이차함수 13문항 64점과 삼각비 7문항 36점이 정확히 앞뒤로 나뉜 2단 구성. 서답형 4문항이 35점을 가져가고, 조건에서 식을 거꾸로 세우는 역추적형 6문항 29점이 시험 전체를 관통한다.
2022학년도 2학기 1차지필고사 · 9월 29일 3교시 시행 · 4쪽 21문항 100점 만점
이차함수 3개 단원 64점(14문항) + 삼각비 2개 단원 36점(7문항)
이번 시험의 변별력을 만드는 축
6·8·9·11번과 서술형1·2까지 여섯 문항 35점이 "주어진 식을 y=a(x−p)²+q 꼴로 바꾸면 끝나는" 구조다. 특히 11번은 y=2x²+4, y=−5(x+2)², y=2x²−8x+4의 꼭짓점 (0,4)·(−2,0)·(2,−4)를 모두 뽑아야 비로소 넓이 12가 나온다.
10번은 일차함수 y=ax−b의 그래프에서 a>0, b<0을 읽어 이차함수 y=ax²+b의 개형을 고르고, 12번은 반대로 x절편 −1·5와 제4사분면 꼭짓점이라는 조건에서 a>0, b=−4a, c=−5a를 확정한다. 방향만 다를 뿐 같은 사고 회로다.
16번은 ∠B=60°, ∠C=45°가 한 삼각형에 섞여 있어 A에서 BC에 수선 AH를 내려야 30°–60°–90°와 45°–45°–90°로 분해된다. 17번도 수선의 발 E가 만든 닮음으로 ∠FBE=∠ABC임을 보고 cos x=15/17을 얻는다.
7번(4점)은 이차함수 y=(x−3)²에서 A(0,9)·B(6,9)를 뽑은 뒤 주사위 확률로 넘어가고, 15번(5점)은 종이접기에서 PA=PC=3이라는 대응변 조건을 세워야 비로소 tan x를 만들 수 있다. 단원 하나만 알아서는 손이 나가지 않는다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
어두운 부분은 y=x²/3보다 아래, y=−x²보다 위인 영역이다. 위로 볼록(a<0)이면서 y=−x²보다 폭이 넓어야 하므로 −1<a<0. 선지 −3, −3/2, −2, −5/2는 모두 |a|>1이라 탈락하고 −1/2만 남는다. 절댓값 비교를 건너뛰면 전부 답처럼 보인다.
(−2−p)²=9에서 −2−p=±3이므로 p=−5와 p=1 두 개다. 한쪽만 구하고 −5 또는 1을 답으로 고르면 오답. 문제가 요구한 것은 두 값의 합 −4다. 제곱근을 풀 때 ±를 자동으로 붙이는 습관이 필요하다.
A(0,9)에서 AB가 x축에 평행하므로 B는 (x−3)²=9의 다른 해, 즉 x=6이다. 그림만 보고 B를 (3,9)나 꼭짓점 쪽으로 잡으면 부등식 범위가 통째로 어긋난다. a=1일 때 x=8>6이라 만나지 않는다는 점도 함께 걸러야 한다.
y=x²+2ax+3a+1의 축은 x=−a다. 증감이 x=4에서 바뀌므로 −a=4, 즉 a=−4. 여기서 부호를 놓쳐 a=4로 두면 꼭짓점이 (−4, …)가 되어 선지 ①②③의 함정에 그대로 걸린다. 정답은 (4, −27).
a+b+c는 개별 부호를 더하는 게 아니라 f(1)이다. x=1은 두 근 −1과 5 사이라 f(1)<0이므로 ㄷ은 거짓. ㄴ도 a−c=a−(−5a)=6a>0이라 거짓이다. 참인 것은 ㄱ·ㄹ·ㅁ 3개.
sin B=1/2에서 ∠B=30°이므로 AC=6·sin30°=3, BC=6·cos30°=3√3이다. 선지 ①의 3√3은 BC의 값을 AC 자리에 놓은 미끼다. 정답은 넓이 9√3/2인 ⑤이며, sin A=√3/2·cos A=1/2도 함께 확인해야 소거가 끝난다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
네 문항이 모두 "값을 구하는 과정을 서술하시오"로 끝난다. 서술형1·2·4는 각 9점, 서술형3은 8점으로 한 문항이 선택형 두세 문항과 맞먹는다. 평행이동은 표준형 정리 → 이동 → 전개 → a+b+c 대입 4줄, 삼각비 곱은 피타고라스로 나머지 변 확보 → 세 비를 각각 쓰기 → 곱하기 3줄로 서식을 고정해 매번 같은 순서로 쓴다.
이차함수 3개 단원 14문항 64점 중 표준형·꼭짓점을 요구하는 문항이 8문항 39점이다. y=ax²+bx+c를 3초 안에 완전제곱으로 바꾸는 연습을 하루 10문항씩 반복하고, 꼭짓점 (−b/2a, f(−b/2a))를 손이 기억하도록 만든다. 11번처럼 꼭짓점 세 개를 뽑는 문항은 이 속도가 곧 시간 여유가 된다.
13·14·17번과 서술형4는 변의 비를 정확히 대응시키면 끝나는 문항이다. 문제를 읽는 즉시 삼각형 그림에 세 변의 길이와 각도를 모두 적어 넣고, sin·cos·tan을 "어느 각 기준인지"까지 함께 표기한다. 15·16번은 수선 긋기·접힌 변 대응 두 가지 보조선 패턴만 따로 모아 반복 훈련한다.
1~4번과 13·17번 6문항 18점은 개념 한 줄로 풀리는 구간이다. 여기서 한 문항만 흘려도 상 난이도 3문항 14점을 모두 맞힌 효과가 절반으로 깎인다. ‘~이 아닌 것’, ‘~할 수 없는 것’처럼 부정형 발문에 밑줄 긋기, 선지 5개를 끝까지 소거하기를 습관으로 만든다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차함수 기본 | 이차함수인 것 고르기 | 3 | 하 | ③ | 정리 후 x²항이 남는지 확인 — x²(5−x)는 삼차, x(x−1)−x²는 일차로 소거 |
| 2 | 이차함수 기본 | 이차함수가 되는 a의 조건 | 3 | 하 | ② | 이차항 계수 3a−1≠0 → a≠1/3, 즉 a가 될 수 없는 값은 1/3 |
| 3 | 이차함수 기본 | 함숫값 f(0)+f(2) 계산 | 3 | 하 | ④ | x=0, x=2를 차례로 대입해 2+12=14 — 대입 순서만 지키면 되는 계산 문항 |
| 4 | 이차함수 기본 | y=−4x²의 그래프 성질(부정형) | 3 | 하 | ⑤ | a<0이므로 x>0에서 x가 커지면 y는 감소 — ⑤가 옳지 않다. 축·꼭짓점·폭은 모두 참 |
| 5 | 이차함수 기본 | 두 포물선 사이 영역을 지나는 그래프 | 4 | 중 | ③ | y=−x²보다 폭이 넓은 위로 볼록 → −1<a<0. 선지 중 −1/2만 조건을 만족 |
| 6 | 평행이동 | x축 방향 평행이동 후 지나는 점, p의 합 | 4 | 중 | ② | (−2−p)²=9 → p=−5 또는 1, 합은 −4. ± 두 해를 모두 잡는 것이 관건 |
| 7 | 평행이동 | 포물선 위 선분과 직선의 교차 확률 | 4 | 상 | ⑤ | A(0,9)·B(6,9) 확정 → 8/a≤6 → a≥4/3 → a=2,3,4,5,6의 5가지, 확률 5/6 |
| 8 | 일반형 그래프 | 증감 구간으로 축·꼭짓점 역추적 | 4 | 중 | ④ | 축 x=−a=4 → a=−4 → y=x²−8x−11, 꼭짓점 (4, −27) |
| 9 | 평행이동 | 표준형 그래프의 성질 <보기> 종합 | 4 | 중 | ⑤ | 꼭짓점 (4,−3)·y절편 1·x절편 4±2√3 → 제1·2·4사분면 통과. ㄷ·ㄹ·ㅁ이 참 |
| 10 | 일반형 그래프 | 일차함수 그래프 → 이차함수 개형 | 4 | 중 | ① | 기울기 a>0, y절편 −b>0이므로 b<0 → 아래로 볼록하고 꼭짓점 (0,b)가 x축 아래 |
| 11 | 평행이동 | 세 포물선의 꼭짓점으로 만든 삼각형 넓이 | 5 | 중 | ② | (0,4), (−2,0), (2,−4) → 신발끈 공식 또는 밑변·높이 분할로 넓이 12 |
| 12 | 일반형 그래프 | x절편·꼭짓점 위치로 계수 부호 판정 | 5 | 상 | ③ | y=a(x+1)(x−5), a>0 → b=−4a, c=−5a. ㄱ·ㄹ·ㅁ 3개가 참(ㄷ은 f(1)<0이라 거짓) |
| 13 | 삼각비의 값 | 특수각 tan30°÷cos45° | 3 | 하 | ④ | (1/√3)÷(√2/2)=2/√6=√6/3 — 유리화까지 마쳐야 선지와 형태가 맞는다 |
| 14 | 삼각비의 값 | 직각삼각형에서 옳은 설명 고르기 | 4 | 중 | ⑤ | ∠B=30° → AC=3, BC=3√3 → 넓이 (1/2)·3·3√3 = 9√3/2. 선지 5개 전수 검증형 |
| 15 | 삼각비의 활용 | 직사각형 종이접기에서 tan x 구하기 | 5 | 상 | ④ | 접힘으로 PA=PC=3 → 가로 3+√5, Q(√5,0) → ∠CPQ의 tan = (3+√5)/2 |
| 16 | 삼각비의 활용 | 60°·45°가 섞인 삼각형에서 변 길이 | 4 | 중 | ② | A에서 BC에 수선 AH → AH=12sin60°=6√3 → AC=AH÷sin45°=6√6 |
| 17 | 삼각비의 값 | 수선의 발이 만든 닮음에서 cos 값 | 3 | 하 | ② | BC=√(15²+8²)=17, ∠FBE=∠ABC이므로 cos x = AB/BC = 15/17 |
| 서술형1 | 평행이동 | 평행이동 후 a+b+c 구하는 과정 서술 | 9 | 중 | −4 | y=−2(x−1)²+2 → 이동 후 −2(x−2)²−2 = −2x²+8x−10 → a+b+c=f(1)=−4 |
| 서술형2 | 평행이동 | 꼭짓점과 한 점으로 a+b+c 구하는 과정 서술 | 9 | 중 | 3 | y=a(x+2)²−6에 (1,3) 대입 → a=1 → y=x²+4x−2 → a+b+c=3 |
| 서술형3 | 삼각비의 활용 | 내각의 비 1:2:3에서 sinA×cosB 서술 | 8 | 중 | 30°, 60°, 1/4 | 180°를 1:2:3으로 나눠 30°·60°·90° → sin30°×cos60° = (1/2)×(1/2) = 1/4 |
| 서술형4 | 삼각비의 값 | 직각삼각형에서 sinA×cosB×tanA 서술 | 9 | 중 | 8√5/45 | AC=√(3²−2²)=√5 → (2/3)×(2/3)×(2/√5) = 8/(9√5) = 8√5/45 |
2022학년도 동평중학교 3학년 2학기 1차지필(중간)고사 수학은 선택형 17문항 65점과 서답형 4문항 35점, 모두 21문항 100점으로 구성됐다. 서답형 한 문항의 평균 배점이 8.75점으로 선택형 평균 3.8점의 두 배를 넘어, 네 문항의 서술 결과가 총점의 3분의 1을 좌우한다. 단원별로는 이차함수 y=a(x−p)²+q의 그래프가 6문항 35점으로 가장 무겁고, 삼각비의 뜻과 값 4문항 19점, 삼각비의 활용 3문항 17점, 이차함수와 y=ax²의 그래프 5문항 16점, 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프 3문항 13점이 뒤를 잇는다. 난이도는 하 6문항 18점, 중 12문항 68점, 상 3문항 14점으로 중난도가 배점의 68%를 차지한다. 1~4번을 3점으로 깔고 5번부터 4~5점으로 올린 뒤 13번에서 삼각비로 갈아타는 2단 계단식 배치다.
이 시험을 관통하는 축은 조건에서 식을 거꾸로 세우는 역추적형이다. 2번(3점, 이차항 계수 조건), 6번(4점, 평행이동 후 지나는 점), 8번(4점, 증감 구간에서 축 결정), 10번(4점, 일차함수 그래프에서 계수 부호 판독), 12번(5점, x절편과 꼭짓점 사분면), 서술형2(9점, 꼭짓점과 한 점) 여섯 문항 29점이 같은 발상을 공유한다. 최고배점은 9점짜리 서술형1·2·4번으로, 각각 평행이동의 순서 처리, 표준형에서 일반형으로의 전개, 피타고라스 정리로 나머지 변을 확보한 뒤 세 삼각비를 곱하는 다단계 계산을 요구한다. 상 난이도 3문항 14점은 7번(4점, 포물선 위 선분과 주사위 확률 결합), 12번(5점, 보기 5개 부호 판정), 15번(5점, 접은 종이에서 PA=PC를 세워 tan 구성)에만 몰려 있다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기가 아니라 주어진 말을 좌표와 변의 비로 번역하는 힘이다.
학부모 관점에서 이 시험은 문제를 몇 개 풀었는지가 아니라 왜 그 식이 나오는지 설명할 수 있는지를 묻는 시험이다. 서답형 네 문항이 모두 "구하는 과정을 서술하시오"로 끝나므로, 답만 맞고 과정이 비면 배점 35점을 온전히 가져갈 수 없다. 실점 원인은 세 갈래로 갈린다. 1~4번과 13·17번의 하 난이도 18점에서 틀렸다면 개념의 구멍이고, 5~11번 중난도 구간이 무너졌다면 조건을 좌표로 옮기는 독해력의 문제이며, 서술형에서 점수가 새면 계산이 아니라 논리를 문장으로 남기는 훈련이 부족한 것이다. 어느 갈래인지 먼저 가려내야 다음 시험의 처방이 달라진다.