선택형 16문항 65점 + 서답형 6문항 35점, 총 22문항 100점. 이차함수(45점)와 삼각비(55점)를 절반씩 나눠 묶은 구성으로, 6점짜리 서답형 다섯 문항이 상위권 변별을 전담한다. 넓이를 매개로 미지수를 확정하는 계열 5문항 27점이 시험 전체를 관통한다.
3점 3문항 · 4점 9문항 · 5점 5문항 · 6점 5문항으로 배점이 넓게 퍼져 있고, 6점 문항은 전부 서답형이다.
이차함수 계열 45점(10문항) : 삼각비 계열 55점(12문항) — 삼각비 쪽으로 10점 기울어진 구성이다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
12번(4점, 넓이 96 → 둘레), 14번(5점, △BDC 넓이 24 → 계수 a), 서답형2(6점, 색칠한 넓이 24 → 평행이동량 p), 서답형5(6점, 평행사변형 → △ADO), 서답형6(6점, 종이접기 → △ABC)이 모두 "넓이가 주어졌다 / 넓이를 구하라"를 미지수 하나짜리 방정식으로 환원하는 같은 발상을 요구한다. 시험 전체 배점의 27%가 이 한 축에 걸려 있다.
8번(4점)은 ∠BDE와 ∠A가 같음을, 서답형4(6점)는 ∠CAD=∠B, ∠BAD=∠C임을 알아야 sin·cos·tan를 원래 삼각형의 세 변으로 옮길 수 있다. 15번(5점)·16번(5점)도 45°·30°·60°가 어느 삼각형으로 전이되는지 추적해야 풀린다. 각을 옮기지 못하면 계산 자체가 시작되지 않는 구조다.
4번(4점, 조건 4개 → 식), 6번(4점, a−b>0·ab<0 → 그래프), 13번(5점, 꼭짓점 + 제1사분면 미통과 → a의 범위), 서답형1(5점, 그래프 → a+b+c), 서답형3(6점, 꼭짓점 + y축 교점 → a+b)이 여기 해당한다. 주어진 것은 그림이나 부호 조건이고 구할 것은 계수라는 점에서 방향이 반대다.
서답형2(6점)는 색칠한 부분을 평행이동으로 밀어 가로 p · 세로 4의 직사각형으로 바꾸는 등적변형이 핵심이고, 서답형6(6점)은 접은 종이에서 ∠CAB=∠CBA가 되어 △ABC가 이등변삼각형이 된다는 성질이 핵심이다. 두 문항 모두 아이디어를 못 찾으면 계산량이 아니라 접근 자체가 막힌다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
y=−3x²+18x−5는 축이 x=3이고 위로 볼록이다. 위로 볼록이므로 축의 오른쪽에서 감소하니 답은 x>3(③). 아래로 볼록의 감소 구간(x<축)을 반사적으로 떠올려 ④ x<3을 고르는 오답이 가장 많다.
|a|=3, 축 x=1, 위로 볼록까지는 쉽게 오지만 마지막 조건에서 꼭짓점의 y좌표 q≤0을 세워야 한다. q=2인 ④를 고르면 그래프가 제1사분면을 통과한다. 정답은 ⑤ y=−3(x−1)²−1.
a≤−5/4가 정답(③)인데 부등호를 a<−5/4로 처리하거나(①·②) 꼭짓점의 x=−2를 그대로 대입해 4a+5 대신 다른 식을 세우는 실수가 잦다. x=0은 y축 위이므로 제1사분면에 포함되지 않는다는 점에서 등호가 살아난다.
C가 '그래프의 y절편'이라는 문장을 놓치면 B가 미정으로 남아 문제가 풀리지 않는다. 축이 x=2이므로 y=c를 갖는 점은 x=0과 x=4뿐 → B(4, c). 이후 16a=24로 a=3/2, 2a+b+c=3−6+8=5(②).
직사각형 DEBF에서 FD=BE이고 C·F·D가 한 직선 위에 있으므로 CD=CF+FD다. AE=BE에서 ∠BAE=45°→BE=2√6, 그리고 CF=2√2. 답은 2(√2+√6)(④). CD를 비스듬한 선분으로 잡으면 선택지와 어긋난다.
서답형 6문항이 모두 값과 함께 풀이과정을 요구한다. 값만 적으면 6점 문항에서 부분점수 확보가 어렵고, 특히 서답형3의 답 −14/3, 서답형1의 1/2처럼 분수 답은 검산 흔적까지 남겨야 안전하다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1·2·3·5·7번(하, 17점)은 표준형 읽기·평행이동·피타고라스 한 번이면 끝난다. 여기에 6·8·10번을 더한 29점은 10분 안에 마감하는 것을 목표로 훈련해 뒤쪽 5~6점 문항에 시간을 몰아준다.
이차함수 10문항 45점 중 4·13·14번과 서답형1·2·3은 모두 y=a(x−p)²+q로 바꾸는 순간 풀린다. 일반형이 보이면 조건을 읽기 전에 먼저 완전제곱식으로 고치는 순서를 고정한다.
9·11·15·16번과 서답형5·6(30점)은 예외 없이 수선을 긋고 30°·45°·60° 삼각비를 넣는다. 특히 서답형5는 ∠BCD=180°−34°−26°=120°에서 ∠ADC=60°를 얻어 평행사변형 넓이 28√3 → △ADO는 그 1/4인 7√3으로 마무리한다.
6점 다섯 문항의 채점은 과정에서 갈린다. 근거 문장(예: "접은 각이 같으므로 △ABC는 CA=CB인 이등변삼각형이다")을 한 줄씩 미리 외워 쓰는 연습을 하고, 마지막 줄에 단위와 값을 다시 적어 부분점수를 최대화한다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차함수 그래프 | 꼭짓점 (−1,2)를 갖는 식 고르기 | 3 | 하 | ④ | y=a(x+1)²+2 꼴만 남기면 ④ y=−(x+1)²+2 |
| 2 | 이차함수 그래프 | x축 3·y축 −2 평행이동 후 점 대입 | 3 | 하 | ② | y=¼(x−3)²−2에 x=−1 → k=4−2=2 |
| 3 | 삼각비의 값 | AB=6, AC=3인 직각삼각형에서 sinA×tanB | 3 | 하 | ① | BC=3√3 → (√3/2)×(1/√3)=1/2 |
| 4 | 이차함수 그래프 | 볼록 방향·대칭축·사분면·폭 4조건 종합 | 4 | 중 | ⑤ | a=−3, 축 x=1, 꼭짓점 y좌표 q≤0 → −3(x−1)²−1 |
| 5 | 이차함수 그래프 | y=−3x²+18x−5의 감소 구간 | 4 | 하 | ③ | 축 x=3, 위로 볼록 → 축의 오른쪽에서 감소 |
| 6 | 이차함수 그래프 | a−b>0, ab<0일 때 그래프 개형 | 4 | 중 | ⑤ | a>0·b<0 → 아래로 볼록, 축 −3/2a<0, y절편 음수 |
| 7 | 삼각비의 값 | tanA=1/3에서 sinA+cosA | 4 | 하 | ⑤ | 1:3:√10 삼각형 → 4/√10 = 2√10/5 |
| 8 | 삼각비의 값 | 수선의 발 E가 만든 각 x의 cos값 | 4 | 중 | ① | ∠BDE=∠A, AB=13 → cos x=cos A=5/13 |
| 9 | 삼각비의 활용 | ∠B=60°, AB=4, BC=5인 등변사다리꼴 넓이 | 4 | 중 | ④ | 높이 2√3, 윗변 5−2×2=1 → ½(1+5)(2√3)=6√3 |
| 10 | 삼각비의 값 | 사분원에서 tan65°−sin65°−cos65° | 4 | 중 | ② | 2.1445−0.9063−0.4226=0.8156 |
| 11 | 삼각비의 활용 | 올려본각 60°·내려본각 45°, 두 건물 높이차 | 4 | 중 | ③ | (40tan60°+40)−40 = 40√3 m |
| 12 | 삼각비의 값 | cosA=3/5, 넓이 96인 직각삼각형의 둘레 | 4 | 중 | ② | 3k:4k:5k, ½·3k·4k=96 → k=4, 둘레 12k=48 |
| 13 | 이차함수 식 결정 | 꼭짓점 (−2,5), 제1사분면 미통과 조건의 a 범위 | 5 | 상 | ③ | a<0 확정 후 x=0에서 4a+5≤0 → a≤−5/4 |
| 14 | 이차함수 식 결정 | 꼭짓점 A(2,2), △BDC 넓이 24 → 2a+b+c | 5 | 상 | ② | C(0,c)·B(4,c)·D(0,2−4a), 16a=24 → a=3/2, 값 5 |
| 15 | 삼각비의 활용 | 직사각형 DEBF가 낀 복합도형에서 CD | 5 | 상 | ④ | AE=BE→45°, FD=BE=2√6, CF=2√2 → 2(√2+√6) |
| 16 | 삼각비의 활용 | 겹친 두 직각삼각형에서 △BCE의 넓이 | 5 | 상 | ① | BC=2√3, BD와 AC의 교점 높이 3−√3 → 3(√3−1) |
| 서답형 1 | 이차함수 식 결정 | 그래프(꼭짓점 (−2,5), y절편 3)에서 a+b+c | 5 | 중 | 1/2 | 4a+5=3 → a=−½, y=−½x²−2x+3, 합=f(1)=½ |
| 서답형 2 | 이차함수 식 결정 | x축 방향 p 평행이동, 색칠한 넓이 24 → p | 6 | 상 | p = 6 | 등적변형으로 가로 p·세로 4 직사각형 → 4p=24 |
| 서답형 3 | 이차함수 식 결정 | 꼭짓점이 y=2x−4 위, y축에서 만남 → a+b | 6 | 중 | −14/3 | b=−4, 꼭짓점 (3, −9a+b)에서 −9a−4=2 → a=−2/3 |
| 서답형 4 | 삼각비의 값 | ∠A=90°, AC=√33, AB=4에서 sinx·cosx·tany | 6 | 중 | 16/49 | x=∠B, y=∠C, BC=7 → (√33/7)(4/7)(4/√33)=16/49 |
| 서답형 5 | 삼각비의 활용 | 평행사변형(8, 7, 34°, 26°)에서 △ADO 넓이 | 6 | 중 | 7√3 | ∠BCD=120°→∠ADC=60°, 전체 28√3의 1/4 |
| 서답형 6 | 삼각비의 활용 | 폭 6cm 종이를 AB(=12cm)로 접었을 때 △ABC | 6 | 상 | 12√3 cm² | sin=6/12→30°, CA=CB=4√3, ½·4√3·6=12√3 |
2024학년도 강북중학교 3학년 2학기 1차지필(중간)고사 수학은 선택형 16문항 65점과 서답형 6문항 35점, 모두 22문항 100점으로 구성됐다. 서답형이 배점의 35%를 차지하고 6점 문항 다섯 개가 모두 그쪽에 몰려 있어, 답을 맞히는 능력보다 풀이과정을 문장으로 남기는 능력이 총점을 가른다. 단원별로는 삼각비의 활용 30점(6문항)이 가장 무겁고 이차함수의 식 결정과 활용 27점, 삼각비의 뜻과 값 25점, 이차함수의 그래프와 평행이동 18점이 뒤를 잇는다. 난이도는 하 5문항 17점, 중 11문항 51점, 상 6문항 32점이며, 3점 세 문항으로 출발을 열어 준 뒤 13번부터 5점대 상 난이도를 연속 배치한 계단형 설계다.
이 시험을 관통하는 첫 축은 넓이를 미지수 방정식으로 바꾸는 계열이다. 12번(4점), 14번(5점), 서답형2(6점), 서답형5(6점), 서답형6(6점)까지 다섯 문항 27점이 같은 발상을 반복 요구한다. 두 번째 축은 각을 옮겨 붙이는 계열로, 8번(4점)·15번(5점)·16번(5점)·서답형4(6점) 20점이 여기에 걸려 있다. 최고배점 6점 문항 다섯 개는 전부 서답형이며, 그중 서답형2(6점)는 색칠한 부분을 가로 p·세로 4의 직사각형으로 미는 등적변형을, 서답형6(6점)은 접힌 각이 같아 CA=CB가 된다는 성질을 못 찾으면 계산을 시작조차 할 수 없다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라, 조건을 그림·좌표 위에 옮겨 그린 뒤 미지수 하나로 줄이는 설계력이다.
학부모 관점에서는 이 시험을 '계산이 까다로운 시험'이 아니라 '조건을 옮겨 적는 시험'으로 읽는 편이 정확하다. 등장하는 수치는 6, 8, 12, 24처럼 정돈돼 있고 실제로 막히는 지점은 문장을 그림 위의 길이와 각으로 번역하는 첫 30초다. 서답형 6문항이 모두 "풀이과정을 쓰시오"로 지시돼 있으므로, 값만 적은 답안은 6점 문항에서 부분점수조차 얻기 어렵고 반대로 접근이 옳으면 마지막 계산이 어긋나도 점수를 건질 수 있다. 따라서 실점 원인은 계산력보다 독해력과 서술력에서 먼저 찾아야 하며, 하 난이도 17점을 무실점으로 지키고 서답형 35점에서 과정 점수를 회수하는 것이 현실적인 방어선이다.