선택형 15문항 45점 + 서답형 8문항 55점, 총 23문항 100점의 차등배점 시험. 원의 방정식이 44.7점으로 절반 가까이를 차지하고, 서답형 55점 중 35점이 풀이과정을 직접 써야 하는 서술형이다. 최댓값·최솟값 계열 4문항(28.8점)이 상위권 변별을 전담한다.
2025년 9월 29일(월) 1교시 시행 · 제1학년 1~10반 재적 219명 · 만점 100점(차등배점) · 선택형 1~15번 45점, 서답형 단답형 1~4번 20점 + 서술형 5~8번 35점
「도형의 방정식」 3개 중단원(원·평면좌표와 직선·도형의 이동)이 72.2점, 「집합」이 27.8점. 원의 방정식 단독으로 44.7점이다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
14번(3.8점) 평행이동한 두 점 사이 거리의 최솟값, 서답형 3번(5점) PA²+PB²의 최댓값과 최솟값의 합, 서답형 7번(9점) 두 곳 모두 방문한 학생 수의 최댓·최솟값, 서답형 8번(11점) 삼각형 둘레의 최솟값. 배점 합계 28.8점으로 「상」 34.8점의 대부분을 이 축이 차지한다.
7번(2.9점) 기울기가 주어진 접선, 10번(3.2점) 원 위의 점에서의 접선, 13번(3.6점) 원과 직선이 만나도록 하는 정수 k의 개수, 서답형 6번(8점) x축·y축에 모두 접하는 원. 네 문항 모두 「중심과 직선 사이의 거리 d를 반지름 r와 비교」라는 한 가지 판정 도구로 관통된다.
단답형 1~4번(4·5·5·6점, 합 20점)은 정답만 기재하므로 부분점수가 없고, 서술형 5~8번(7·8·9·11점, 합 35점)은 풀이과정과 답을 함께 써야 한다. 서술형 하나가 선택형 2~3문항의 배점과 맞먹는 구조다.
6번(2.8점)은 5⊄A / 5⊂B / {2}⊂A / {5}⊂A∩B 네 기호를 나란히 놓아 원소와 집합의 구분을 묻고, 8번(3점)은 「진부분집합」이라는 한 단어로 정답을 8에서 7로 바꾼다. 9번(3.1점)은 A∩B=∅, A⊂C, n(B∩C)=1 세 조건을 동시에 만족하는 상황에서 「항상 성립한다고 할 수 없는 것」을 고르게 한다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
「5⊂B」는 원소와 집합 사이에 부분집합 기호를 쓴 잘못된 표기라 옳지 않다. 옳게 쓰려면 {5}⊂B여야 한다. 반대로 {2}⊂A, {5}⊂A∩B는 좌변이 집합이므로 참. 옳은 것은 ㄷ, ㄹ 두 개뿐이다.
A={2,4,6,8}에서 2를 포함하는 부분집합은 2³=8개. 그러나 진부분집합이므로 A 자신(2를 포함함)을 반드시 빼야 하며 정답은 7이다. 8을 고르면 ⑤로 오답 처리된다.
선분 AB를 m:n으로 내분하는 점은 (mB+nA)/(m+n)이다. (1−t):t이므로 결과는 (3t−1, 5t−1). 순서를 뒤집으면 좌표가 달라져 범위가 1/5<t<1/3이 아닌 엉뚱한 구간이 나온다.
「만나도록」에는 접하는 경우가 포함되므로 |k|/√5 ≤ 2√5, 즉 −10≤k≤10으로 정수는 21개. 등호를 빼고 −9~9로 세면 19개(②)가 되어 오답이다.
x축·y축에 모두 접하므로 중심은 (a,a) 또는 (a,−a) 두 가지다. 제1사분면 해 (x−2)²+(y−2)²=4만 쓰고 제4사분면 해 (x−6)²+(y+6)²=36을 빠뜨리면 서술형 배점의 절반이 날아간다.
전체 20명이므로 n(A∪B)=16+7−x≤20에서 x≥3이 나온다. 「겹치는 학생이 없을 수도 있다」고 보아 최솟값 0을 쓰면 감점. 최댓값은 x≤min(16,7)=7이다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
중심–반지름 추출(표준형 변형), 접선 두 공식(y=mx±r√(m²+1) / x₁x+y₁y=r²), 중심–직선 거리 판정, 두 원의 교점을 지나는 원 C₁+kC₂=0까지 4개 도구를 손에 붙인다. 이 네 도구로 7·10·13번과 서답형 4·6·8번이 동시에 열린다.
답만 맞히는 훈련이 아니라, 조건 → 식 → 근거 → 결론의 4줄 서술을 규격화한다. 특히 경우 분류가 필요한 서6(8점)은 「①의 경우 / ②의 경우」로 소제목을 달아 두 답이 모두 채점자 눈에 보이게 쓰는 것이 점수를 지킨다.
최고배점 서답형 8번(11점)은 P를 x축과 직선 y=x에 대해 각각 대칭이동시켜 둘레를 선분 P₁P₂로 바꾸는 순간 끝난다. 이때 둘레의 최솟값은 √(2(a²+b²))=5√2로 점 P의 위치와 무관하다는 구조를 이해해야 (물음2)의 Q, R 좌표까지 이어진다.
5·6·8·9·10·11·12·13번과 서답형 1·5·6·7번이 여기에 해당한다. 개별 난도는 높지 않으나 진부분집합·등호 포함·두 경우 분류 같은 한 단어짜리 조건에서 실점이 몰린다. 오답노트를 「계산 실수」와 「조건 누락」으로 나눠 기록하면 실점 구조가 즉시 드러난다.
전 23문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리 (선택형 15 + 서답형 8)
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 선택 1 | 도형의 이동 | 점의 원점 대칭이동 | 2 | 하 | ② | (x,y)→(−x,−y). P(3,−1)→(−3,1) |
| 선택 2 | 평면좌표·직선 | 삼각형의 무게중심 | 2.2 | 하 | ③ | G=((1+5+3)/3,(1+1+7)/3)=(3,3) |
| 선택 3 | 평면좌표·직선 | 두 직선의 평행 조건 | 2.4 | 하 | ① | 1/k=3/(−6)≠−2/9 → k=−2 |
| 선택 4 | 집합 | 집합의 상등에서 미지수 결정 | 2.6 | 하 | ⑤ | {−2,−a}={b,1} → a=−1, b=−2, ab=2 |
| 선택 5 | 평면좌표·직선 | 내분점과 제2사분면 조건 | 2.7 | 중 | ② | 내분점 (3t−1,5t−1). x<0,y>0 → 1/5<t<1/3, 15(a+b)=8 |
| 선택 6 | 집합 | 원소·부분집합 기호 판별(보기형) | 2.8 | 중 | ③ | ㄷ {2}⊂A, ㄹ {5}⊂A∩B={5}만 참. ㄴ 5⊂B는 표기 오류 |
| 선택 7 | 원의 방정식 | 기울기가 주어진 원의 접선 | 2.9 | 하 | ① | y=mx±r√(m²+1) → k=√10·√10=10 |
| 선택 8 | 집합 | 특정 원소를 포함하는 진부분집합 개수 | 3 | 중 | ④ | 2³=8에서 자기 자신 제외 → 7 |
| 선택 9 | 집합 | 포함관계 조건에서 항상 성립하지 않는 것 | 3.1 | 중 | ③ | n(B∩C)=1인 원소가 A 밖에 있으므로 C−A≠∅ |
| 선택 10 | 원의 방정식 | 원 위의 점에서의 접선 | 3.2 | 중 | ④ | 4(x−1)+2(y+2)=20 → y=−2x+10, m+n=8 |
| 선택 11 | 집합 | 조건제시형 집합의 연산 | 3.3 | 중 | ① | A={0,1,2},B={2,3,5},C={2}. Aᶜ∩B={3,5} → n=1 |
| 선택 12 | 평면좌표·직선 | 수직 조건 + 점과 직선 사이의 거리 | 3.4 | 중 | ⑤ | 교점 (−1,2), b=2a. |3a+7|=10|a| → a=1,b=2, a+b=3 |
| 선택 13 | 원의 방정식 | 원과 직선이 만나는 정수 k의 개수 | 3.6 | 중 | ④ | 중심(1,2), r=2√5. |k|/√5≤2√5 → −10≤k≤10, 21개 |
| 선택 14 | 도형의 이동 | 평행이동한 두 점 사이 거리의 최솟값 | 3.8 | 상 | ⑤ | d²=5t²+6t+18, t=−3/5에서 81/5 → 9√5/5 |
| 선택 15 | 평면좌표·직선 | 넓이비를 내분비로 번역 + 직선의 방정식 | 4 | 상 | ② | AC:AB=1:4 → C(5/2,2), 원점 통과 → y=(4/5)x |
| 서답 1 (단답) | 집합 | A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수 | 4 | 중 | 32 | A={1,5}, n(B)=7 → 2⁷⁻²=32 |
| 서답 2 (단답) | 원의 방정식 | 삼각형의 내접원의 방정식 | 5 | 상 | 8 | 세 변 3√2·4√2·5√2(직각). 내심 (2,4), r=√2 → 2+4+2=8 |
| 서답 3 (단답) | 원의 방정식 | PA²+PB²의 최댓값과 최솟값의 합 | 5 | 상 | 220 | PA²+PB²=110−20x+16y. 진폭 12√41 상쇄 → 110×2=220 |
| 서답 4 (단답) | 원의 방정식 | 두 원의 교점을 지나는 최소 반지름 원 | 6 | 상 | 180 | 공통현 x+2y−5=0, AB가 지름. 중심(3,1), r²=5 → 20×9=180 |
| 서답 5 (서술) | 도형의 이동 | 평행이동 후 y=x 대칭이동 | 7 | 중 | (x+3)²+(y+1)²=16 | 중심(1,−2),r=4 → 평행이동 (−1,−3) → y=x 대칭 (−3,−1) |
| 서답 6 (서술) | 원의 방정식 | 두 축에 모두 접하고 중심이 직선 위인 원 | 8 | 중 | (x−2)²+(y−2)²=4 또는 (x−6)²+(y+6)²=36 | 중심 (a,a)와 (a,−a) 두 경우를 각각 y=−2x+6에 대입 |
| 서답 7 (서술) | 집합 | 합집합의 원소 개수 범위(실생활 조사) | 9 | 중 | 최댓값 7 최솟값 3 | n(A∪B)=23−x≤20 → x≥3, x≤min(16,7)=7 |
| 서답 8 (서술) | 원의 방정식 | 대칭이동을 이용한 삼각형 둘레의 최솟값 | 11 | 상 | (1) 5√2 (2) Q(25/2a, 25/2a) R(25/(a+b), 0) | P를 x축·y=x에 대칭시켜 P₁(a,−b), P₂(b,a). 둘레≥|P₁P₂|=√(2(a²+b²))=5√2. Q·R는 선분 P₁P₂와 두 변의 교점 |
2025학년도 강북고등학교 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 선택형 15문항 45점과 서답형 8문항 55점, 합계 23문항 100점으로 구성된 차등배점 시험이다. 서답형이 총점의 55%를 가져가고 그중 서술형 5~8번만으로 35점이 걸려 있어, 무게중심이 객관식이 아닌 서술 쪽에 놓였다. 단원별로는 원의 방정식 8문항 44.7점(44.7%)이 압도적 1위이고 집합 7문항 27.8점(27.8%), 평면좌표와 직선의 방정식 5문항 14.7점(14.7%), 도형의 이동 3문항 12.8점(12.8%)이 뒤를 잇는다. 난이도는 상 6문항 34.8점, 중 12문항 53.1점, 하 5문항 12.1점으로, 선택형 배점을 2점에서 4점까지 0.2점 단위로 계단식 상승시켜 번호 순서 자체가 난도 순서가 되도록 설계했다.
시험을 관통하는 첫 축은 최댓값·최솟값이다. 14번(3.8점), 서답형3(5점), 서답형7(9점), 서답형8(11점, 최고배점) 네 문항이 28.8점을 형성하며, 소재는 거리·집합·도형으로 흩어져 있으나 「변수를 하나로 줄여 식을 세우고 그 변동 범위를 잠근다」는 골격은 같다. 두 번째 축은 중심과 직선 사이의 거리로 위치관계를 판정하는 계열로, 7번(2.9점)·10번(3.2점)·13번(3.6점)·서답형6(8점)이 17.7점을 이룬다. 최고배점인 서답형8(11점)은 호 위를 움직이는 점 P와 두 선분 위의 점 Q, R가 만드는 삼각형을 다루는데, 점 세 개가 동시에 움직이므로 대입으로는 접근이 막히고 대칭이동으로 경로를 직선으로 펴는 발상이 있어야 비로소 둘레의 최솟값 5√2가 P의 위치와 무관함이 드러난다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식 암기량이 아니라, 주어진 조건을 좌표식으로 옮기고 그 식이 변할 수 있는 범위를 스스로 잠그는 통제력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 계산 시험이라기보다 설명 시험에 가깝다. 100점 중 35점이 풀이과정을 직접 써야 하는 서술형이고, 시험지에도 「5~8(서술형)은 풀이과정과 답을 쓰시오」라고 명시되어 있어 답만 맞혀서는 배점이 온전히 인정되지 않는다. 반대로 단답형 1~4번(20점)은 「정답만 기재」이므로 부분점수가 없고, 한 번의 계산 실수가 4~6점 통실점으로 직결된다. 난이도 「하」가 12.1점뿐이라는 점도 함께 보아야 한다. 기본 문항을 모두 맞혀도 출발선이 12점대에 불과하므로, 실점의 원인을 계산력에서 찾기 전에 조건을 빠뜨리지 않고 읽어내는 독해력과 근거를 문장으로 남기는 서술력에서 먼저 점검하는 것이 타당하다.