신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
선택형 16문항 65점 + 서답형 5문항 35점, 총 21문항 100점. 이차방정식 계열이 단원 배점의 67%를 차지하고, 「조건을 주고 계수를 되찾게 하는」 역추적형 7문항 33점이 전체를 관통하는 시험이다.
서답형이 문항 수로는 23.8%(5/21)지만 배점으로는 35%를 가져가, 과정 서술이 등급을 가르는 구조
이차방정식 두 단원(풀이 + 근의 조건·활용)이 13문항 67점으로 시험의 3분의 2를 차지
이번 시험의 변별력을 만드는 축
1번(3점)·2번(4점)·11번(4점)·13번(5점)·14번(5점)·16번(4점)·서답형3(8점)은 번호가 떨어져 있지만 모두 「결과·조건을 먼저 주고 그것을 만드는 계수를 되짚어라」는 한 가지 요구다. 합산 33점으로 시험의 3분의 1이다.
6번(4점)은 전개했을 때 x³·x²이 소거되는지, 15번(4점)은 x² 계수 4−2a가 0이 되지 않아야 함, 서답형3(8점)은 a−1≠0이므로 a=1을 버려야 함을 각각 묻는다. 세 문항 16점이 「최고차항 계수 ≠ 0」이라는 단 하나의 규칙에 걸려 있다.
8점짜리 서답형2·3·5(합 24점)는 모두 「풀이 과정과 답을 쓰시오」로 발문한다. 특히 서답형5는 조건란에 미지수 정하기 → 이차방정식 세우기 → 이차방정식 풀기 → 문제의 뜻에 맞는 답 쓰기 4단계를 명시해, 순서를 빠뜨리면 답이 맞아도 부분 감점이 발생하는 구조다.
9번은 「중근을 갖지 않는 것」, 15번은 「될 수 없는 것」으로 묻고, 5번은 (x−y)²=9에서 두 값 중 하나를 x<y로, 14번은 두 후보 중 하나를 「두 정수를 근으로 갖는다」로 걸러내게 한다. 답이 두 개 나오는 지점마다 반드시 걸러내는 조건이 붙어 있다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
9x²+□xy+25y²는 □=±30(두 값 모두), 4x²−24x+□는 □=36(하나뿐)이다. 앞은 중간항이라 부호 두 개, 뒤는 상수항이라 양수 하나 — 자리가 다르면 ±의 개수도 다르다. ②(±30, ±36)를 고르면 오답.
(x+y)²(x−y)까지 정리해도 (x−y)²=5²−4·4=9에서 x−y=±3이다. 단서 x<y가 −3을 지정하므로 −75이고, 부호를 놓치면 +75(⑤가 아닌 ④)로 빠진다.
①은 등식이 아니라 식일 뿐이고, ③은 전개하면 x²이 소거돼 일차, ④는 x³이 남아 삼차다. 정답 ⑤는 양변 x³이 지워져 −2x²+x+3=0이 된다. 반드시 이항·전개 후 차수를 확인해야 한다.
(x−3)(x−5)=9는 먼저 x²−8x+6=0으로 정리한 뒤 x²−8x=−6, 양변에 16을 더해 (x−4)²=10이 된다. 6을 그대로 둔 채 완성하면 q가 달라진다. p=−4, q=10 → p+q=6.
0.3x+⅘(x²+1)=x²+½는 양변에 10을 곱해 2x²−3x−3=0으로 만든 뒤 근의 공식을 쓴다. 분모 10을 일부 항에만 곱하거나 부호를 놓치면 ①·②처럼 −3±√33 형태로 오답이 유도된다.
x=2를 대입하면 −2a²+2=0에서 a=±1이지만, 이차방정식이려면 이차항 계수 a−1≠0이어야 하므로 a=−1만 정답이다. 「a=±1」로 답하면 8점 문항에서 큰 감점이 난다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형2·3·5(각 8점)와 서답형4(6점)·서답형1(5점)이 총점의 35%다. 서답형5의 조건란 4단계(미지수 정하기 → 식 세우기 → 풀기 → 뜻에 맞는 답)를 그대로 템플릿으로 만들어 모든 문장제에 적용하고, 서답형4처럼 「공식을 쓰라」는 요구가 있으면 공식 진술을 첫 줄에 반드시 남긴다.
이차방정식의 풀이 단원만 9문항 41점이다. 인수분해되면 인수분해(8번·서답형2), (x−a)²=b 꼴이면 제곱근(10번), 계수가 정수이고 인수분해가 안 되면 완전제곱 또는 근의 공식(11·12번·서답형4). 문제를 보고 3초 안에 해법을 고르는 훈련이 41점 방어의 핵심이다.
6번·15번·서답형3 합 16점이 이 규칙 하나에 달려 있다. 이차방정식·이차함수 문제를 만나면 계수를 구하기 전에 이차항 계수를 먼저 적고 ≠0을 표시하는 습관을 들인다. 특히 구한 답이 여러 개일 때 이 조건으로 걸러내는 과정을 답안에 문장으로 남겨야 서술 점수가 온전히 인정된다.
2번·5번·13번·14번·서답형3은 모두 후보가 둘 이상 나온 뒤 단서로 하나를 고르는 구조이며, 합산 25점이다. 「단, a>0」, 「x<y」, 「두 정수를 근으로 갖는다」 같은 문장을 시험지에 밑줄로 표시해 두고, 답을 적기 직전 그 밑줄을 다시 읽는 절차를 루틴화한다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 인수분해 | 9x²+24x+16=(ax+b)² 에서 a+b | 3 | 하 | ④ | (3x+4)²로 보고 a=3, b=4 → a+b=7. a>0 단서로 (−3x−4)² 해석을 배제 |
| 2 | 인수분해 | 완전제곱식이 되는 □ 두 개 찾기 | 4 | 중 | ③ | 중간항 □=±2·3·5=±30, 상수항 □=(24/4)²=36. ± 개수가 자리마다 다름 |
| 3 | 인수분해 | 6x²−24y² 인수분해 | 4 | 하 | ② | 공통인수 6을 먼저 묶고 합차공식 → 6(x+2y)(x−2y) |
| 4 | 인수분해 | (x−5)(2x+1)+15 재인수분해 후 두 일차식의 합 | 4 | 중 | ③ | 전개해 2x²−9x+10 → (2x−5)(x−2). 합 (2x−5)+(x−2)=3x−7 |
| 5 | 인수분해 | x+y=5, xy=4일 때 x³+x²y−xy²−y³ | 5 | 상 | ② | (x+y)(x²−y²)=(x+y)²(x−y), (x−y)²=25−16=9, x<y → x−y=−3 → 25·(−3)=−75 |
| 6 | 이차방정식 풀이 | x에 대한 이차방정식 판별 | 4 | 중 | ⑤ | ①은 등식 아님, ③은 x² 소거돼 일차, ④는 삼차. ⑤만 −2x²+x+3=0 |
| 7 | 이차방정식 풀이 | 해가 x=−1인 이차방정식 찾기 | 4 | 중 | ③ | x=−1 대입 검산. 2−7+5=0인 ③만 성립. ⑤는 좌변이 0이라 3과 불일치 |
| 8 | 이차방정식 풀이 | x²+4x−12=0의 두 근 a, b에 대해 a²+b² | 4 | 하 | ⑤ | (x+6)(x−2)=0 → −6, 2 → 36+4=40. (a+b)²−2ab=16+24=40으로도 동일 |
| 9 | 이차방정식 풀이 | 중근을 갖지 않는 것 (부정 발문) | 3 | 하 | ① | ①만 x=±√2로 서로 다른 두 근. ④는 (x−4)², ⑤는 이항하면 (x+4)² |
| 10 | 이차방정식 풀이 | 5(x−1)²=15의 두 근의 곱 | 4 | 중 | ① | (x−1)²=3 → x=1±√3. (1+√3)(1−√3)=1−3=−2 |
| 11 | 이차방정식 풀이 | (x−3)(x−5)=9를 (x+p)²=q 꼴로, p+q | 4 | 중 | ③ | x²−8x=−6 → 양변에 16 더해 (x−4)²=10. p=−4, q=10 → p+q=6 |
| 12 | 이차방정식 풀이 | 소수·분수 계수 이차방정식의 근 | 4 | 중 | ③ | 양변 ×10 → 2x²−3x−3=0 → x=(3±√33)/4 |
| 13 | 근의 조건·활용 | x²+2ax+2a+3=0이 중근 x=b일 때 a−b | 5 | 상 | ④ | 판별식 a²−2a−3=0 → a=3(a>0). (x+3)²=0 → b=−3 → a−b=6 |
| 14 | 근의 조건·활용 | 조건 2개로 a, b 역추적 후 x²+bx+a=0의 근 | 5 | 상 | ⑤ | 연속 정수 곱 6 → (2,3) 또는 (−3,−2). 후자만 x²+6x+5=0이 정수근 −5, −1 |
| 15 | 이차함수 | y=4x²+1−2x(ax+1)이 이차함수일 조건 | 4 | 중 | ④ | 정리하면 (4−2a)x²−2x+1. 4−2a≠0 → a≠2이므로 될 수 없는 값은 2 |
| 16 | 이차함수 | f(x)=ax²+5x−2, f(−1)=−10, f(2)=b → ab | 4 | 중 | ⑤ | a−7=−10 → a=−3. f(2)=−12+10−2=−4=b → ab=12 |
| 서답형 1 | 인수분해 | (2025×2026+2025)/(2026²−1) 계산 | 5 | 중 | 1 | 분자=2025(2026+1)=2025·2027, 분모=(2026−1)(2026+1)=2025·2027 → 1 |
| 서답형 2 | 이차방정식 풀이 | 4x²+3=8x의 두 근 a, b(a>b)에 대해 2a−2b | 8 | 중 | 2 | (2x−1)(2x−3)=0 → x=½, 3/2. a=3/2, b=½ → 2(3/2)−2(½)=2 |
| 서답형 3 | 근의 조건·활용 | (a−1)x²−(a²+2a−2)x+2=0의 한 근이 2일 때 a | 8 | 상 | a = −1 | x=2 대입 → −2a²+2=0 → a=±1. 이차방정식 조건 a−1≠0으로 a=1 배제 |
| 서답형 4 | 이차방정식 풀이 | 근의 공식 서술 + 2x²−5x+1=0의 해 | 6 | 하 | x = (5±√17)/4 | x=(−b±√(b²−4ac))/2a를 먼저 진술. a=2, b=−5, c=1 → (5±√17)/4 |
| 서답형 5 | 근의 조건·활용 | 사탕 140개 분배 문장제 (풀이 순서 4단계 지정) | 8 | 중 | 10명 | 학생 수 x → 140/x=x+4 → x²+4x−140=0 → (x+14)(x−10)=0. x>0이므로 10 |
칠곡중학교 3학년 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 16문항 65점과 서답형 5문항 35점을 합친 총 21문항 100점 시험이다. 서답형은 문항 수로는 23.8%지만 배점은 35%를 가져가, 답을 맞히는 힘보다 과정을 적는 힘이 총점을 좌우한다. 단원별로는 이차방정식의 풀이가 9문항 41점으로 가장 크고, 근의 조건과 활용 4문항 26점, 인수분해 6문항 25점, 이차함수 2문항 8점이 뒤를 잇는다. 난이도는 상 4문항 23점 · 중 12문항 57점 · 하 5문항 20점으로 중간 난이도가 과반이며, 상 난이도가 5번·13번·14번·서답형3 네 자리에 흩어져 있어 한 문항이 아니라 네 지점에서 동시에 상위권이 갈리도록 설계됐다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 계수 역추적이다. 1번(3점)·2번(4점)·11번(4점)·13번(5점)·14번(5점)·16번(4점)·서답형3(8점)까지 합산 33점이, 결과나 조건을 먼저 제시하고 그것을 만들어 내는 계수를 되짚게 한다. 두 번째 축은 「이차식이 성립할 조건」으로, 6번(4점)은 전개 후 최고차항이 소거되는지를, 15번(4점)은 x² 계수 4−2a가 0이 되면 안 됨을, 서답형3(8점)은 a−1≠0 때문에 a=1을 버려야 함을 묻는다. 세 문항 합산 16점이 규칙 하나에 걸려 있다. 최고배점 서답형2·3·5(각 8점, 합 24점)는 답이 아니라 경로를 요구하며, 특히 서답형5는 조건란에 「미지수 정하기 → 이차방정식 세우기 → 풀기 → 문제의 뜻에 맞는 답 쓰기」 4단계를 명시했다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 계산 속도가 아니라 조건을 식으로 번역하고 그 식이 성립할 범위를 스스로 점검하는 힘이다.
학부모 관점에서 이 시험은 「공식을 외웠는가」가 아니라 「그 공식이 왜 지금 쓰이는지 아는가」를 확인하는 시험으로 읽으면 된다. 서답형 5문항 35점이 모두 「풀이 과정과 답을 쓰시오」로 발문하고 서답형4는 근의 공식 진술 자체를, 서답형5는 서술 순서까지 채점 대상으로 삼았으므로, 답만 맞혀서는 배점을 온전히 받을 수 없다. 실점이 났다면 원인을 세 갈래로 나누어 보면 된다. 5번의 x<y나 14번의 정수근 검증처럼 단서를 놓쳤다면 독해력, 12번의 소수·분수 계수 정리에서 틀렸다면 계산력, 답은 맞는데 서답형에서 점수가 깎였다면 서술력의 문제다. 어느 갈래에서 점수가 빠졌는지를 먼저 확인하는 것이 다음 시험 준비의 출발점이다.