이차함수 50점 + 삼각비 50점의 정확한 반분 구조. 선택형 16문항(65점)·서답형 6문항(35점) 전 22문항을 직접 풀어 정답을 확정하고, 배점·단원·난이도를 3중 검산으로 교차 확인했습니다. 상 난이도 6문항이 31점을 차지해 후반부 5~6점 구간에서 등급이 갈립니다.
22문항 100점. 3점 3문항(1~3) → 4점 9문항(4~12) → 5점 4문항(13~16) → 서답형 5~6점 6문항으로, 배점이 문항 번호를 따라 계단식으로 올라가는 전형적 내신 설계입니다.
이차함수 계열 50점(11문항) : 삼각비 계열 50점(11문항)의 완전 대칭 구조. 두 축 중 어느 한쪽만 준비하면 절반이 통째로 무너집니다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
그래프를 보고 값을 읽는 정방향 문항이 아니라, 주어진 조건을 만족하도록 미지수를 결정하게 하는 문항이 24점을 차지합니다. 7번은 평행이동 후 계수합, 8번은 판별식이 0이라는 조건에서 (x, y)의 자취를 만들어 꼭짓점을 찾고, 13번은 “꼭짓점이 직선 위” + “두 그래프가 x축 위에서 만남”이라는 두 조건을 연립합니다. 서술형3은 축의 위치와 두 근 사이 거리라는 간접 조건만으로 a, b를 확정합니다.
삼각비의 활용 고배점이 모두 같은 발상을 씁니다. 16번은 삼각형 넓이를 두 가지 방법(두 변과 낀각 / 밑변×높이)으로 계산해 높이 AH를 역산하고, 서술형6은 △ABC = △ABD + △ADC라는 넓이 분할로 각의 이등분선 길이를 구합니다. 15번은 평행사변형의 넓이 80√2와 두 폭(8, x)의 관계를 이용해 x와 둘레를 동시에 확정합니다.
주어진 도형이 직각삼각형이 아닐 때 수선을 그어 직각삼각형을 만드는 처리가 세 문항 연속으로 나옵니다. 10번은 85°·36°·59°의 삼각형에서 변의 길이를 삼각비 식으로 표현하고, 12번은 CD에서 BC로 수선을 내려 사다리꼴 높이 3√3을 얻습니다. 11번은 DE⊥BC로 만들어진 직각삼각형에서 x + y = 90°임을 간파해 sin x + cos y = 2 sin C = 4/3로 바로 연결하는 문항입니다.
2번은 다섯 선택지가 모두 “비슷하게 생긴 분수”라 sin·cos·tan을 대변/밑변/빗변에 정확히 대응시키지 못하면 즉시 틀립니다. 3번은 삼각비의 표에서 tan 열을 역으로 찾아 각을 특정한 뒤 cos 값을 더하는 2단 조작이고, 9번은 5개 등식 중 틀린 하나를 골라야 해 전부 계산해야 합니다. 서술형4는 sin B = √2/4에서 피타고라스로 나머지 변을 만들어 tan B = √7/7까지 유리화가 요구됩니다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
|a|가 클수록 폭이 좁습니다. ③의 −1/3을 보고 “음수라서 작다”고 판단하거나, ①의 −4를 절댓값 4가 아닌 −4로 비교하면 ⑤(3)나 ①을 고르게 됩니다. |−4|=4, |5|=5이므로 정답은 ④입니다.
∠C=90°이므로 빗변은 AB=13. sin A는 A의 대변인 BC(=5)를 빗변으로 나눈 5/13이지 13/5가 아닙니다. 선택지 ①②③이 모두 분자·분모를 뒤집은 형태로 배치돼 있어, 습관적으로 “큰 수/작은 수”를 쓰면 전부 걸립니다.
축은 x=2로 같지만 a=−3(위로 볼록)이므로 축의 오른쪽에서 감소합니다. a>0의 감각으로 “축 왼쪽에서 감소”를 적용하면 ③ x<2를 고릅니다. 축을 구한 뒤 반드시 볼록 방향을 한 번 더 확인해야 합니다.
a²−2(x−2)a+4x−y=0은 a에 대한 이차방정식입니다. x를 미지수로 보고 판별식을 세우면 전혀 다른 식이 나옵니다. a의 계수로 D/4=(x−2)²−(4x−y)=0을 세워 y=−x²+8x−4를 얻어야 꼭짓점 (4, 12)가 나옵니다.
“꼭짓점이 y=x−3 위”만 쓰면 b−a=−4 하나뿐이라 미지수 2개를 확정할 수 없습니다. “두 그래프가 x축 위에서 만난다”가 곧 “둘 다 점 (3, 0)을 지난다”는 두 번째 식(15a+b=0)임을 읽어내야 a=1/4, b=−15/4, a+b=−7/2에 도달합니다.
폭 8cm는 평행사변형의 변이 아니라 높이입니다. 45°이므로 다른 방향 변은 8÷sin45°=8√2. 넓이 80√2에서 나머지 변 10√2를 얻고 x=10√2·sin45°=10, 둘레 y=2(10√2+8√2)=36√2. x+y=10+36√2(③)입니다. 폭을 변으로 대입하면 ①·④로 빠집니다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
하 6문항 23점과 중 10문항 46점을 합치면 69점입니다. 이 구간은 개념 1~2개의 단순 결합이라 반복 훈련만으로 무실점이 가능합니다. 특히 서술형2(꼭짓점·y절편)와 서술형3(축·근의 거리)은 표준형 변환과 근과 계수의 관계만 정확하면 12점을 그대로 가져옵니다. 고난도부터 손대는 순서는 이 시험에서 가장 손해입니다.
최대 비중 단원의 고배점 4문항(15·16번·서술형5·6, 합계 22점)이 모두 넓이를 경유합니다. △ABC 넓이를 ½ab·sin C로 한 번, ½×밑변×높이로 다시 한 번 세워 등식으로 미지 길이를 뽑는 절차를 손에 익히면 16번(AH=9√57/19)과 서술형6(AD=6)이 같은 문제로 보입니다. 서술형5는 좌표를 (0,0)·(20,0)으로 잡아 교점을 구하는 것이 가장 빠릅니다.
서답형이 총점의 35%이고 문항당 5~6점입니다. 서술형2는 답이 두 개(꼭짓점과 y절편)여서 하나만 쓰면 부분점수만 받습니다. 서술형1은 a·p·q 세 값을 모두 요구합니다. 평소 연습에서 “표준형으로 고치면 → 따라서 꼭짓점은 →”처럼 변환 근거를 한 줄씩 남기는 습관이 부분점수 방어의 핵심입니다.
8·13·15·16번과 서술형5·6이 상 난이도 31점입니다. 공통점은 조건이 2단 이상 중첩돼 있다는 것. 문제를 읽자마자 미지수 개수와 조건 개수를 여백에 적고, 개수가 맞을 때만 계산에 들어가는 습관을 들이면 13번처럼 조건을 하나 빠뜨려 헤매는 사고를 막을 수 있습니다. 기출 유사문항을 시간을 재며 문항당 5분 내로 끊는 연습을 병행하세요.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 그래프와 성질 | 그래프의 폭 비교 | 3 | 하 | ④ | |a| 최대가 가장 좁다. |−4|=4, |−2|=2, |−1/3|, |5|=5, |−3|=3 → ④ |
| 2 | 삼각비 | 직각삼각형 삼각비의 정의 | 3 | 하 | ⑤ | AB=13. tan B = AC/BC = 12/5만 참, 나머지는 모두 역수 형태 |
| 3 | 삼각비 | 삼각비의 표 읽기 | 3 | 하 | ① | tan열 0.1944 → x=11, cos13°=0.9744 → x+y=11.9744 |
| 4 | 그래프와 성질 | 평행이동 후 y축 교점 | 4 | 하 | ① | y=−2(x−2)²에 x=0 대입 → −8. A(0, −8) |
| 5 | 그래프와 성질 | 증가·감소 구간 | 4 | 하 | ④ | 축 x=2, a=−3(위로 볼록) → 축의 오른쪽 x>2에서 감소 |
| 6 | 그래프와 성질 | 평행이동으로 겹치는 그래프 | 4 | 중 | ③ | a가 같아야 겹침. ㄴ(−2)과 ㄷ(2x(5−x)=−2x²+10x, a=−2) |
| 7 | 그래프와 성질 | 평행이동 후 계수의 합 | 4 | 중 | ⑤ | y=2(x−2)²−4(x−2)+4=2x²−12x+20 → a+b+c=10 |
| 8 | 이차함수 활용 | 판별식 조건과 자취의 꼭짓점 | 4 | 상 | ② | a에 대한 D/4=(x−2)²−(4x−y)=0 → y=−x²+8x−4, 꼭짓점 (4, 12) |
| 9 | 삼각비 | 특수각 삼각비 계산의 참·거짓 | 4 | 중 | ⑤ | sin60°cos60°+cos45°cos90° = √3/4 ≠ √3/2 → ⑤가 거짓 |
| 10 | 삼각비 활용 | 두 각과 한 변으로 변의 길이 식 | 4 | 중 | ③ | ∠C=59°. AC : sin36° = 12 : sin59° → AC = 12sin36°/sin59° |
| 11 | 삼각비 활용 | 수선으로 생긴 각의 삼각비 합 | 4 | 중 | ① | BC=6. DE⊥BC이므로 x+y=90° → sin x+cos y = 2sin C = 2·(4/6) = 4/3 |
| 12 | 삼각비 활용 | 사다리꼴의 넓이 | 4 | 중 | ② | 높이 = 6sin60° = 3√3 → ½(6+12)·3√3 = 27√3 |
| 13 | 이차함수 활용 | 꼭짓점 조건 + x축 교점 조건 | 5 | 상 | ① | 꼭짓점 (−1, b−a)가 직선 위 → b−a=−4. 둘 다 (3,0) 통과 → 15a+b=0. a+b=−7/2 |
| 14 | 이차함수 활용 | 그래프 위 네 점이 만드는 사각형 | 5 | 중 | ④ | A(0,−3), B(2,−5), C(2,0). 사다리꼴 ½(3+5)·2 = 8 |
| 15 | 삼각비 활용 | 겹친 테이프의 평행사변형 | 5 | 상 | ③ | 변 8√2와 10√2. x=10, 둘레 y=36√2 → x+y = 10+36√2 |
| 16 | 삼각비 활용 | 넓이를 이용한 높이 역산 | 5 | 상 | ③ | S=½·6·9·sin120°=27√3/2, BC=3√19 → AH=2S/BC=(9/19)√57 |
| 서술형1 | 그래프와 성질 | 그래프에서 a, p, q 결정 | 5 | 중 | a=3/4, p=2, q=−3 | 꼭짓점 (2, −3) → y=a(x−2)²−3. 원점 대입 4a−3=0 → a=3/4 |
| 서술형2 | 그래프와 성질 | 표준형 변환 · 꼭짓점과 y절편 | 6 | 하 | (4, −3), (0, 5) | ½x²−4x+5 = ½(x−4)²−3 → 꼭짓점 (4,−3), x=0 대입 → (0, 5) |
| 서술형3 | 이차함수 활용 | 축과 두 근 사이 거리 | 6 | 중 | −6 | 축 x=−1 → a=2. 두 근은 −4, 2 → b=(−4)·2=−8. a+b=−6 |
| 서술형4 | 삼각비 | sin 값에서 tan 값 도출 | 6 | 중 | √7/7 | AC=12·√2/4=3√2, BC=√(144−18)=3√14 → tan B=√2/√14=√7/7 |
| 서술형5 | 삼각비 활용 | 합동인 두 직각삼각형의 겹침 | 6 | 상 | 75 | AE=12, AB=20 → BE=16. E(7.2, 9.6)·D(12.8, 9.6), 교점 C(10, 7.5) → ½·20·7.5=75(cm²) |
| 서술형6 | 삼각비 활용 | 각의 이등분선의 길이 | 6 | 상 | 6 | △ABC=△ABD+△ADC. ½·18·9·sin120° = ½·AD·(18+9)·sin60° → AD=6(cm) |
2022학년도 강북중학교 3학년 2학기 1차 지필(중간)고사 수학은 22문항 100점으로, 선택형 16문항 65점과 서답형 6문항 35점으로 구성되었습니다. 단원 배점은 삼각비의 활용 34점(7문항), 이차함수의 그래프와 성질 30점(7문항), 이차함수의 활용 20점(4문항), 삼각비 16점(4문항) 순이며, 계열로 묶으면 이차함수 50점 : 삼각비 50점의 완전 대칭입니다. 난이도는 하 6문항 23점, 중 10문항 46점, 상 6문항 31점. 3점 3문항으로 문을 열어 4점 9문항, 5점 4문항, 서답형 5~6점으로 배점이 번호를 따라 계단식으로 상승하도록 배열해, 앞에서 시간을 벌고 뒤에서 변별하겠다는 설계 의도가 뚜렷합니다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 조건에서 식을 거꾸로 세우는 역추적형으로, 7번(4점)·8번(4점)·13번(5점)·서술형1(5점)·서술형3(6점)을 합쳐 24점입니다. 8번은 “a에 대한 이차방정식”이라는 한 구절을 읽어내야 판별식을 세울 수 있고, 13번(5점)은 꼭짓점 조건과 x축 교점 조건을 동시에 연립해야 하는 2단 중첩 구조입니다. 두 번째 축은 넓이를 매개로 길이를 구하는 계열로 15번(5점)·16번(5점)·서술형5(6점)·서술형6(6점) 합계 22점이며, 최고배점인 서술형5·6(각 6점)은 각각 좌표 설정으로 교점을 잡거나 넓이 분할 등식을 세우는 우회 경로를 요구합니다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라 문장으로 주어진 조건을 몇 개의 등식으로 번역할 수 있는가라는 단일 능력입니다.
학부모께 쉽게 말씀드리면, 이번 시험은 “배운 공식을 아느냐”보다 “문제가 시키는 말을 수식으로 옮길 수 있느냐”를 물었습니다. 서답형이 35점으로 총점의 3분의 1이 넘고, 서술형2처럼 답을 두 개(꼭짓점과 y축 교점) 모두 써야 만점이 되는 문항이 있어 답만 맞히고 근거를 남기지 않으면 부분점수에서 손해를 봅니다. 따라서 점수가 기대에 못 미쳤다면 원인을 세 갈래로 나눠 보셔야 합니다. 1~7번대에서 틀렸다면 계산 정확도, 10~13번대라면 조건 독해력, 서답형이라면 풀이 서술력입니다. 우리 원은 하·중 69점 구간을 먼저 무실점으로 봉인한 뒤 상위 31점을 조건 개수 세기 훈련으로 공략하는 순서로 지도하겠습니다.