선택형 16문항 65점 + 서답형 4문항 35점으로 구성된 20문항 100점 시험. 사각형의 성질이 41점으로 최대 비중이며, 5점 고배점 4문항(10·11·15·16번 계열)과 서답형 35점이 변별을 전담한다. 합동의 근거를 문장으로 쓰게 하는 서술형 설계가 이번 시험의 핵심 축이다.
3점 2문항 · 4점 10문항 · 5점 4문항의 선택형과, 7~11점의 서답형 4문항으로 배점이 이원화되어 있다.
사각형의 성질 41점(8문항)이 단독 최대 비중. 삼각형 계열(성질 23점 + 외심·내심 25점) 48점이 그 뒤를 받친다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
서술형1(9점)과 서술형3(11점)은 <조건>에서 합동인 이유 세 가지 제시와 합동을 기호로 표기를 명문화했다. 두 문항 20점이 답의 정오가 아니라 논증의 완성도로 채점된다는 뜻이며, 선택형 2·3번(7점)도 같은 개념을 고르기 형태로 선행 점검한다.
정사각형 ABCD에서 AE=AB인 이등변삼각형을 주었는데, 점 E의 위치가 고정되어 있지 않다. 각을 하나씩 추적하면 미지수만 늘어난다.
7번은 ∠A=118°인 둔각삼각형이어서 외심 O가 변 BC 바깥에 놓이고, 15번은 외심 O가 대각선 AC 위에 있다. 외심 공식만 외운 학생은 그림이 교과서와 다른 순간 손이 멈춘다.
16번은 △EFD=40에서 △ABC를 구하라는 역방향 문제이고, 10번은 넓이 등식 5개 중 "항상 성립하지는 않는 것" 하나를 찾아내야 한다. 둘 다 넓이를 계산하지 않고 옮기는 훈련이 되어 있어야 한다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
BD=CD는 △ABD≡△ACD가 증명된 뒤에 따라 나오는 결론이다. ∠B=∠C를 보이는 데 쓰이는 근거는 AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD 공통(SAS) 세 가지뿐. 순환논법을 걸러내는 문항이다.
⑤ ∠A=∠D, ∠B=∠E는 두 직각삼각형의 모양만 같게 할 뿐 크기를 결정하지 못한다. 직각삼각형 합동은 반드시 대응하는 변 하나가 조건에 포함되어야 한다는 점을 놓치면 ③·④와 혼동한다.
∠A=180−40−22=118°인 둔각삼각형이므로 O는 BC 아래쪽에 있다. ∠OBA=∠ABC+∠OBC처럼 각이 더해지는 방향을 그림대로 세우지 않으면 부호가 뒤집혀 40°나 60°가 나온다. 정답은 ∠OAC=50°.
②는 AB∥DC인데 길이가 같다고 준 변이 AD·BC로 어긋나 있다. 평행한 변과 길이가 같은 변이 같은 쌍일 때만 평행사변형이 되며, 어긋나면 등변사다리꼴도 가능해 조건이 되지 못한다.
①은 E가 AB의 중점일 때만 ¼이 되고, 직선을 기울이면 △OBE+△OFD는 커지거나 작아진다. 반면 ②의 △OBE+△OFC는 언제나 ¼이다. 그림 한 장으로 판단하지 말고 E를 위아래로 움직여 볼 것.
∠BGC=42°에서 β=42°, ∠BCD=96°, ∠FCB=48°를 얻은 뒤 엇각으로 ∠DFC=48°까지는 잘 간다. 묻는 각은 그 보각인 ∠AFC=132°. A와 D 중 어느 쪽 각인지 확인하지 않으면 선택지 ①·⑤로 빠진다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서술형1·3의 <조건>은 근거 세 가지와 기호 표기를 요구한다. "△○○○와 △□□□에서 / ① … ② … ③ … / 따라서 SAS(또는 RHA) 합동이므로 △○○○≡△□□□"라는 4줄 틀을 고정해 두고, 도형만 갈아 끼우는 연습을 10회 반복한다. 답 60cm²·320π만 적은 답안은 부분점수만 받는다.
예각(외심 내부)·직각(외심이 빗변 중점)·둔각(외심 외부) 세 경우를 직접 그려 각 관계식을 세워 보게 한다. 7번·15번이 정확히 이 지점을 찔렀다. 내심은 ∠BIC=90°+∠A/2, 외심은 ∠BOC=2∠A 두 공식의 유도 과정까지 말로 설명할 수 있어야 한다.
"아닌 것/옳지 않은 것"이 4문항 16점이다. 눈으로 훑어 고르지 말고 ①~⑤ 옆에 O/X와 한 줄 근거를 반드시 적는 습관을 들인다. 특히 10번처럼 "항상 성립하는가"를 묻는 유형은 값을 바꿔 넣는 반례 대입이 가장 빠른 판정법이다.
11번(원주각으로 환원), 16번(평행선과 넓이로 삼각형 옮기기)은 계산이 아니라 발상 전환이 관건이다. "같은 길이 세 개 → 원", "평행 → 넓이 보존" 두 신호를 기출에서 찾아 표시하는 훈련을 한 뒤, 15번처럼 외심·내심이 함께 나오는 복합형으로 마무리한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 삼각형의 성질 | 지붕(이등변삼각형)의 꼭지각 구하기 | 3 | 하 | ③ 20 | 밑각의 외각 100° → ∠ACB=80°, 이등변이므로 ∠ABC=80° → x=180−160=20 |
| 2 | 삼각형의 성질 | ∠B=∠C 증명에 쓰이지 않는 근거 고르기 | 3 | 하 | ② | 근거는 AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD 공통(SAS). BD=CD는 합동의 결과이지 전제가 아니다 |
| 3 | 삼각형의 성질 | 두 직각삼각형이 합동이 아닌 경우 | 4 | 하 | ⑤ | ①SAS ②RHS ③ASA ④RHA는 성립. ⑤는 각 조건뿐이라 변이 없어 크기가 결정되지 않는다 |
| 4 | 삼각형의 성질 | 이등변삼각형 2개 연쇄 · ∠B의 크기 | 4 | 중 | ① 20° | ∠B=x → ∠BCA=90−x/2 → ∠ACD=90+x/2 → ∠ADC=45−x/4. 외각 60°=x+(45−x/4) → x=20 |
| 5 | 피타고라스 정리 | 가로:세로=4:3, 대각선 40cm인 직사각형 | 4 | 하 | ④ 32cm | (4k)²+(3k)²=40² → 25k²=1600 → k=8 → 가로=4k=32 (3:4:5 비율 인식) |
| 6 | 외심과 내심 | 외심 · ∠OBA=48°, ∠OCA=25° → ∠x+∠y | 4 | 중 | ⑤ 219° | OA=OB=OC → ∠OAB=48°, ∠OAC=25° → x=∠A=73°, y=∠BOC=2∠A=146° → 219° |
| 7 | 외심과 내심 | 둔각삼각형의 외심 · ∠OAC | 4 | 중 | ③ 50° | ∠A=118°로 O가 BC 바깥. ∠OBC=∠OCB=t라 두면 (40+t)+(22+t)=118 → t=28 → ∠OAC=22+28=50° |
| 8 | 사각형의 성질 | 평행사변형이 되는 조건이 아닌 것 | 4 | 하 | ② | 평행인 변(AB∥DC)과 길이가 같은 변(AD=BC)이 서로 다른 쌍 → 등변사다리꼴 반례 존재 |
| 9 | 외심과 내심 | 내심 · ∠BEC+∠BDC=159° → ∠A | 4 | 중 | ③ 46° | ∠B=2b, ∠C=2c로 두면 합=(180−2b−c)+(180−b−2c)=360−3(b+c)=159 → b+c=67 → ∠A=180−134=46° |
| 10 | 사각형의 성질 | 대각선 교점을 지나는 직선과 넓이 관계 중 틀린 것 | 4 | 상 | ① | △OBE+△OFD는 E의 위치에 따라 변한다(중점일 때만 ¼). 항상 ¼인 것은 ②의 △OBE+△OFC |
| 11 | 사각형의 성질 | 정사각형 + AE=AB인 이등변삼각형 · ∠DEB | 5 | 상 | ⑤ 45° | AE=AB=AD → B·D·E가 중심 A인 한 원 위. 중심각 ∠DAB=90°의 원주각이므로 ∠DEB=45°(E 위치 무관) |
| 12 | 사각형의 성질 | 평행사변형 둘레 28, AC+BD=20 → △OCD 둘레 | 4 | 중 | ③ 16 | AB+BC=14, 3:4 → CD=AB=6. OC+OD=(AC+BD)/2=10 → 둘레=10+6=16 |
| 13 | 사각형의 성질 | ∠B·∠C의 이등분선과 ∠BGC=42° → ∠AFC | 4 | 중 | ② 132° | ∠B=2β, ∠C=2γ, β+γ=90°. △BCG에서 180−β−2γ=42 → β=42° → ∠FCB=48° → ∠DFC=48° → ∠AFC=132° |
| 14 | 사각형의 성질 | 평행사변형이 특수사각형이 되는 조건 중 틀린 것 | 4 | 중 | ② | AO=DO → AC=BD → 직사각형이지 마름모가 아니다. 마름모 조건은 이웃한 두 변이 같거나 대각선이 수직 |
| 15 | 외심과 내심 | 외심·내심 복합 · ∠x+∠y | 5 | 상 | ④ 225° | O가 AC 위 → AC가 지름 → ∠ABC=∠ADC=90°. BA=BC로 45°, AD=½AC로 30°·60°. ∠x=90°, ∠y=135° → 225° |
| 16 | 사각형의 성질 | 평행선과 넓이(등적변형) · △EFD=40 → △ABC | 5 | 상 | ⑤ 56 | AD∥EC → △AEC=△DEC → △ABC=△EBD. BF:FD=2:5 → △EFD=(5/7)△EBD=40 → △EBD=56 |
| 서술형1 | 삼각형의 성질 | 각의 이등분선 · RHA 합동 후 △ABD의 넓이 | 9 | 중 | 60 cm² | D에서 AB에 수선의 발 H → △ADC≡△ADH(∠C=∠AHD=90°, AD 공통, ∠DAC=∠DAH: RHA) → DH=DC=6 → ½×20×6=60 |
| 서술형2 | 외심과 내심 | 내접원 반지름 r와 색칠한 부채꼴의 호의 길이 | 8 | 상 | 3π cm | 12²+16²=20² → ∠A=90°, 넓이 96=½r(12+16+20) → r=4. 중심각 ∠BIC=90°+∠A/2=135° → 2π·4·(135/360)=3π |
| 서술형3 | 사각형의 성질 | "한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다 → 평행사변형" 증명 | 11 | 중 | △ABC≡△CDA (SAS) | AC 공통, AD=CB(가정), ∠ACB=∠CAD(AD∥BC 엇각) → SAS 합동 → ∠BAC=∠DCA → 엇각이 같으므로 AB∥DC |
| 서술형4 | 피타고라스 정리 | 직각삼각형 1회전 회전체(원뿔)의 부피 | 7 | 중 | 320π | AC=√(17²−8²)=15 → 밑면 반지름 8, 높이 15인 원뿔 → ⅓·π·8²·15=320π |
동평중학교 2학년 2025학년도 2학기 중간고사(1차지필) 수학은 선택형 16문항 65점과 서답형 4문항 35점, 모두 20문항 100점으로 구성됐다. 서답형이 배점의 35%이고 한 문항 평균 8.75점이어서, 서술 한 줄의 누락이 곧 두 자릿수 실점으로 이어지는 구조다. 단원별로는 사각형의 성질이 8문항 41점으로 가장 두껍고, 삼각형의 외심과 내심 5문항 25점, 삼각형의 성질 5문항 23점, 피타고라스 정리 2문항 11점이 뒤를 잇는다. 난이도는 하 5문항 18점, 중 10문항 55점, 상 5문항 27점으로 중난이도가 허리를 이루며, 3점짜리 개념 확인형 두 문항을 앞에 두고 10번 이후에 5점 문항을 번갈아 배치해 뒤로 갈수록 사고 단계를 늘리는 설계를 보인다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 합동을 근거로 길이와 각을 옮겨 쓰는 힘이다. 2번(3점)·3번(4점)·서술형1(9점)·서술형3(11점)로 이어지는 합동 계열 4문항 27점은 합동 조건의 이름을 외웠는지가 아니라 어떤 세 가지를 근거로 들 것인지를 스스로 고르게 하며, 서술형 두 문항은 <조건>에서 근거 세 가지 제시와 합동의 기호 표기를 아예 못 박았다. 두 번째 축은 도형을 다시 보는 재구성 능력이다. 11번(5점)은 AE=AB=AD라는 세 등변에서 점 A를 중심으로 하는 원을 떠올려야 답이 E의 위치와 무관하게 45°로 확정되고, 15번(5점)은 외심이 AC 위에 있다는 배치에서 ∠ABC=∠ADC=90°를 먼저 끌어내야 하며, 16번(5점)은 AD∥EC를 등적변형으로 바꿔 △ABC=△EBD로 옮겨야 풀린다. 이 세 문항 15점이 실질 변별 구간이다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식의 암기량이 아니라 주어진 조건을 다른 도형 언어로 번역하는 힘이다.
쉬운 말로 하면 이 시험은 계산 시험이 아니라 설명 시험이다. 다루는 숫자는 20·40·159처럼 크지 않지만, 그 값에 이르기까지 근거를 몇 단계 쌓았는지를 묻는다. 서답형 두 문항의 <조건>이 근거 세 가지와 기호 표기를 요구한다는 것은, 답을 60cm²나 3π로 맞혀도 과정 서술이 비어 있으면 배점의 상당 부분이 날아간다는 뜻이다. 따라서 아이의 실점을 점검할 때는 계산 실수부터 찾지 말고, 먼저 그림의 조건을 빠짐없이 옮겨 적었는지(독해력), 다음으로 합동과 평행의 근거를 문장으로 썼는지(서술력)를 순서대로 확인해야 한다. 이번 시험에서 오답의 뿌리는 대부분 계산이 아니라 근거의 생략에 있다.