선택형 16문항 65점 + 서답형 5문항 35점, 총 21문항 100점. 일차함수·연립방정식 그래프에서 출발해 삼각형의 성질, 외심·내심, 사각형의 성질까지 도형 단원이 78점(78%)을 차지하는 전형적인 「도형 중심 2학기 중간」 구성이며, 서답형 35점이 모두 서술형이라 과정 기술력이 등급을 가른다.
총 21문항 100점 · 난이도 상이 8문항 47점으로 배점의 절반 가까이를 차지한다
4개 대단원 구성 · 사각형의 성질이 37점으로 최대 비중, 도형 3단원 합계 78점
이번 시험의 변별력을 만드는 축
서답형 2(9점)는 ∠A의 이등분선과 수선의 발이 만드는 △ABD≡△AED(RHA)를 먼저 찾아야 AE=AB=8, DE=DB라는 치환이 생긴다. 그 다음에야 EC=17−8=9를 얻고, DB=t로 두어 t²+9²=(15−t)²를 풀 수 있다. 합동을 못 보면 길이가 하나도 확정되지 않는 구조다.
8번은 ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90°를 한 번 쓰면 끝나지만, 서답형 3(6점)은 같은 식으로 ∠OBC=60°를 구한 뒤 △OBC가 이등변임을 이용해 ∠BOC=60°까지 가야 부채꼴 넓이 3π/2가 나온다. 10번은 ∠A=128°인 둔각삼각형이라 외심 O가 삼각형 바깥에 놓이고, 내심의 ∠IBC=13°와 외심의 ∠OBC=38°를 더해야 51°가 된다.
11번은 5개 조건을 각각 평행사변형 판별 5조건에 대응시켜 유일하게 성립하지 않는 ⑤(∠DAB=140°≠∠BCD=120°)를 찾아야 한다. 15번은 AB=BC라는 한 줄에서 "마름모"를 읽어내야 ∠AOB=90°가 나오고, 16번은 마름모의 대각선이 ∠A를 이등분한다는 성질(∠CAD=60°)과 AE=CE인 이등변삼각형(∠EAC=40°)을 빼야 20°가 된다.
2번은 "x축에 평행"을 y=2(수평선)로 즉시 번역해야 하고, 3번 좌표평면에는 문제에 없는 x−2y=−3까지 함께 그려져 있어 필요한 두 직선만 골라 교점을 읽는 선별 능력을 요구한다. 1번 ⑤는 y=½x−2가 0<x<4 구간에서 y<0이 되어 제4사분면을 지난다는 점을 좌표로 확인해야 판정된다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
①~④가 모두 참이라 ⑤를 검토하지 않고 마감하기 쉽다. y=½x−2는 x절편 4, y절편 −2이므로 0<x<4에서 y<0, 즉 제4사분면을 통과한다. "지나지 않는다"는 거짓이므로 답은 ⑤. 옳지 않은 것을 묻는 발문에도 주의.
그림에 직선이 3개 그려져 있다. 문제의 연립방정식은 x+y=3과 2x−y=−6뿐이므로, 이 둘의 교점 (−1, 4)만 읽어야 한다. 세 번째 직선과의 교점 (1, 2)를 답으로 고르면 ③ 오답이 된다.
x−ay=2를 −2배 하면 −2x+2ay=−4. 상수항이 −4로 일치하므로 계수도 일치해야 한다(b=−2, 2a=6→a=3). 부호를 놓쳐 a=−3으로 잡으면 ab=6(⑤)이 된다. 정답은 ab=(3)(−2)=−6.
D는 AB 위의 점이므로 △BDC에서 ∠DBC는 B 전체(=B), ∠DCB는 C의 절반이다. B+C/2=86°와 B+C=124°를 연립해야 B=48°, C=76°가 나온다. 여기서 ∠BEC=180°−B/2−C=80°. C를 절반으로 쓰지 않으면 값이 어긋난다.
∠IAC=64°에서 ∠A=128°이므로 삼각형은 둔각삼각형이고 외심 O는 BC 아래(삼각형 밖)에 있다. 따라서 ∠BOC=2(180°−128°)=104°, ∠OBC=38°. ∠BOC=2∠A=256°처럼 그대로 쓰면 모순이 생긴다. 답은 13°+38°=51°.
BE=AB=5, CF=CD=5이고 BC=7이므로 BF=7−5=2. E와 F가 겹치지 않고 서로 교차한 상태라 FE=5−2=3이다. BE+CF=10>7이라는 사실을 놓치고 7−5−5=−3처럼 처리하면 부호 오류가 난다.
AM=BN=(AD의 절반)이고 AM∥BN이므로 ABNM은 평행사변형, 넓이는 ABCD의 절반인 20이다. E는 ABNM의 두 대각선 AN·BM의 교점이므로 4등분되어 △ENM=20÷4=5. 문제 조건이 "사각형 ABNM이 어떤 사각형인지와 이유를 적을 것"이므로 근거 서술이 빠지면 답 5만 써도 배점 손실이 발생한다.
∠BDE=∠EDC=θ로 두면 △BDE가 이등변이므로 ∠DBE=θ. 직각삼각형 BCD에서 ∠DBC=90°−2θ이고 이것이 θ와 같아야 하므로 3θ=90°, θ=30°. 따라서 ∠DEC=180°−90°−30°=60°. BE=DE를 쓰지 않으면 미지수가 소거되지 않아 답이 하나로 확정되지 않는다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 1~5 모두 <조건>란에 "풀이 과정과 답을 적을 것"이 명시되어 있고, 서답형 2는 "합동 기호 사용 / 합동이 되는 이유 / 합동 조건"을, 서답형 4는 "어떤 사각형인지와 그 이유"를 따로 요구한다. 즉 정답 수치만으로는 만점이 불가능한 구조다. 기출 5문항을 백지에 "△ABD≡△AED (RHA 합동)"처럼 기호·근거·조건 3요소를 갖춰 쓰는 훈련을 주 2회 반복한다.
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90°, ∠BOC=2∠A(예각), ∠BOC=2(180°−∠A)(둔각), ∠BIC=90°+½∠A — 이 네 식을 외우지 말고 이등변삼각형 분해로 매번 유도한다. 8·9·10·서답형3 합계 20점이 전부 이 네 식의 조합이며, 특히 10번처럼 외심과 내심이 한 그림에 동시에 등장하면 두 점을 다른 색으로 표시해 각을 분리 기록한다.
평행사변형→직사각형→마름모→정사각형의 포함관계를 한 장, 각 사각형이 되기 위한 조건을 다른 한 장으로 쓴다. 11번(판별 역방향), 15번(AB=BC→마름모), 16번(마름모 대각선의 각 이등분)은 모두 두 번째 표에서 나온다. 13·14번처럼 "둘레·x+y" 형태로 묻는 계산형은 OA=OC, OB=OD, 대각선 길이의 절반을 그림에 직접 써 넣고 더하면 실수가 사라진다.
이 5문항은 개념 직접 대입형이라 계산이 1~2단계에 그친다. 여기서 1문항이라도 흘리면 상 난이도 47점 구간에서 회복할 여유가 사라진다. 시험 시작 후 선택형 전체를 25분에 1차 통과하고, 남은 시간을 9·10·16번과 서답형 2·3·4·5에 배분하는 시간 배분표를 모의로 미리 연습한다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수 | −x+2y+4=0의 절편·기울기·통과점·사분면 진위 | 4 | 중 | ⑤ | y=½x−2로 정리. x절편 4, y절편 −2, 기울기 ½, (2,−1) 통과 모두 참. 0<x<4에서 y<0 → 제4사분면을 지나므로 ⑤가 거짓 |
| 2 | 일차함수 | (−1, 2)를 지나고 x축에 평행한 직선의 그래프 | 3 | 하 | ④ | "x축에 평행" = 수평선 y=k. 점의 y좌표가 2이므로 y=2. 그림에서 y=2를 지나는 가로선이 ④ |
| 3 | 일차함수 | 그래프로 연립방정식 x+y=3, 2x−y=−6 풀기 | 4 | 하 | ② | 그림의 세 직선 중 문제의 두 직선만 선별. 교점은 (−1, 4). 대입 검산 −1+4=3, −2−4=−6 모두 성립 |
| 4 | 일차함수 | x−ay=2, bx+6y=−4의 교점이 무수히 많을 때 ab | 4 | 중 | ① | 두 식이 같은 직선 ⇔ 계수·상수항 비가 모두 같다. 첫 식 ×(−2) → −2x+2ay=−4. b=−2, 2a=6→a=3. ab=−6 |
| 5 | 삼각형 | 이등변삼각형 + BC 연장선 위의 점 D, ∠CAD | 4 | 중 | ④ | ∠ACB=∠B=65° → ∠ACD=115°. △ACD에서 ∠CAD=180−115−35=30° |
| 6 | 삼각형 | <보기> 4개에서 △ABC와 합동인 직각삼각형 고르기 | 4 | 상 | ③ | △ABC는 빗변 6·한 변 3·∠A=60°(∠C=30°). ㄱ은 빗변 6+30°(RHA) O, ㄹ은 빗변 6+한 변 3(RHS) O. ㄴ은 변 길이 부재, ㄷ은 두 직각변이 3·6이라 빗변 √45 → 불합동 |
| 7 | 외심·내심 | 외심과 내심의 성질 진위 판별 | 4 | 하 | ① | 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점 → 참. ②둔각삼각형의 내심은 항상 내부, ③내각 이등분선 교점은 내심, ④수직이등분선 교점은 외심, ⑤내심에서 세 변까지 거리가 같음(꼭짓점 아님) |
| 8 | 외심·내심 | 외심 O, ∠OAB=31°, ∠OCB=26°일 때 ∠OAC | 4 | 중 | ④ | ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90°. ∠OBC=∠OCB=26°이므로 ∠OAC=90−31−26=33° |
| 9 | 외심·내심 | 내심 I, ∠BAC=56°, ∠BDC=94°일 때 ∠BEC | 5 | 상 | ① | △BDC에서 ∠DBC=B, ∠DCB=C/2 → B+C/2=86°. B+C=124°와 연립해 B=48°, C=76°. △BEC에서 ∠BEC=180−24−76=80° |
| 10 | 외심·내심 | 이등변삼각형의 외심 O·내심 I 동시 등장, ∠IBO | 5 | 상 | ③ | ∠IAC=64° → ∠A=128°(둔각), ∠B=∠C=26°. 외심은 BC 아래: ∠BOC=2(180−128)=104° → ∠OBC=38°. 내심: ∠IBC=13°. ∠IBO=13+38=51° |
| 11 | 사각형 | ABCD가 평행사변형이 되지 않는 조건 찾기 | 4 | 중 | ⑤ | ①두 쌍 평행 ②한 쌍 평행하고 같음 ③대각선 이등분 ④두 쌍 대변 같음 — 모두 판별조건. ⑤는 ∠DAB=360−50−120−50=140°로 ∠BCD(120°)와 달라 대각이 같지 않음 |
| 12 | 사각형 | 평행사변형에서 ∠A·∠D 이등분선이 BC와 만날 때 FE | 4 | 중 | ② | 엇각으로 △ABE 이등변 → BE=AB=5. △DCF 이등변 → CF=CD=5, BF=7−5=2. FE=5−2=3 |
| 13 | 사각형 | 평행사변형 대각선 교점 O, △OAB의 둘레 | 4 | 하 | ② | OA=OC=7, OB=BD/2=4, AB=CD=6. 둘레=7+4+6=17 |
| 14 | 사각형 | 정사각형에서 BD=12, OC=x, ∠ODC=y일 때 x+y | 3 | 하 | ④ | 정사각형은 대각선이 같고 서로 이등분 → AC=BD=12, x=OC=6. 대각선이 각을 이등분 → y=45. x+y=51 |
| 15 | 사각형 | 평행사변형에서 AB=BC일 때 옳은 것 | 4 | 중 | ③ | 이웃한 두 변이 같으므로 마름모. 마름모의 대각선은 수직이등분 → ∠AOB=90°. ②·⑤는 직사각형·정사각형 성질, ④는 이웃각이라 거짓 |
| 16 | 사각형 | 마름모 내부 점 E(AE=CE), ∠AEC=100°, ∠D=60°일 때 ∠EAD | 5 | 상 | ③ | ∠ADC=60° → ∠BAD=120°, 대각선 AC가 이등분하여 ∠CAD=60°. △AEC는 AE=CE인 이등변 → ∠EAC=(180−100)/2=40°. ∠EAD=60−40=20° |
| 서답형 1 | 일차함수 | ax+2y−4=0이 (1, 3)을 지날 때 기울기와 y절편 (서술형) | 7 | 중 | 기울기 1 y절편 2 |
대입 a+6−4=0 → a=−2. −2x+2y−4=0 → y=x+2. 기울기 1, y절편 2. <조건>이 a값·기울기·y절편·풀이과정을 모두 요구 |
| 서답형 2 | 삼각형 | 직각삼각형(8·15·17)의 각 이등분선과 수선, △EDC 둘레 (서술형·최고배점) | 9 | 상 | 24 | △ABD≡△AED(RHA) → AE=AB=8, DE=DB. EC=17−8=9. DB=t로 두면 t²+9²=(15−t)² → t=4.8. DC=10.2. 둘레=4.8+9+10.2=24. 합동 기호·이유·조건 서술이 필수 |
| 서답형 3 | 외심·내심 | 외심 O, ∠OAB=20°, ∠OCA=10°, OB=3일 때 부채꼴 OBC 넓이 (서술형) | 6 | 상 | 3π/2 cm² | ∠OBC=90−20−10=60°. △OBC는 OB=OC인 이등변 → ∠BOC=180−120=60°. 부채꼴 넓이=π·3²·(60/360)=3π/2 |
| 서답형 4 | 사각형 | 넓이 40인 평행사변형, AD·BC의 중점 M·N, △ENM의 넓이 (서술형) | 7 | 상 | 5 cm² | AM∥BN이고 AM=BN → ABNM은 평행사변형(넓이 20). E는 대각선 AN·BM의 교점이므로 4개의 넓이가 같은 삼각형으로 분할 → △ENM=20÷4=5. 사각형 판정과 그 이유 서술이 배점에 포함 |
| 서답형 5 | 사각형 | 직사각형에서 ∠BDC의 이등분선, BE=DE일 때 ∠DEC (서술형) | 6 | 상 | 60° | ∠BDE=∠EDC=θ. BE=DE → △BDE 이등변 → ∠DBE=θ. △BCD에서 ∠DBC=90−2θ=θ → θ=30°. △DEC에서 ∠DEC=180−90−30=60° |
칠곡중학교 2학년 2025학년도 2학기 중간고사 수학은 선택형 16문항 65점 + 서답형 5문항 35점, 총 21문항 100점 구성이다. 단원 배점은 사각형의 성질 37점(8문항) > 삼각형의 외심과 내심 24점(5문항) > 일차함수와 일차방정식의 그래프 22점(5문항) > 삼각형의 성질 17점(3문항) 순으로, 도형 세 단원이 78점을 점유한다. 난이도는 상 8문항 47점, 중 8문항 35점, 하 5문항 18점으로 하 난이도가 18점에 불과하다. 1~4번에 함수를 배치해 초반 진입을 완만하게 열어 두고, 5번 이후 도형으로 전환해 9·10·16번과 서답형 전체에 고배점을 몰아 둔 후반 가중형 설계다.
이 시험을 관통하는 축은 "보조 성질을 스스로 세운 뒤에야 계산이 시작되는 구조"다. 서답형2(9점, 최고배점)는 RHA 합동을 선언해 AE=8·DE=DB를 확보해야 비로소 t²+81=(15−t)²라는 방정식이 만들어지고, 서답형4(7점)는 ABNM이 평행사변형임을 증명해야 넓이 20과 4등분 논리가 성립하며, 서답형5(6점)는 BE=DE에서 이등변을 읽어야 3θ=90°가 나온다. 이 세 문항 22점이 같은 발상을 공유한다. 여기에 각 공식 계열 8·9·10번과 서답형3을 더한 외심·내심 20점은 동일한 90° 관계식을 난이도 계단식으로 네 번 재활용한다. 최고배점 서답형2는 합동 판정·치환·이차방정식 정리를 한 답안 안에서 순서대로 잇는 능력을 요구한다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라 그림에서 숨은 합동·이등변을 발견해 조건을 스스로 만들어내는 힘이다.
학부모·학생 관점에서 이 시험은 "문제를 많이 풀어 본 학생"보다 "왜 그런지를 말로 설명할 수 있는 학생"에게 유리하다. 서답형 5문항 35점 전부에 <조건>란이 붙어 있고, 특히 서답형2는 "합동 기호 사용·합동이 되는 이유·합동 조건"을, 서답형4는 "사각형의 종류와 그 이유"를 별도로 요구한다. 즉 정답 수치를 맞혀도 근거 문장이 빠지면 부분 감점이 확정되는 채점 구조다. 실점이 났다면 원인을 세 곳에서 찾아야 한다. 하 난이도 18점(2·3·7·13·14번)에서 흘렸다면 기본 개념 정착의 문제이고, 9·10·16번에서 틀렸다면 그림 조건을 각으로 번역하는 독해력의 문제이며, 서답형에서 감점되었다면 계산이 아니라 서술력 훈련이 부족한 것이다.