곱셈보다 먼저 하지 않도록 연산 순서 유지 |
| 서답형 4 | 삼각비의 활용 | 직육면체 대각선 DF와 밑면 대각선 FH가 이루는 각 | 9 | 상 | 1/8 | FH=√(16+16)=4√2, DH=2, DF=√(32+4)=6. sin x=1/3, cos x=2√2/3, tan x=√2/4 → sin÷cos×tan = tan²x = 1/8 |
칠곡중학교 3학년 2023학년도 2학기 중간고사 수학은 선택형 16문항 65점과 서답형 4문항 35점, 총 20문항 100점으로 구성되었다. 서답형이 전체의 35%를 차지해 답만으로는 점수가 완성되지 않는 구조이며, 단원 배점은 이차함수 43점, 삼각비의 활용 29점, 삼각비의 뜻과 특수각 20점, 예각의 삼각비와 삼각비의 표 8점 순이다. 난이도는 상 6문항 32점, 중 9문항 46점, 하 5문항 22점으로, 쉬운 문항만 모아도 22점에 그친다. 1~4번과 7번에 기본형을 몰아둔 뒤 5·6번에서 곧바로 고난도를 배치한 것을 보면, 앞 구간에서 시간을 아껴 뒤 구간에 쓰라는 설계 의도가 읽힌다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 보조선 설계형 6문항 31점이다. 8번(4점)·10번(4점)·12번(4점)·15번(5점)·16번(5점)·서답형4(9점)는 그림에 직각삼각형이 완성되어 있지 않아, 수선을 내리거나 각을 다른 위치로 옮겨야 비로소 삼각비를 쓸 수 있다. 두 번째 축은 역추적형 4문항 22점으로, 3번·4번·5번·서답형2가 모두 그래프의 성질에서 계수를 거꾸로 결정한다. 최고배점인 서답형4(9점)는 밑면 대각선 4√2와 수직 모서리 2로 새 직각삼각형을 세운 뒤 세 삼각비를 각각 서술해야 하고, 5번(5점)은 네 점의 좌표를 문자 그대로 유지한 채 넓이식을 세워 이차방정식을 푸는 3단 과정을 요구한다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식 암기량이 아니라 주어지지 않은 구조를 스스로 만들어내는 힘이다.
학부모님께는 이렇게 설명드립니다. 이번 시험은 “배운 공식을 아는가”가 아니라 “그림에 없는 선을 그을 줄 아는가”를 물었습니다. 시험지 안내문에는 서답형에 부분점수가 있을 수 있음이 적혀 있고 네 문항 모두 <조건> 상자에서 중간 과정을 서술하라고 못 박았는데, 이는 답이 틀려도 과정이 남으면 점수가 남지만 답이 맞아도 과정이 없으면 감점된다는 뜻입니다. 따라서 실점 원인은 세 갈래로 나누어 진단해야 합니다. 계산 실수라면 4번의 부호나 서답형3의 연산 순서에서, 독해 실수라면 5번의 꼭짓점 순서나 11번의 표 각도에서, 서술 부족이라면 서답형 답안의 <조건> 미충족에서 원인을 찾아야 합니다.