선택형 16문항 65점 + 서답형 5문항 35점, 전 21문항 100점. 이차함수가 76점(15문항)으로 시험의 축을 이루고 삼각비가 24점(6문항)으로 뒤를 받친다. 그래프·조건에서 식을 거꾸로 복원하는 역추적형 6문항 31점과 좌표평면 위 넓이 2문항 13점이 이번 시험의 변별 지점이다.
서답형 비중 35%, 최고배점 서답형4(9점). 난이도 상이 6문항 33점으로 상위권 분기점을 형성한다.
이차함수 3개 대단원 76점(15문항) · 삼각비 2개 대단원 24점(6문항)
이번 시험의 변별력을 만드는 축
7번(4점) 모양+꼭짓점, 8번(4점) 두 꼭짓점 일치, 9번(5점) 개형에서 a·b·c 부호, 11번(5점) 서로의 꼭짓점 통과, 서답형1(6점) 꼭짓점 공유, 서답형2(7점) 꼭짓점+y절편 — 전체 배점의 31%가 동일한 발상을 요구한다. 주어진 정보가 전부 y=a(x−p)²+q의 p, q를 먼저 확정하라는 신호다.
10번(4점)은 y=½(x+4)²와 y=½(x−4)²가 x축 방향 8만큼의 평행이동 관계라는 점을 쓰면, 두 곡선 사이 가로 폭이 항상 8로 일정해 넓이가 8×8=64로 즉시 나온다. 적분·근사 없이 등적변형만으로 끝나는 설계다. 서답형4(9점)는 반대로 A(−2, 9), B(−5, 0), C(0, 5) 세 좌표를 모두 구한 뒤에야 넓이 15에 도달한다.
"모든 사분면을 지난다"는 말은 그림이 아니라 부등식으로 옮겨야 풀린다. y=a(x−4)²−8은 a<0이면 최댓값이 −8이라 1·2사분면을 만들 수 없으므로 a>0이 먼저 확정되고, 3사분면 통과 조건은 y절편 16a−8<0, 즉 a<½로 환산된다. 결과는 0<a<½.
13번(4점)은 AB⊥DE로 생긴 직각삼각형 BED에서 ∠BDE가 ∠BAC와 같다는 각 대응을 찾아야 하고, 16번(5점)은 둔각 150°를 그대로 쓰지 않고 보각 30°로 바꿔 직각삼각형 ADC를 만든 뒤 tan B=√3/4와 연립한다. 두 문항 모두 "주어진 각"이 아니라 "쓸 수 있는 각"을 새로 만드는 작업이 핵심이다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
4(k−3)²=8에서 (k−3)²=2이므로 k=3±√2로 두 개다. 무리수가 나온다고 계산을 의심해 한 근만 쓰면 3+√2를 답으로 고르게 된다. 합은 6(④). 서답형1도 같은 구조로 k=±√2 두 값을 모두 써야 만점이다.
y=2(x−3)²+5는 최솟값 5>0이므로 모든 x에서 y>0, 따라서 1·2사분면만 지난다(③ 참). 꼭짓점이 x>0에 있다고 2사분면을 못 지난다고 속단하면 오답이다. ⑤는 x<3에서 감소구간이라 거짓, ②의 y절편은 5가 아니라 23이다.
a+b+c는 x=1일 때의 y값, 4a+2b+c는 x=2일 때의 y값이다. 그래프의 x절편이 1, 3이므로 a+b+c=0(②는 거짓), x=2는 꼭짓점 부근이라 4a+2b+c<0(⑤ 거짓). 정답은 abc<0인 ①. 대입값 = 그래프의 높이라는 해석이 없으면 5지 전부를 계산해야 한다.
곡선 아래 넓이를 구하려 하면 중3 범위를 벗어난다. 두 포물선이 합동·평행이동 관계임을 보고 좌우 곡선 사이 가로 폭이 항상 8임을 쓰면 8×8=64(⑤). 도형을 직사각형으로 옮기는 등적변형이 유일한 정규 풀이다.
12번은 ∠A=90°이므로 빗변이 BC=2√5임을 먼저 잡아야 한다. sin C=AB/BC=√5/5(③). 15번은 사분원에서 sin36°=cos54°=0.59는 참이지만 cos36°=sin54°=0.81이므로 ⑤가 거짓이다. 여각 관계 sin(90°−A)=cos A를 반대로 적용하면 ④를 오답으로 고른다.
서답형3(8점)은 "좌표평면 위에 꼭짓점과 y축과의 교점을 반드시 나타내어 그래프를 그릴 것", 서답형4(9점)는 "점 A, B, C와 △ABC를 반드시 나타낼 것"이 조건으로 명시돼 있다. y=2x²−8x−6, 넓이 15라는 답만 적으면 17점 구간에서 부분 감점이 확정된다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
일반형 y=ax²+bx+c를 완전제곱으로 바꾸는 절차를 손이 먼저 움직이도록 훈련한다. 1·2·3·6번과 서답형1·2·3이 모두 여기서 시작한다. 특히 6번처럼 −1 같은 상수항을 밖으로 뺄 때 부호를 놓치는 실수가 잦으므로, 2(x−3)²−19까지 쓰고 원식에 x=0을 대입해 검산하는 습관을 붙인다.
모양 → 꼭짓점 → 통과점 → 전개. 7·8·9·11번과 서답형1·2를 이 순서로 반복 연습한다. 9번 유형은 별도로 "a는 볼록 방향, ab는 축의 위치, c는 y절편, 대입값 f(1)·f(2)·f(−1)은 그래프의 높이"라는 4줄 해석표를 외워두면 5지 판별이 계산 없이 끝난다.
서답형 35점 중 17점(서답형3·4)이 작도 조건을 달고 있다. 답을 구한 뒤 그리는 것이 아니라, 풀이 첫 줄에 좌표평면을 먼저 그려놓고 구한 값을 바로 찍어 넣는 순서로 바꾼다. 서답형1은 "모든 k"라는 표현이 복수 답 신호이므로 k=√2, k=−√2를 반드시 병기한다.
4번=y절편 부등호, 9번=대입값 해석, 10번=등적변형, 11번=서로의 꼭짓점 대입, 16번=둔각의 보각, 서답형4=세 좌표 확정 후 밑변·높이 분할. 각 문항의 결정적 한 수를 한 문장으로 요약해 오답노트에 적고, 숫자만 바꾼 변형 문제로 재현 가능한지 확인한다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 그래프·평행이동 | y=−3x²의 y축 방향 평행이동과 꼭짓점 | 4 | 하 | ② | −3·2²+q=−8 → q=4, 꼭짓점 (0, 4) |
| 2 | 그래프·평행이동 | 꼭짓점 이동 후 통과점, 모든 k의 합 | 4 | 중 | ④ | y=4(x−3)², 4(k−3)²=8 → k=3±√2, 합 6 |
| 3 | 그래프·평행이동 | x·y축 평행이동 후 a, p, q 값 | 3 | 하 | ① | y=⅔(x−4)²−3 → apq=⅔·4·(−3)=−8 |
| 4 | 성질·활용 | 모든 사분면을 지나는 a의 범위 | 5 | 상 | ④ | a>0 확정 후 y절편 16a−8<0 → 0<a<½ |
| 5 | 성질·활용 | y=2(x−3)²+5 그래프 성질 5지 판별 | 4 | 중 | ③ | 최솟값 5>0 → 항상 y>0, 1·2사분면만 통과 |
| 6 | 그래프·평행이동 | 일반형 → 표준형 변형, a+p+q | 4 | 하 | ① | 2(x−3)²−19 → 2+3−19=−14 |
| 7 | 식 구하기 | 모양 일치+꼭짓점 조건으로 식 복원 | 4 | 중 | ② | y=−3(x+1)²+4 전개 → a+b+c=f(1)=−8 |
| 8 | 식 구하기 | 두 이차함수의 꼭짓점 일치 | 4 | 중 | ④ | 꼭짓점 (1, −7) → 2(x−1)²−7, a−b=−4+5=1 |
| 9 | 성질·활용 | 그래프 개형에서 a, b, c 부호 판정 | 5 | 상 | ① | 근이 1, 3 → b=−4a, c=3a, abc=−12a³<0 |
| 10 | 성질·활용 | 합동인 두 포물선 사이 색칠 부분 넓이 | 4 | 상 | ⑤ | A(0,8), B(8,8), 가로 폭 8 일정 → 8×8=64 |
| 11 | 성질·활용 | 서로의 꼭짓점을 지나는 두 이차함수 | 5 | 상 | ④ | y=(x−4)²이 (2,4) 통과 → ab+c=−8+16=8 |
| 12 | 삼각비의 값 | 직각삼각형에서 삼각비 값 판별 | 3 | 하 | ③ | BC=2√5, sin C=AB/BC=2/2√5=√5/5 |
| 13 | 삼각비의 값 | 수선으로 생긴 닮음, sin x÷tan x | 4 | 중 | ② | ∠BDE=x, sin x÷tan x=cos x=DE/BD=9/11 |
| 14 | 삼각비의 값 | 특수각 삼각비 사칙연산 | 4 | 하 | ② | 1+1·(√3/2)·(1/√3)−1÷½ = 1+½−2 = −½ |
| 15 | 삼각비의 값 | 사분원에서 예각의 삼각비 읽기 | 3 | 하 | ⑤ | cos36°=sin54°=0.81이므로 cos36°=1은 거짓 |
| 16 | 삼각비의 활용 | 둔각 150°와 tan B 조건에서 AC 계산 | 5 | 상 | ⑤ | ∠ADC=30° → DC=√3·AC, AC/(3+DC)=√3/4 → AC=3√3 |
| 서답형1 | 식 구하기 | 꼭짓점 공유+통과점, 모든 k 구하기(서술) | 6 | 중 | k=±√2 | 꼭짓점 (0,7) → y=ax²+7, (2,−1)로 a=−2 → −2k²+7=3 |
| 서답형2 | 식 구하기 | 꼭짓점 (−2,−6)·y절편 −2에서 일반형(서술) | 7 | 중 | y=x²+4x−2 | y=a(x+2)²−6에 (0,−2) 대입 → 4a−6=−2, a=1 후 전개 |
| 서답형3 | 그래프·평행이동 | 평행이동한 식 구하고 그래프 작도(서술·조건) | 8 | 중 | y=2x²−8x−6 | 2(x−1)²−17 → 2(x−2)²−14, 꼭짓점 (2,−14)·y절편 (0,−6) 표시 필수 |
| 서답형4 | 성질·활용 | 꼭짓점·x축 음의 교점·y절편으로 △ABC 넓이(서술·조건) | 9 | 상 | 15 | A(−2,9), B(−5,0), C(0,5) 확정 후 좌표 분할 → 넓이 15, 세 점·삼각형 작도 필수 |
| 서답형5 | 삼각비의 활용 | 삼각비표를 이용한 변 길이 계산(서술) | 5 | 하 | 58.78 | AC=AB·sin36°=100·cos54°=100×0.5878=58.78 |
칠곡중학교 3학년 2025학년도 2학기 중간고사(1차지필)는 선택형 16문항 65점, 서답형 5문항 35점, 전체 21문항 100점 구성이다. 서답형이 전체의 35%를 차지하고 그 안에서 서답형4(9점)와 서답형3(8점)이 1·2위 배점을 가져간다. 단원별로는 이차함수 그래프의 성질과 활용 32점(6문항), 그래프와 평행이동 23점(5문항), 식 구하기 21점(4문항)으로 이차함수가 76점을 점유하고, 삼각비는 값 14점(4문항)과 활용 10점(2문항)을 합해 24점이다. 난이도는 상 6문항 33점, 중 8문항 41점, 하 7문항 26점. 1~11번을 이차함수로, 12~16번을 삼각비로 끊어 배치한 뒤 서답형에서 두 단원을 다시 섞은 것은 단원별 완결성을 먼저 확인하고 서술로 재검증하겠다는 설계다.
이 시험을 관통하는 축은 그래프와 조건에서 식을 거꾸로 복원하는 역추적이다. 7번(4점) 모양+꼭짓점, 8번(4점) 두 꼭짓점 일치, 9번(5점) 개형에서 부호 판정, 11번(5점) 서로의 꼭짓점 통과, 서답형1(6점) 꼭짓점 공유, 서답형2(7점) 꼭짓점+y절편 — 여섯 문항 31점이 같은 절차를 요구한다. 두 번째 축은 좌표평면 위 넓이로, 10번(4점)은 합동인 두 포물선의 평행이동으로 가로 폭이 8로 일정함을 보면 8×8=64가 즉시 나오지만, 최고배점 서답형4(9점)는 A(−2, 9)·B(−5, 0)·C(0, 5) 세 좌표를 모두 확정한 뒤에야 넓이 15에 도달하도록 조건을 3단으로 겹쳤다. 4번(5점)은 "모든 사분면"을 y절편 부등호 16a−8<0으로 번역해야 하고, 16번(5점)은 150°를 보각 30°로 바꿔 직각삼각형을 새로 만들어야 한다. 즉 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 주어진 형태를 표준형으로 바꾸는 변환력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 "공식을 외웠는가"가 아니라 "그림과 문장을 식으로 옮길 수 있는가"를 묻는다. 서답형3과 서답형4는 <조건>에서 좌표평면과 점·삼각형을 반드시 그리라고 명시했으므로, 답이 맞아도 작도가 빠지면 감점된다. 다시 말해 서답형 17점은 정답이 아니라 서술 절차가 점수를 결정한다. 실점이 났다면 원인은 세 곳 중 하나다. 완전제곱 변형에서 상수 부호를 놓친 계산력, 4번·9번처럼 그래프 조건을 부등호나 대입값으로 옮기지 못한 독해력, 서답형에서 과정과 작도를 생략한 서술력이다. 상위권 분기점은 상 난이도 6문항 33점이며, 그중에서도 서답형4(9점)와 10·11번(합 9점)이 90점대 진입 여부를 가른다.