10번(절댓값 두 개, 정수 x의 개수), 12번(연립부등식의 정수해 4개 → 정수 a의 합, 4.9점), 서답형2(정수해 3개 → 실수 a의 곱, 5점), 서답형4(정수해 1개 → 순서쌍 (m,n)의 개수, 6점)까지 동일한 발상의 문제가 난이도를 올려가며 4번 반복된다. 여기만 합쳐도 20.2점이다.
2번(₁₀C₂)·4번(약수의 개수)만 단순 적용이고, 8번은 “적어도 2장이 이웃”을 여사건(모두 이웃하지 않음)으로 뒤집어야 하며, 서답형1은 꽃 3(서로 다름)과 초콜릿 3(같음)을 5명에게 분배하는 3가지 배타적 케이스 분류가 필요하다. 최고배점인 서답형8(12점)은 다섯 영역 색칠의 경우의 수를 k에 관한 식으로 일반화하는 문제다.
1번(A+B)·7번((1,1)성분 비교)은 정의 그대로 계산하면 끝나지만, 서답형3(5점)은 A의 성분을 구할 수 없는 상태에서 구하려는 벡터를 주어진 두 벡터의 일차결합으로 표현해야 하고, 서답형5(8점)는 성분 정의식으로 A를 만든 뒤 A²=-E라는 주기 구조를 발견해 A+A²+…+A²⁰²⁶을 처리해야 한다.
5번은 일차식을 대입해 중근이 나오는 기본형, 9번은 x²-2xy-8y²=(x-4y)(x+2y)=0 으로 두 갈래를 모두 검토해야 최댓값을 놓치지 않는다. 서답형7(10점)은 두 식의 상수항을 소거해 동차식으로 만든 뒤 t=n/m 에 대한 이차방정식으로 바꾸는 고난도 정수 조건 문제다.
t²+(k-18)t+14=0 에서 t가 14의 약수(±1, ±2, ±7, ±14)일 때 k를 구하면 3, 9, 27, 33이 나온다. 그러나 둘째 식 4x²-6xy+2y²=1 은 2(t-1)(t-2)x²=1 이므로 t=1, t=2에서는 좌변이 0이 되어 해가 존재하지 않는다. 이 검증을 건너뛰면 k의 후보와 합이 달라진다. “실제로 해가 존재하는가”를 마지막에 반드시 되돌려 확인해야 하는 문항이다.
연립부등식 {f(x)≤0, g(x)<0}의 해가 4<x≤6 이라는 조건에서, 닫힌 끝점 6은 등호가 있는 f(x)≤0에서, 열린 끝점 4는 등호가 없는 g(x)<0에서 온다. 이 대응을 반대로 잡으면 a, b 값이 통째로 어긋난다. f(6)=0, g(4)=0으로 세워야 a=-8, b=12가 나오고, 최종 답(g(x)-f(x)≤13의 정수해 개수)까지 연쇄적으로 틀린다.
x²-2xy-8y²=(x-4y)(x+2y)=0 에서 x=4y와 x=-2y 두 경우가 모두 나온다. x=-2y를 대입하면 ab=-8, x=4y를 대입하면 ab=10이다. 습관적으로 먼저 나온 한 경우만 풀면 최댓값 10을 놓친다.
x²-a²x>0 ⇒ x(x-a²)>0 이고 0<a<1이므로 해는 x<0 또는 x>a²이다. 즉 정수 x=0은 항상 해가 아니다. 두 번째 부등식 구간 4a-1≤x≤4a+1에 0이 포함되는 a=1/4를 걸러내지 못하면 정수해 개수를 3개로 잘못 세게 된다. 정답이 되는 a는 1/2과 3/4뿐이다.
문제에 “경계선을 공유하는 경우만 인접한 영역으로 생각한다”고 명시되어 있다. 아래 사각형에서 마주보는 두 삼각형은 중심점 하나만 공유하므로 같은 색을 칠해도 된다. 이를 인접으로 처리하면 고리(4-사이클) 구조가 완전그래프로 바뀌어 식 자체가 달라진다. 또한 위쪽 띠가 아래쪽 좌·우 삼각형과도 인접한다고 보면 답이 어긋난다 — 띠는 위 삼각형 한 개와만 변을 공유한다.
|x-1|+|2x-10|≤2x+3 은 x<1, 1≤x<5, x≥5 세 구간으로 나뉜다. x<1 구간에서는 x≥8/5라는 모순된 결과가 나와 해가 없다. 각 구간에서 구한 해를 “그 구간과 교집합”으로 잘라내지 않고 전부 합치면 정수 개수가 부풀려진다(정답은 2≤x≤14, 13개).
12·서답형2·4·6이 모두 같은 계열이다. 두 해집합을 수직선에 그리고, 교집합 끝점을 미지수 식으로 표현한 뒤 정수 개수를 세는 3단계 절차를 표준화한다. 특히 끝점의 등호 포함 여부와 제외되는 정수(서답형2의 x=0)를 매번 별도로 점검하는 습관이 결정적이다.
“적어도”가 보이면 즉시 여사건(8번), 서로 다른 것과 같은 것이 섞이면 배타적 케이스 분류(서답형1), 도형 색칠은 인접 관계를 그래프로 먼저 그린 뒤 한 영역씩 순서대로 색을 정한다(서답형8). 색칠 문제는 k에 관한 식으로 일반화하는 연습을 별도로 해야 한다.
aᵢⱼ 형태로 주어진 행렬은 i, j에 1, 2를 대입해 즉시 숫자 행렬로 바꾸는 연습을 반복한다. 거듭제곱의 합이 나오면 A², A³, A⁴까지 직접 계산해 주기를 찾은 뒤 지수를 주기로 나눈 나머지로 처리한다. 서답형3처럼 A를 모르는 문제는 일차결합 계수를 항등식으로 구하는 유형으로 따로 익혀 둔다.
한쪽이 동차식이면 인수분해해 두 직선으로 쪼개고 양쪽 모두 검토한다(9번). 양쪽 모두 이차인 경우는 상수항을 소거해 동차식을 만들고 y/x로 치환하는 표준 절차를 익힌다(서답형7). 마지막에는 구한 값이 원래 식을 실제로 만족하는지 대입 검증하는 단계를 반드시 붙인다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 행렬 | 두 이차행렬의 합 A+B | 2.4 | 하 | 대응하는 성분끼리 더한다. 부호 처리만 주의하면 1단계로 끝나는 정의 확인 문항 |
| 2 | 경우의수 | 10명 중 임원 2명을 뽑는 방법의 수 표현 | 2.4 | 하 | 순서를 고려하지 않는 선택임을 확인하고 ₁₀C₂를 고름. 순열·조합 구분만 묻는 문항 |
| 3 | 부등식 | 연립일차부등식의 해 a<x<b, ab의 값 | 2.5 | 하 | 두 일차부등식을 각각 x>2, x<7로 정리해 공통범위 2<x<7을 잡고 곱을 계산 |
| 4 | 경우의수 | 10500의 약수 중 홀수의 개수 | 2.5 | 하 | 10500=2²×3×5³×7로 소인수분해한 뒤 2의 지수를 0으로 고정하고 곱의 법칙 적용 |
| 5 | 방정식 | 일차+이차 연립방정식, α²+β²의 값 | 3.1 | 중 | y=4-x를 대입해 4x²-8x+4=0 → (x-1)²=0 중근임을 확인. 해가 하나뿐임을 놓치지 않는 것이 포인트 |
| 6 | 경우의수 | ₙPₕ=ₙCₕ×r! 유도 과정 (가)(나)(다) 채우기 | 3.1 | 중 | (i)은 상자 선택+공 배열이므로 ₙPₕ, (ii)는 상자 선택만이므로 ₙCₕ. 순서 고려 여부의 차이가 r!임을 논리로 연결 |
| 7 | 행렬 | AB, BA, AC, CA, BC의 (1,1)성분 비교 | 3.1 | 중 | 전체 곱을 구하지 말고 (1,1)성분만 1행×1열로 5번 계산해 비교(0, 6, 0, 2, -3) |
| 8 | 경우의수 | 유니폼 7장 나열, 야구 유니폼 적어도 2장 이웃 | 3.7 | 중 | 여사건 활용: 7! − (야구 3장이 모두 이웃하지 않음) = 5040 − 4!×₅P₃ = 5040-1440 |
| 9 | 방정식 | 이차+이차 연립방정식, ab의 최댓값 | 3.7 | 중 | (x-4y)(x+2y)=0으로 인수분해해 x=4y, x=-2y 두 경우를 모두 둘째 식에 대입 후 비교 |
| 10 | 부등식 | |x-1|+|2x-10|≤2x+3의 정수해 개수 | 4.3 | 중 | x<1 / 1≤x<5 / x≥5 세 구간으로 나눠 절댓값을 풀고 각 구간과의 교집합만 취해 합집합 |
| 11 | 부등식 | 모든 실수에서 성립하는 이중부등식, β-α의 최댓값 | 4.3 | 상 | 좌측 조건은 일차식이 항상 0 이상이므로 x의 계수가 0(a=4)이어야 함을 먼저 확정하고, 우측은 판별식 D≤0으로 b의 범위를 잡음 |
| 12 | 부등식 | 연립부등식의 정수해가 4개일 때 정수 a의 합 | 4.9 | 상 | |x-7|≤4 → 3≤x≤11, 이차식은 (x-(a+1))(x-(4a+2))≤0으로 인수분해. a의 부호에 따라 두 근의 대소가 바뀌므로 케이스를 나눠 정수 개수를 셈 |
| 서답 1 단답형 | 경우의수 | 서로 다른 꽃 3 + 같은 초콜릿 3을 5명에게 분배 | 4 | 상 | 총 6개를 5명이 모두 받으므로 한 명만 2개. 2개의 구성을 (꽃2)/(꽃1+초1)/(초2) 세 케이스로 나눠 각각 세고 합산 |
| 서답 2 단답형 | 부등식 | 연립부등식의 정수해가 3개일 때 실수 a의 곱 (0<a<1) | 5 | 상 | x(x-a²)>0과 (x-4a)²≤1로 변형. 길이 2인 구간이 정수 3개를 포함하려면 끝점이 정수여야 하고, x=0은 항상 제외됨을 반영 |
| 서답 3 단답형 | 행렬 | A의 성분을 모르는 상태에서 (-1 1)A(p, 2q)ᵀ 구하기 | 5 | 상 | 구하려는 열벡터를 주어진 두 열벡터의 일차결합으로 놓고 p, q에 대한 항등식으로 계수를 결정한 뒤, A의 선형성을 이용해 결과 벡터를 합성 |
| 서답 4 단답형 | 부등식 | 정수해가 1개가 되도록 하는 순서쌍 (m,n)의 개수 | 6 | 상 | (x-n)(x-2)<0에서 정수해가 생기려면 n≥3임을 먼저 확정. (mx-2)(x+m)≥0은 m의 부호에 따라 부등식 방향과 두 근의 대소가 모두 바뀌므로 m>0 / m<0으로 나눠 전수 점검 |
| 서답 5 서술형 | 행렬 | 성분 정의식으로 주어진 A, A+A²+…+A²⁰²⁶의 성분 총합 | 8 | 상 | i>j / i≤j로 나눠 A를 숫자 행렬로 확정한 뒤 A²=-E, A⁴=E로 주기 4를 찾고, 한 주기의 성분 합이 0임을 이용해 2026=4×506+2로 처리 |
| 서답 6 서술형 | 부등식 | 연립부등식의 해가 4<x≤6일 때 a, b 결정 후 정수해 개수 | 10 | 상 | 닫힌 끝점 6은 f(x)≤0에서, 열린 끝점 4는 g(x)<0에서 온다는 등호 대응으로 f(6)=0, g(4)=0을 세워 a, b를 구한 뒤 g(x)-f(x)≤13을 정리해 정수 개수를 셈 |
| 서답 7 서술형 | 방정식 | 이차 연립방정식, n/m이 정수가 되는 정수 k의 합 | 10 | 상 | 두 식을 결합해 상수항을 소거하고 동차식을 만든 뒤 t=y/x로 치환해 t²+(k-18)t+14=0을 유도. t가 14의 약수여야 하며, 해가 실제로 존재하지 않는 t=1, 2를 제외 |
| 서답 8 서술형 | 경우의수 | 다섯 영역을 k가지 이하의 색으로 칠하는 방법의 수(k에 관한 식) | 12 | 상 | 인접 관계를 먼저 정리: 아래 4개 삼각형은 고리 구조(마주보는 것끼리는 점만 공유 → 인접 아님), 위쪽 띠는 위 삼각형 하나에만 인접. 한 영역씩 순서대로 색을 정하며 고리가 닫히는 지점에서 경우를 나눠 일반식을 세움 |
이번 강북고등학교 1학년 공통수학1 2026학년도 1학기 기말고사는 총 20문항 100점으로, 선택형 12문항 40점과 서답형 8문항 60점(단답형 4문항 20점 + 서술형 4문항 40점)으로 구성되었다. 가장 눈에 띄는 것은 서답형이 총점의 60%를 차지한다는 점이다. 단원별 배점은 부등식 37.0점(7문항), 경우의 수 27.7점(6문항), 행렬 18.5점(4문항), 연립방정식 16.8점(3문항) 순이며, 난이도 분포는 상 10문항 69.2점, 중 6문항 21.0점, 하 4문항 9.8점으로 상급 문항이 배점의 약 70%를 차지한다. 선택형 1~4번(2.4~2.5점)은 정의 확인 수준의 기본 문항이지만, 그 이후로는 배점이 3.1 → 3.7 → 4.3 → 4.9점으로 계단식으로 올라가며 난이도도 함께 급격히 상승하는, 전형적인 ‘변별 중심’ 설계다.
출제의 핵심 특징은 “조건을 만족시키는 정수의 개수”를 주고 미지수를 거꾸로 찾게 하는 역산형이 시험 전체를 관통한다는 점이다. 10번(절댓값 부등식의 정수해 개수), 12번(정수해 4개 → 정수 a의 합, 4.9점), 서답형2(정수해 3개 → 실수 a의 곱, 5점), 서답형4(정수해 1개 → 순서쌍 (m,n)의 개수, 6점)까지 같은 발상의 문제가 난이도를 높여가며 네 번 반복되어 합계 20.2점에 이른다. 여기에 서답형6은 해가 4<x≤6이라는 끝점의 개폐(등호 유무)로 어느 부등식에서 왔는지를 역추적하게 만들고, 서답형7은 상수항을 소거해 동차식으로 바꾼 뒤 실제로 해가 존재하지 않는 t=1, t=2를 스스로 걸러내야 정답에 도달하는 구조다. 서답형8(12점, 최고배점)은 “경계선을 공유하는 경우만 인접”이라는 단서를 정확히 읽어 마주보는 삼각형은 같은 색이 가능함을 파악해야 하는, 조건 독해 자체가 승부처인 문항이다. 반면 행렬은 1번·7번이 계산 확인 수준인 데 비해 서답형3(일차결합)·서답형5(거듭제곱의 주기)에서 급격히 도약해 같은 단원 안에서도 난이도 편차가 가장 큰 영역이었다.
학부모님께 안내드릴 핵심은, 이번 시험이 “문제를 많이 풀어봤는가”보다 “조건을 정확히 읽고 경우를 나눌 수 있는가, 그리고 그 과정을 글로 쓸 수 있는가”를 묻는 시험이었다는 점이다. 서술형 40점은 “정답만 기재 시 0점”이 명시되어 있어, 답을 맞혀도 과정을 쓰지 않으면 점수가 0이 된다. 학생 학습 처방으로는 다음 4주 커리큘럼을 권장한다. 1주차: 부등식 역산형(정수해 개수 → 미지수) 집중 훈련 — 수직선에 두 해집합을 그리고 끝점의 등호 여부까지 표기하는 3단계 절차 표준화, 25문제. 2주차: 경우의 수 — 여사건(‘적어도’) 전환, 같은 것/다른 것이 섞인 분배, 도형 색칠의 인접 그래프 작성까지 유형별 20문제. 3주차: 행렬 — 성분 정의식을 숫자 행렬로 바꾸는 연습과 거듭제곱 주기 찾기(A², A³, A⁴까지 직접 계산), 그리고 연립방정식의 상수항 소거 · 동차식 치환 유형. 4주차: 실전 서술형 첨삭 — 서답형5~8 수준 문항을 시간 제한 없이 풀고 반드시 답안을 문장으로 작성한 뒤 첨삭받는 사이클을 주 3회 반복한다. 선택형은 이미 상위권 학생에게 변별력이 낮으므로, 다음 내신 대비의 성패는 서답형 60점의 서술 완성도에 달려 있다.