선택형 15문항 60점 + 서답형 5문항 40점, 총 20문항 100점. 일차함수 계열 48점과 도형 계열 52점이 정확히 반으로 갈리며, 서답형 40%·상 난이도 34점이 성적을 가르는 시험이다.
3점 3문항 · 4점 9문항 · 5점 3문항으로 선택형을 구성하고, 서답형 5문항에 40점을 몰아준 서술 중심 설계
도형 52점(삼각형의 성질 30 + 외심·내심 22) vs 일차함수 48점(그래프 28 + 일차방정식 20) — 두 축이 거의 정확히 균형을 이룬다
이번 시험의 변별력을 만드는 축
"해가 없다 / 그래프가 세 점을 지난다 / 교점이 그림과 같다 / 삼각형이 만들어지지 않는다"처럼 결과를 먼저 주고 상수를 되짚게 하는 계열이 선택형 배점의 27%를 차지한다. 1번은 계수비는 같고 상수항비는 달라야 한다는 조건, 13번은 평행 2가지 + 공점 1가지의 3분류가 핵심이다.
3번은 빗변·예각·다른 변 중 무엇이 주어졌는지만 정확히 읽으면 풀리지만, 겉보기 수치(5, 50°, 63°)가 반복 배치돼 성급히 짝지으면 틀린다. 8번은 합동 대신 넓이 분할로, 서답형4는 맞꼭지각 + RHA 합동으로 변의 길이를 옮긴다.
2번은 1단, 10번은 BE=DE=AD=AC로 4개의 이등변삼각형이 사슬처럼 연결되어 ∠B=θ가 2θ→3θ로 증폭되는 구조(∠DAC=108°에서 θ=12°). 15번은 직각삼각형 빗변의 중점 성질(DH=HE=HF)과 BD=DH를 겹쳐 ∠DEF=72°를 만든다.
11번은 "외심=세 꼭짓점까지 거리, 내심=세 변까지 거리"를 뒤집은 오답지 4개를 배치했다. 14번(5점)은 한 그림에 외심 O와 내심 I를 함께 두고 이등변 성질 → 내각 크기 → 각이등분 순으로 3단을 거쳐야 ∠OBI=10°가 나온다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
계수비만 맞추면 a=4가 나오지만, 상수항비까지 같으면 해가 무수히 많아진다. −2/4 = a/(−8) ≠ 3/5임을 확인해야 답이 확정된다.
ㄱ은 빗변 5·예각 63°, ㅂ은 높이 5·예각 63°다. 숫자와 각이 같아 보여도 5가 붙은 변의 위치가 달라 합동이 아니다. 빗변 5·예각 63°(27°)를 공유하는 ㄱ과 ㄹ이 정답.
x절편 2, y절편 3이므로 "x절편이 더 크다"는 거짓. 6x+4y=−12는 3x+2y+6=0이라 원식(3x+2y−6=0)과 상수항 부호가 반대여서 일치하지 않는다.
AD∥BC에서 엇각으로 ∠EFG=55°, 접은 각으로 ∠FEG=55°를 얻어야 ∠x=70°, ∠y=125°가 나온다. 둘 중 하나만 쓰면 각이 확정되지 않는다.
두 직선과 각각 평행한 경우(a=−1/2, a=3)만 세면 곱이 −3/2가 된다. 세 직선이 한 점 (1,2)에서 만나는 a=−2를 반드시 추가해야 곱 3이 된다.
서답형3은 "x와 y 사이의 관계를 식으로 나타낼 것"(y=3x+29)을, 서답형5는 "반지름과 넓이를 각각 구할 것"을 명시한다. 최종답(22분, 21π)만 쓰면 부분점수가 크게 깎인다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 배점이 전체의 40%이고 조건란이 서술 단계를 지정한다. 서답형1(8점)은 기울기 −2 도출 → y=−2x+6 → x절편 3 → a+k=1까지, 서답형4(7점)는 △BDM≡△CEM(RHA)을 기호로 쓰고 BD=5, DM=3, AD=12, 넓이 30까지 한 줄도 생략하지 않고 쓰는 연습을 반복한다.
하 난이도가 14점뿐이므로 중 난이도 10문항 52점이 실질 기본점이다. 1·4·5·6·7·8번과 서답형1·3·5를 15분 안에 무실점으로 끝내는 타임어택을 주 2회 실시해 상 난이도 34점에 쓸 시간을 확보한다.
10·14·15번처럼 조건이 3단 이상 중첩된 문항은 그림에 같은 길이·같은 각을 기호로 모두 표시한 뒤 한 각을 θ로 두고 외각의 성질로 전파한다. 외심(거리=꼭짓점)과 내심(거리=변)의 구분은 11번형 O·X 문제로 매일 5문항씩 점검한다.
1·5·6·13번은 "평행(해 없음) / 일치(해 무수) / 한 점(해 1개)" 세 상태를 표로 구분하는 훈련이 그대로 점수가 된다. 특히 13번 유형은 평행 2가지 + 공점 1가지 = 항상 3가지를 기본값으로 외워두고, 예외적으로 일치가 발생하는지만 검산한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수와 일차방정식 | 연립방정식의 해가 없을 조건 → 상수 a | 3 | 중 | ④ | −2/4 = a/(−8) ≠ 3/5 → a=4. 상수항비까지 같은지 확인해 "무수히 많은 해"를 배제 |
| 2 | 삼각형의 성질 | 이등변삼각형과 외각 (∠ACD=130°) | 3 | 하 | ⑤ | ∠ACB=50° → ∠y=∠B=50°, ∠x=180−50×2=80° |
| 3 | 삼각형의 성질 | 직각삼각형의 합동조건(RHA) 짝짓기 | 3 | 중 | ① | ㄱ·ㄹ 모두 빗변 5, 예각 63°·27° → RHA 합동. ㅂ은 5가 높이라 제외 |
| 4 | 일차함수와 일차방정식 | 3x+2y−6=0 그래프의 성질 <보기> | 4 | 중 | ② | x절편 2, y절편 3, 기울기 −3/2 → ㄴ(3사분면 안 지남), ㅁ(넓이 3)만 참 |
| 5 | 일차함수와 일차방정식 | x−ay+3=0이 세 점을 지날 때 kabc | 4 | 중 | ② | (1,2) 대입 a=2 → k=1/2, b=1, c=5 → kabc=5 |
| 6 | 일차함수와 일차방정식 | 연립방정식의 그래프와 교점 → a+b | 4 | 중 | ③ | 교점 (2,2), y절편 1 → a=1/2, b=−1 → a+b=−1/2 |
| 7 | 일차함수와 그래프 | x절편·y절편 조건으로 일차함수 식 결정 | 4 | 중 | ⑤ | x절편 3, y절편 −8 → 기울기 8/3 → y=(8/3)x−8 |
| 8 | 삼각형의 성질 | 이등변삼각형 밑변 위 점에서 두 등변까지 수선의 합 | 4 | 중 | ④ | △ABP+△ACP=△ABC → ½·15·(PQ+PR)=90 → 12 |
| 9 | 삼각형의 성질 | 직사각형 종이접기 (∠AEF=55°) → ∠y−∠x | 4 | 상 | ② | 엇각·접은각으로 ∠x=∠EGF=70°, ∠y=125° → 차 55° |
| 10 | 삼각형의 성질 | BE=DE=AD=AC 연쇄 이등변, ∠DAC=108° | 4 | 상 | ③ | ∠B=θ로 두면 ∠AED=2θ, ∠ADC=∠ACD=3θ → 180−6θ=108 → θ=12° |
| 11 | 삼각형의 외심과 내심 | 외접원·내접원(외심 O, 내심 I) 성질 판별 | 4 | 하 | ① | 외심은 세 꼭짓점까지 거리가 같다. ②③은 외심 성질, ④⑤는 내심 성질을 뒤집은 오답지 |
| 12 | 삼각형의 외심과 내심 | 정삼각형 내심, AB∥ID·AC∥IE, AB=12 → DE | 4 | 상 | ③ | 정삼각형의 내심=무게중심. BD=DE=EC 구조가 되어 DE=12÷3=4 |
| 13 | 일차함수와 일차방정식 | 세 직선이 삼각형을 만들지 않을 a의 곱 | 5 | 상 | ⑤ | 평행 a=−1/2, a=3 + 공점 (1,2) 통과 a=−2 → 곱 (−1/2)·3·(−2)=3 |
| 14 | 삼각형의 외심과 내심 | 외심·내심 동시 배치, ∠OAB=26°·∠ODA=110° → ∠OBI | 5 | 상 | ② | ∠A=180−26−110=44°, ∠OCA=18° → ∠B=72° → ∠ABI=36° → 36−26=10° |
| 15 | 삼각형의 성질 | 직사각형 + 빗변 중점 H, BD=DH, ∠BDC=36° → ∠DEF | 5 | 상 | ⑤ | ∠FDE=90°이므로 DH=HF → ∠HDF=∠DFE=θ, ∠DHB=2θ. ∠BDF=126°와 BD=DH로 θ=18° → ∠DEF=72° |
| 서답형1 | 일차함수와 그래프 | 평행 조건 + x절편 k, y=ax+6 → a+k (서술) | 8 | 중 | 1 | 기울기 (−3−3)/(1+2)=−2 → a=−2, y=−2x+6 → x절편 k=3 → a+k=1 |
| 서답형2 | 일차함수와 그래프 | 두 점을 지나는 직선이 x축에 평행 → a와 직선의 방정식 (서술) | 7 | 하 | a=−4, y=−7 | x축에 평행 ⇔ y좌표가 같다: a−3=3a+5 → a=−4 → y=a−3=−7 |
| 서답형3 | 일차함수와 그래프 | 물통에 물 채우기 활용, 7분 50·17분 80 → 95가 되는 시각 (서술) | 9 | 중 | 22분 후 | 변화율 (80−50)/(17−7)=3 → y=3x+29. 95=3x+29 → x=22 |
| 서답형4 | 삼각형의 성질 | 중점 M, 수선의 발 D·E, AM=9·CE=5·EM=3 → △ABD 넓이 (서술) | 7 | 상 | 30 | △BDM≡△CEM(RHA, 맞꼭지각) → BD=5, DM=3 → AD=9+3=12 → ½·12·5=30 |
| 서답형5 | 삼각형의 외심과 내심 | AB=6·BC=8·AC=10 직각삼각형의 외접원·내접원 넓이 차 (서술) | 9 | 중 | 21π | R=빗변÷2=5, r=(6+8−10)÷2=2 → 25π−4π=21π |
강북중 2학년 2학기 중간고사 수학은 선택형 15문항 60점, 서답형 5문항 40점으로 총 20문항 100점이다. 서답형이 배점의 40%를 차지해 과정 서술의 비중이 매우 높다. 단원별로는 삼각형의 성질 30점(7문항)이 가장 크고 일차함수와 그래프 28점(4문항), 삼각형의 외심과 내심 22점(4문항), 일차함수와 일차방정식 20점(5문항)이 뒤를 잇는다. 난이도는 상 7문항 34점, 중 10문항 52점, 하 3문항 14점으로 하 난이도가 14점뿐이라 안전 구간이 매우 좁다. 선택형은 1~3번만 3점, 13~15번이 5점인 계단형 배치로 뒤로 갈수록 사고 단계를 늘린다.
관통 축은 세 갈래다. 첫째, 조건에서 상수를 되짚는 역추적 계열 16점(1번 3점, 5번 4점, 6번 4점, 13번 5점)으로, 특히 13번(5점)은 평행 2가지와 세 직선 공점 1가지까지 세 경우를 모두 분류해야 곱 3에 도달한다. 둘째, 직각삼각형 합동 계열 14점(3번 3점, 8번 4점, 서답형4 7점)이 RHA를 넓이·중점과 결합한다. 셋째, 외심·내심 계열 22점으로 14번(5점)은 한 그림에서 외심의 이등변 성질과 내심의 각이등분을 3단으로 겹쳐 읽어야 ∠OBI=10°가 나온다. 최고배점인 서답형3(9점)과 서답형5(9점)는 각각 실생활 자료를 일차식으로 모델링하는 힘과 두 원의 반지름을 구분해 산출하는 힘을 본다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기가 아니라 중첩된 조건을 끝까지 추적하는 지구력이다.
학부모·학생 관점에서 쉽게 말하면, 이 시험은 "아는가"보다 "끝까지 따라갔는가"를 묻는다. 시험지에는 서답형에 대해 "문제에 제시된 조건에 맞게 써야 하며, 채점 기준에 따라 부분점수 있음"이 명시되어 있고, 서답형4는 합동인 삼각형을 기호 ≡로 나타낼 것, 서답형5는 반지름과 넓이를 각각 구할 것을 조건란에 지정했다. 즉 22분, 30, 21π 같은 최종 답이 맞아도 단계를 생략하면 40점 구간에서 크게 깎인다. 실점이 났다면 원인을 단순 계산 실수보다 경우 분류 누락과 서술 생략에서 먼저 찾아야 한다.