신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
선택형 16문항 65점 + 서답형 4문항 35점, 총 20문항 100점. 연립방정식(42점)과 일차함수(58점)를 정확히 절반씩 나눠 담되, 배점의 35%를 서답형 4문항에 집중시킨 전형적인 서술형 승부 시험이다. 상 난이도 5문항이 28점을 차지하고 하 난이도는 14점뿐이어서, 기본 문항만으로는 90점대 진입이 불가능한 구조다.
전 20문항을 직접 풀어 정답을 확정하고, 계산·경우 분류·넓이 문항은 Python(sympy·완전탐색·몬테카를로)으로 교차검증했다.
연립방정식 계열 42점(8문항) vs 일차함수 계열 58점(12문항) — 후반 단원인 일차함수에 무게가 실렸다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
정방향 계산은 거의 없다. 4번(5점)은 해의 절댓값 조건에서 a를, 9번(4점)은 평행이동한 그래프가 지나는 두 점에서 a와 b를, 16번(5점)은 사각형 OABC의 넓이 20에서 점 C를 거꾸로 찾는다. 서술형1(7점)은 해 (3,-1)에서 k와 a를, 서술형2(10점)는 '잘못 본 답'에서 원래 계수 a, b를 복원한다. 전체 배점의 31%가 이 한 발상 위에 놓여 있다.
직선을 구하는 데서 끝나지 않고 반드시 도형으로 연결된다. 15번(4점)은 네 직선이 만드는 사다리꼴, 16번(5점)은 사각형 OABC, 서술형3(9점)은 y=(4/5)x-4와 두 축이 만드는 삼각형, 서술형4(9점)는 움직이는 점 P가 만드는 삼각형 APC의 넓이를 x의 식으로 표현한다. 넓이 문항만 27점이다.
값을 구하지 않고 성질을 판정한다. 6번(4점)은 해가 없을 조건(계수비는 같고 상수항비는 다름), 11번(4점)은 그래프 모양에서 a<0, b>0을 읽어 새 직선 y=(b/a)x-ab의 기울기 부호와 y절편 부호를 판정, 13번(4점)은 2x-3y+4=0을 y=(2/3)x+4/3으로 고쳐 다섯 개 진술을 전수 검증한다.
서술형1(7점) 7%, 서술형2(10점) 10%, 서술형3(9점) 9%, 서술형4(9점) 9%로, 네 문항만으로 등급 두 칸이 움직인다. 특히 서술형3은 「x절편·y절편을 이용하여 그래프를 그리시오」, 「x축·y축·원점을 표시하시오」라는 작도 조건이 문제에 명시되어 있어 넓이 10을 맞혀도 그래프를 빠뜨리면 감점이 확정된다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
가로 x, 세로 8인 직사각형의 둘레는 2(x+8)=2x+16이다. 보기 ④의 2x+8=y는 가로 2개와 세로 1개만 더한 식이므로 옳지 않은 것이 되어 이것이 정답이다. ③의 3x+5y=3.5처럼 소수가 섞인 식을 먼저 의심해 버리면 함정에 걸린다(거리=속력×시간이므로 옳은 식이다).
표의 6g·4g·3g·5g는 식품 50g에 들어 있는 양이다. 6x+3y=24, 4x+5y=28을 풀면 x=2, y=4가 나오는데 이는 50g 묶음의 개수이므로 실제 답은 A 100g, B 200g이다. x=2, y=4를 그대로 g으로 읽으면 보기에 그 값이 없어 다시 헤매게 된다.
|x|=|y|는 x=y와 x=-y 두 경우다. 한쪽만 구하고 끝내면 -4나 -2/3 중 하나만 답하게 된다. 0.1x-y/5=0.6을 x-2y=6으로 정리한 뒤 두 경우를 각각 대입해 a=-2/3, a=-4를 얻고, 문제가 요구한 '모든 상수 a의 값의 합' -14/3까지 가야 한다.
x-(a-2)y=5와 3x-2y=6에서 x, y 계수비만 맞추면 a=8/3이 나오지만, 이때 상수항비 5/6이 계수비 1/3과 달라야 해가 없다. 상수항까지 같아지면 해가 무수히 많아진다. 조건을 확인하지 않고 계수비만 맞추는 습관이 다른 문항에서 실점을 만든다.
2x-3y+4=0을 y=(2/3)x+4/3으로 고치면 기울기 2/3>0, y절편 4/3>0이므로 제1·2·3사분면을 지난다. 보기 ③의 '제1,2,4사분면'이 틀린 진술이다. 방정식 꼴 그대로 사분면을 추측하면 ①(x절편 -2)이나 ⑤(평행이동 4/3)를 오답으로 고르기 쉽다.
기울기 -1/2인 직선 m이 B(-2,6)을 지나므로 y=-x/2+5, 따라서 A(0,5)이다. 사각형 OABC는 O(0,0)-A(0,5)-B(-2,6)-C(c,0)이고, △OAB=5이므로 △OBC=15에서 밑변 OC=5, 즉 C(-5,0)이다. 직선 l의 기울기는 6÷3=2. A를 직선 l의 y절편으로 착각하면 식 자체가 세워지지 않는다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서술형1(7점)·2(10점)·3(9점)·4(9점)를 각각 3~4단계로 쪼개 번호를 붙여 쓰는 연습을 한다. 서술형2는 b → a → 바른 연립방정식 → 해(x=19, y=13)의 4단계, 서술형4는 PC=16-2x 표현 → y=-10x+80 → x의 범위 0≤x≤8 → x=6 대입해 20cm²의 4단계다. 마지막 줄에 반드시 '따라서 ~이다'로 답을 명시해 채점자가 결론을 찾게 만든다.
4·9·16번과 서술형1·2는 모두 결과에서 상수를 찾는다. ㉠ 해가 주어지면 곧바로 대입, ㉡ 넓이가 주어지면 도형을 축에 평행한 조각으로 분해, ㉢ '잘못 봤다'는 표현이 나오면 잘못 보지 않은 식만 사용 — 이 세 문장을 반사적으로 떠올리도록 유형별 5문제씩 반복한다.
11·13·14·15번은 방정식 꼴 그대로 판단하면 오답률이 급등한다. 2x-3y+4=0 → y=(2/3)x+4/3, 3y+6=0 → y=-2, x+2=0 → x=-2처럼 전부 정리한 뒤 기울기·절편의 부호를 표로 적고 사분면을 판정하는 절차를 고정한다. 15번은 정리만 끝나면 사다리꼴 넓이 (5+3)×4÷2=16이 즉시 보인다.
1·7·8·12번(합 14점)은 3분 안에 끝내고 남은 시간을 서답형에 배분한다. 중 난이도 11문항 58점이 실질적인 점수대의 몸통이므로, 2번의 자연수해 나열(a+b+c+d+e+f+g=28)이나 3번의 대입 후 계수 확인(a+b=2)처럼 계산을 한 번 더 검산하는 30초를 반드시 확보한다. 상 5문항 28점은 4번과 15번부터 노린다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 연립방정식의 풀이 | 문장을 미지수 2개인 일차방정식으로 — 옳지 않은 것 | 3 | 하 | ④ | 직사각형 둘레=2(가로+세로)=2x+16이므로 2x+8=y는 오류 |
| 2 | 연립방정식의 풀이 | 자연수해 나열 후 연립방정식의 해 — a~g의 합 | 4 | 중 | ① | a=1,b=2,c=9,d=5,e=5, 연립해 (5,1)→f=5,g=1 ⇒ 합 28 |
| 3 | 연립방정식의 풀이 | 대입법으로 x 소거 후 남은 식의 계수 ay+b=7 | 4 | 중 | ② | x=3-2y 대입 → 15-13y=7, a=-13, b=15 ⇒ a+b=2 |
| 4 | 연립·활용과 조건 | |x|=|y| 조건을 만족하는 모든 상수 a의 합 | 5 | 상 | ① | x-2y=6에서 x=y→(-6,-6)→a=-2/3, x=-y→(2,-2)→a=-4 ⇒ -14/3 |
| 5 | 연립·활용과 조건 | 표(50g당 단백질·지방)를 이용한 배합 활용 | 5 | 중 | ② | 6x+3y=24, 4x+5y=28 → x=2,y=4는 50g 묶음 수 ⇒ A 100g, B 200g |
| 6 | 연립방정식의 풀이 | 연립방정식의 해가 없을 조건에서 상수 a | 4 | 중 | ④ | 1/3=(a-2)/2로 계수비 일치 → a=8/3, 상수항비 5/6≠1/3이므로 해 없음 |
| 7 | 일차함수와 그래프 | y가 x의 함수인 것 고르기 (대응의 유일성) | 3 | 하 | ⑤ | ①~④는 x 하나에 y가 여러 개 대응, ⑤만 y=5x로 유일 대응 |
| 8 | 일차함수와 그래프 | f(x)=-ax+1, f(-3)=16일 때 f(-1) | 4 | 하 | ⑤ | 3a+1=16 → a=5, f(x)=-5x+1 ⇒ f(-1)=6 |
| 9 | 일차함수와 그래프 | y축 방향 -a 평행이동 후 두 점 통과 → a-b | 4 | 중 | ④ | y=ax-3-a에 (2,5) 대입 → a=8, y=8x-11에 (b,-3) → b=1 ⇒ 7 |
| 10 | 일차함수와 그래프 | y절편·기울기를 새 직선의 계수로 재조합 → x절편 | 4 | 중 | ④ | a=2, b=-4 → y=-2x+4, y=0 대입 ⇒ x절편 2 |
| 11 | 일차함수와 그래프 | 그래프 모양에서 a,b 부호 판정 → 지나지 않는 사분면 | 4 | 상 | ③ | a<0,b>0 → 기울기 b/a<0, y절편 -ab>0 ⇒ 제3사분면 제외 |
| 12 | 일차함수와 그래프 | x절편 2, 점 (1,2)를 지나는 직선의 식 | 4 | 하 | ② | 두 점 (2,0),(1,2)의 기울기 -2 ⇒ y=-2x+4 |
| 13 | 일차함수와 그래프 | 일차방정식 2x-3y+4=0 그래프의 성질 — 옳지 않은 것 | 4 | 중 | ③ | y=(2/3)x+4/3, 기울기·y절편 모두 양수 ⇒ 제1·2·3사분면(④·⑤는 옳음) |
| 14 | 일차함수와 일차방정식 | 두 직선의 교점을 지나고 y축에 평행한 직선 | 4 | 중 | ② | 2x+y=6, x-y=-3 → 교점 (1,4), y축 평행은 x=k 꼴 ⇒ x=1 |
| 15 | 일차함수와 일차방정식 | 네 직선으로 둘러싸인 도형(사다리꼴)의 넓이 | 4 | 상 | ④ | y=2x-4, y=2, y=-2, x=-2 → 윗변 5·아랫변 3·높이 4 ⇒ 16 |
| 16 | 일차함수와 일차방정식 | 사각형 OABC의 넓이 20에서 직선 l의 기울기 역추적 | 5 | 상 | ① | m: y=-x/2+5 → A(0,5), △OAB=5이므로 △OBC=15 → C(-5,0) ⇒ 기울기 2 |
| 서술형1 | 연립방정식의 풀이 | A=B=k 꼴 연립방정식, 해 (3,-1)에서 ak 구하기 | 7 | 중 | 14 | (3+1+5)/3=k=3, (3a-2)/4=3 → a=14/3 ⇒ ak=14 |
| 서술형2 | 연립방정식의 풀이 | 계수를 잘못 본 두 해에서 원래 연립방정식 복원 | 10 | 상 | x=19, y=13 | (-1,-2)를 3x+by=5에 → b=-4, (4,3)을 ax-3y=-1에 → a=2, 2x-3y=-1·3x-4y=5 풀이 |
| 서술형3 | 일차함수와 그래프 | y=(4/5)x-4와 x축·y축으로 둘러싸인 도형의 넓이(작도 조건) | 9 | 중 | 10 | x절편 5, y절편 -4 → 직각삼각형 1/2×5×4 ⇒ 10 (그래프·축·원점 표시 필수) |
| 서술형4 | 일차함수와 그래프 | 점 P가 BC 위를 움직일 때 △APC의 넓이를 x의 식으로 | 9 | 중 | y=-10x+80, 20cm² | BP=2x, PC=16-2x, 높이 AB=10 → y=1/2(16-2x)·10=-10x+80 (0≤x≤8), x=6 ⇒ 20 |
동평중 2학년 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 16문항 65점, 서답형 4문항 35점으로 총 20문항 100점이다. 단원 배점은 일차함수와 그래프 45점(9문항)이 가장 크고 연립방정식의 풀이 32점(6문항), 일차함수와 일차방정식 13점(3문항), 연립방정식의 활용·해의 조건 10점(2문항)이 뒤를 잇는다. 난이도는 상 5문항 28점, 중 11문항 58점, 하 4문항 14점이다. 1~6번에 연립방정식, 7~16번에 일차함수를 몰아 배치해 단원 경계를 그대로 노출했고, 두 5점 문항(4·16번)을 각 단원의 끝자락에 배치해 하 난이도가 14점뿐인 구조를 만들었다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 결과에서 상수를 거꾸로 찾는 역추적이다. 4번(5점)·9번(4점)·16번(5점)·서술형1(7점)·서술형2(10점)를 합치면 31점으로, 문항 번호는 흩어져 있어도 요구하는 발상은 하나다. 두 번째 축은 직선을 구한 뒤 반드시 도형으로 연결하는 계열로 15번(4점)·16번(5점)·서술형3(9점)·서술형4(9점) 합계 27점이다. 최고배점인 서술형2(10점)는 '잘못 보지 않은 식은 그대로 성립한다'는 논리를 b→a→바른 연립방정식→해의 4단으로 서술해야 하고, 16번(5점)은 넓이 20에서 △OAB=5와 △OBC=15로 분해해 C(-5,0)을 찾아야 기울기 2에 도달한다. 결국 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 조건을 등식으로 옮기는 번역 능력이다.
학부모 입장에서 읽으면 이렇다. 공식을 외워 대입하는 문제는 14점(1·7·8·12번)뿐이고, 나머지 86점은 문제가 준 상황을 식으로 바꾼 뒤 한 번 더 거꾸로 되짚어야 답이 나온다. 서답형 35점은 답만 맞혀서는 온전히 받을 수 없는데, 특히 서술형3에는 「x절편·y절편을 이용하여 그래프를 그리시오」, 「x축·y축·원점을 표시하시오」라는 작도 조건이 문제에 직접 명시되어 있어 넓이 10을 맞혀도 그림을 빠뜨리면 감점이 확정된다. 따라서 점수가 기대에 못 미쳤다면 원인을 계산 실수에서 찾기 전에, 5번의 '50g당' 같은 단서를 읽어내는 독해력과 풀이 과정을 문장으로 남기는 서술력 두 곳을 먼저 점검해야 한다.