선택형 16문항 65점 + 서답형 6문항 35점, 총 22문항 100점. 이차함수 50점 · 삼각비 50점의 정확한 반분 구조 위에서, 조건을 주고 상수를 거꾸로 찾게 하는 역추적형 6문항 29점과 삼각비로 넓이를 계산하는 넓이 계열 3문항 16점이 상위권 변별을 담당한다.
22문항 100점. 3점 3문항 · 4점 9문항 · 5문항 5점(선택형) · 서답형 5~6점으로, 배점이 뒤로 갈수록 계단식으로 상승하는 전형적 내신 설계.
이차함수 계열 50점(11문항) · 삼각비 계열 50점(11문항)으로 정확히 반분. 그 안에서 「삼각비의 활용」 33점이 단일 최대 블록이다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(4점) 평행이동 후 식 일치, 6번(4점) 조건 3개로 a·b·c 확정, 7번(4점) 꼭짓점이 직선 위·x축에서 교차, 14번(5점) 수선의 길이 조건, 서답형2(6점) 두 근의 차 8, 서답형3(6점) 사각형 넓이 124/5. 모두 "그래프를 그려 값을 구하는" 방향이 아니라 주어진 결과에서 미지의 상수를 거꾸로 세우는 방향이다.
15번(5점) 정육각형에서 정삼각형 ACE를 빼는 문제, 16번(5점) 닮음비 1:2인 두 이등변삼각형에서 교점 F를 만든 뒤 △FCD를 구하는 문제, 서답형6(6점) 대각선이 만드는 네 삼각형의 등적 성질. 셋 모두 넓이 공식 대입 전에 도형을 어떻게 쪼갤지가 승부처다.
3번(3점)은 사분원에서 ㄱ~ㄹ 네 개, 13번(5점)은 두 이차함수와 직선의 교점에 대해 ㄱ~ㅁ 다섯 개를 판정한다. 13번의 ㄴ(k=4일 때 BC=2)은 실제로 BC=1이라 거짓이고, ㅁ은 두 그래프가 x축 방향으로 5만큼 떨어져 있으므로 "y축 방향 평행이동"은 거짓이다.
3번은 삼각비를 "비"가 아니라 반지름 1인 사분원 위의 선분 길이 그 자체로 읽어야 하고, 10번은 원점에서 직선에 내린 수선의 발이 만드는 각을 x절편·y절편 삼각형의 각으로 옮겨야 한다. 12번(4점) 종이접기는 접힌 부분이 원래 부분과 합동이라는 정의 한 줄이 전부다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
꼭짓점 (2,−13)과 y절편 (0,−1)만 보고 그래프가 오른쪽 아래에만 있다고 판단하기 쉽다. 그러나 근은 x=2±√(13/3)≈−0.082와 4.082로, 작은 근이 음수다. 즉 −0.082<x<0 구간에서 x<0·y<0이므로 제3사분면을 지난다. 근을 반드시 수치로 확인해야 한다.
제1·2·3사분면만 지나려면 a>0, b>0, c>0이고 두 근이 모두 음수여야 한다. 새 함수 y=cx²−bx−a는 c>0(위로 볼록 아님)에 y절편 −a<0이라 두 근의 부호가 서로 다르고, 결국 네 사분면을 모두 지난다. "3개만 지나니 답도 3개"라는 대칭적 착각이 최대 오답원이다.
BD=(3+√k)−(−2+√k)=5로 k와 무관하게 일정하지만, BC=(3−√k)−(−2+√k)=5−2√k라 k에 따라 변한다. k=4면 BC=1이므로 ㄴ은 거짓. 두 점의 순서(A<B<C<D)를 먼저 확정하지 않으면 여기서 통째로 무너진다.
사각형 OABC를 삼각형 둘로 나눌 때 O·A·B·C의 순서를 잘못 잡으면 넓이식이 달라진다. 또 C는 x축의 양의 부분 교점이므로 두 근 −2, 8 중 8만 유효하다. OA=16/5, OC=8, a=1/5로 검산이 맞아떨어지는지 반드시 되돌려 확인해야 한다.
내려다본 각 27°에 대해 높이차 15−6=9m는 빗변 x의 대변이므로 sin27°=9/x다. 지면 위 수평거리로 착각해 cos나 tan를 쓰면 값 자체가 달라진다. sin27°=0.45를 준 것은 곧 sin을 쓰라는 신호다.
∠A:∠B=2:1과 ∠A+∠B=180°에서 ∠B=60°를 먼저 얻어야 한다. 색칠된 두 삼각형은 대각선의 교점이 만드는 네 삼각형 중 두 개이므로 평행사변형 넓이의 정확히 1/2인 135√3/2 cm²다. 15·18·sin60°을 구해 놓고 절반을 잊는 감점이 흔하다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 6문항이 모두 "그 풀이과정을 서술하시오"로 끝난다. 답만 맞혀서는 배점을 온전히 받을 수 없다. 서답형2는 근과 계수의 관계 또는 근의 공식으로 두 근의 차를 |AB|=√(36+12k)/3으로 표현하는 중간 식 한 줄이 채점 포인트다. 답 → 식 순서가 아니라 식 → 답 순서로 쓰는 습관을 만든다.
축의 방정식, 꼭짓점 좌표, 지나는 점, 두 근의 차, 넓이 조건을 각각 어떤 식으로 옮기는지 정리해 둔다. 예를 들어 축 x=p ⇒ b=−2ap, 두 근의 차 d ⇒ (근의 차)²=d², 넓이 조건 ⇒ 신발끈 또는 삼각형 분할. 6·7·14번과 서답형2·3이 이 표 하나로 통일된다.
30°·45°·60°가 나오는 2·15·16번·서답형6은 무리수 계산 정확도가, 11번·서답형5는 표에서 값을 읽고 sin·cos·tan를 고르는 판단이 관건이다. 11번은 ∠B=50°일 때 BC=100cos50°=100sin40°=64.28로, 여각 변환을 못 하면 표에서 값을 찾지 못한다. 여각 공식 sin(90°−A)=cosA를 반드시 체화한다.
이 여섯 문항이 100점과 80점을 가른다. 8번(부호 추론), 12번(접기 합동+닮음), 13번(<보기> 다중 판정), 14번(그래프+수선 거리), 16번(닮음+교점 넓이), 서답형3(그래프+사각형 넓이)은 각각 다른 발상이므로 한 유형씩 3~5문제 묶음으로 반복해야 한다. 시험장에서는 이 중 확실한 것부터 처리하고, 막히는 하나는 남겨 두는 배점 관리가 필요하다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 그래프·성질 | x축 방향 평행이동 후 식 일치 | 3 | 하 | ① | y=(2/3)x² → y=(2/3)(x−p)²과 y=(2/3)(x−1)² 비교, p=1 |
| 2 | 삼각비 활용 | 수선으로 나눈 삼각형의 변 길이 | 3 | 하 | ⑤ | AD=8sin45°=4√2 → BD=AD/tan60°=4√6/3 |
| 3 | 삼각비 뜻·값 | 반지름 1인 사분원에서 삼각비 <보기> 4개 | 3 | 중 | ⑤ | OD=cos52°, AE=tan52°, AC=2sin26°(현), AD=1−cos52°=1−sin38° — ㄱㄴㄷㄹ 모두 참 |
| 4 | 그래프·성질 | 두 방향 평행이동 후 계수 비교 | 4 | 중 | ④ | a(x−7)²−6 = −(4/7)(x+b)²+c → a=−4/7, b=−7, c=−6, abc=−24 |
| 5 | 그래프·성질 | y=3x²−12x−1의 성질 5지 판정 | 4 | 중 | ② | 3(x−2)²−13, 근 2±√(13/3)에서 작은 근이 음수 ⇒ 제3사분면을 지난다(②가 옳지 않음) |
| 6 | 식 결정·활용 | 볼록성·지나는 점·증감 조건으로 식 결정 | 4 | 중 | ④ | a=−2, 축 x=3, (4,3) 대입 → y=−2(x−3)²+5, a+b−c=−2+12+13=23 |
| 7 | 식 결정·활용 | 꼭짓점이 직선 위 · x축에서 교차 | 4 | 중 | ③ | 꼭짓점 (−1, b−a)를 y=3x+9에 대입, 직선의 x절편 (−3,0)을 포물선에 대입 → a=−3/2, b=9/2, a+b=3 |
| 8 | 그래프·성질 | 계수 부호 추론 후 새 그래프의 사분면 | 4 | 상 | ⑤ | 제1·2·3사분면만 ⇒ a>0, b>0, c>0, 두 근 음수. y=cx²−bx−a는 y절편 −a<0 ⇒ 근 부호 상반 ⇒ 네 사분면 모두 통과 |
| 9 | 삼각비 뜻·값 | tanA 값에서 sinA−cosA 계산 | 4 | 하 | ④ | tanA=3/2 → 세 변 (2,3,√13) → (3−2)/√13=√13/13 |
| 10 | 삼각비 뜻·값 | 좌표평면 직선에 내린 수선의 발과 tanα | 4 | 중 | ⑤ | x절편 (−3,0), y절편 (0,4). α는 ∠OBH와 여각 관계 ⇒ tanα=4/3 (H=(−48/25, 36/25)로 검증) |
| 11 | 삼각비 활용 | 삼각비표를 이용한 변 길이 | 4 | 하 | ② | BC=100cos50°=100sin40°=100×0.6428=64.28 (여각 변환이 핵심) |
| 12 | 삼각비 활용 | 폭 3인 종이 접기, IH+FG | 4 | 상 | ② | EF=6·폭 3 ⇒ 수평 3√3. 접기 합동으로 EH=(14/3)√3, FG=(5/3)√3, IH=(4/7)EH=(8/3)√3 ⇒ 합 (13/3)√3 |
| 13 | 식 결정·활용 | 두 이차함수와 직선 y=k의 네 교점 <보기> 5개 | 5 | 상 | ③ | −2±√k, 3±√k로 정리. AB=CD=2√k(참), BC=5−2√k라 k=4면 1(거짓), BD=5(참), 넓이 5k(참), y축 방향 이동은 거짓 ⇒ 3개 |
| 14 | 식 결정·활용 | 대칭축·꼭짓점과 점과 직선 사이 거리 | 5 | 상 | ④ | b=−3a, 꼭짓점 (3/2, −9a/4). BH=1에서 (5/3)/√((2h/3)²+1)=1 ⇒ h=2 ⇒ a=−8/9, b=8/3, ab=−64/27 |
| 15 | 삼각비 활용 | 정육각형과 내접 정삼각형의 넓이 차 | 5 | 중 | ① | S₁=(3√3/2)·3²=27√3/2, ACE는 한 변 3√3 ⇒ S₂=27√3/4, 차=27√3/4 |
| 16 | 삼각비 활용 | 닮음비 1:2 이등변삼각형과 교점 △FCD | 5 | 상 | ④ | AB=AC=4, BC=4√3, DC=DE=8, CE=8√3. 좌표화 후 BD∩AC=F=(8√3/3, 4/3) ⇒ △FCD=16√3/3 |
| 서답형1 | 그래프·성질 | 점을 지나는 조건에서 k 결정 후 증가 구간 | 5 | 하 | x > 3 | (3,−4) 대입 → k=4, y=(2/3)(x−3)²−4. 아래로 볼록이므로 축 x=3의 오른쪽에서 증가 |
| 서답형2 | 식 결정·활용 | x축과의 두 교점 거리 AB=8에서 k | 6 | 중 | k = 45 | 3x²−6x−k=0의 두 근 차 √(36+12k)/3=8 ⇒ 36+12k=576 ⇒ k=45 |
| 서답형3 | 식 결정·활용 | 꼭짓점 B(3,−5)·OA:OC=2:5·넓이 124/5 | 6 | 상 | y = (1/5)(x−3)² − 5 | OA=5−9a, OC=3+√(5/a). 5·OA=2·OC와 (3·OA+5·OC)/2=124/5 ⇒ OA=16/5, OC=8, a=1/5 (근 −2, 8로 검산) |
| 서답형4 | 삼각비 뜻·값 | 직각삼각형 속 수선이 만든 각의 sinx·tanx | 6 | 중 | 4√5 / 5 | AB=√((2√5)²−2²)=4. DE⊥BC이므로 x=∠C ⇒ sinx=4/(2√5), tanx=4/2=2 ⇒ 곱 4√5/5 |
| 서답형5 | 삼각비 활용 | 내려본각 27°, 높이차 9m의 실생활 활용 | 6 | 하 | x = 20 | 높이차 15−6=9가 27°의 대변 ⇒ sin27°=9/x, x=9/0.45=20 |
| 서답형6 | 삼각비 활용 | ∠A:∠B=2:1 평행사변형의 색칠 넓이 | 6 | 중 | 135√3 / 2 cm² | ∠B=60° ⇒ 전체 넓이 15·18·sin60°=135√3. 대각선이 만드는 네 삼각형은 등적이므로 색칠 부분은 그 1/2 |
2023학년도 강북중학교 3학년 2학기 중간고사 수학은 선택형 16문항 65점과 서답형 6문항 35점, 모두 22문항 100점으로 구성되었다. 단원별 배점은 삼각비의 활용 33점(7문항), 이차함수의 식 결정과 활용 30점(6문항), 이차함수의 그래프와 성질 20점(5문항), 삼각비의 뜻과 값 17점(4문항) 순이며, 큰 갈래로 보면 이차함수 50점 · 삼각비 50점의 정확한 반분이다. 난이도는 상 6문항 29점, 중 10문항 46점, 하 6문항 25점으로 중난도가 허리를 이루고, 3점 3문항으로 시작해 4점 9문항, 5점 4문항, 서답형 5~6점으로 배점이 뒤로 갈수록 계단식으로 올라가도록 배치되어 있다.
이 시험을 관통하는 축은 두 가지다. 첫째는 역추적형 6문항 29점으로, 4번(4점)·6번(4점)·7번(4점)·14번(5점)·서답형2(6점)·서답형3(6점)이 모두 완성된 결과를 먼저 주고 미지의 상수를 거꾸로 세우게 한다. 둘째는 삼각비 넓이 계열 3문항 16점으로, 15번(5점)·16번(5점)·서답형6(6점)이 공식 대입이 아니라 도형 분할 방식을 먼저 결정하도록 요구한다. 최고배점대인 서답형2·3·4·5·6(각 6점)과 5점 선택형 중에서도 서답형3(6점)은 OA:OC=2:5와 넓이 124/5라는 조건 두 개를 동시에 만족시키는 상수를 찾아야 하고, 16번(5점)은 두 삼각형의 닮음비와 교점 좌표를 함께 다뤄야 한다. 결국 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 조건을 식으로 번역해 미지수와 방정식의 수를 맞추는 설계력이다.
학부모 관점에서 읽으면 이렇게 정리된다. 공식을 외워 바로 답이 나오는 문항은 25점뿐이고, 나머지 75점은 "무엇을 먼저 구할지"를 스스로 정해야 나오는 문항이다. 서답형 6문항 35점이 모두 "그 풀이과정을 서술하시오"로 끝난다는 점도 중요하다. 답이 맞아도 중간 과정을 쓰지 않으면 배점을 온전히 받기 어렵다는 뜻이므로, 서술 훈련 자체가 35점의 방어선이다. 실점이 났다면 원인을 세 갈래로 나눠 보아야 한다. 5번의 근 부호나 11번의 여각 변환에서 틀렸다면 계산·정확도 문제, 3번과 13번의 <보기> 판정에서 틀렸다면 조건 독해 문제, 서답형에서 점수가 깎였다면 서술력 문제다. 세 원인은 처방이 전혀 다르므로 답안지를 되짚어 어느 쪽인지부터 확정하는 것이 다음 시험의 출발점이다.