강북중 2학년 수학 2026 1학기 기말고사 분석 보고서

📊 시험 개요 Overview

21문항 100점 · 서·논술형 4문항이 30점(30%)을 차지해 풀이과정 서술의 비중이 매우 크다

총 문항

100

총점

17 / 70

선택형 문항 / 배점

4 / 30

서·논술형 문항 / 배점

난이도 상

난이도 중

난이도 분포 (배점 기준)

상

5문항 · 26점

중

12문항 · 60점

하

4문항 · 14점

'하' 난이도가 14점에 불과해 초반 속도 확보 구간이 좁고, '중' 60점 구간에서 실수 한 번이 곧 등급 이동으로 이어지는 구조다.

🧮 배점 3중 검산 · 세 경로 모두 일치

① 문항합 · 선택형 70점 + 서·논술형 30점 = 100점

② 단원합 · 연립일차방정식의 풀이 31 + 연립방정식의 활용 17 + 일차함수와 그래프 30 + 일차함수의 활용 22 = 100점

③ 난이도합 · 상 26 + 중 60 + 하 14 = 100점

문항 수 검산 · 21 = 7+3+7+4 = 5+12+4

🧩 단원별 구성 Units & Weight

연립방정식 계열 48점(10문항) vs 일차함수 계열 52점(11문항) — 두 대주제가 거의 균등하게 배분됐다

100점

21문항 · 4단원

연립일차방정식의 풀이 7문항 · 31점(31%) — 계수 정수화·비의 조건·해가 같은 두 연립식까지 풀이 기술 전 영역

연립방정식의 활용 3문항 · 17점(17%) — 표 해석·거리속력·자릿수 문제로 문장을 식으로 옮기는 힘을 측정

일차함수와 그래프 7문항 · 30점(30%) — 함수 판별부터 기울기·절편·평행·사분면 추론까지 개념 밀도가 가장 높다

일차함수의 활용 4문항 · 22점(22%) — 그래프로 둘러싸인 넓이 2문항과 도형·연료 활용이 최고 난도대를 형성

연립일차방정식의 풀이1~6번, 서·논술형2

31점 · 7문항 (31%)

소수·분수 계수의 정수화(2번), 해가 (a,b)일 때의 식값(3·5번), x:y=2:3 비의 조건(4번), 두 연립방정식의 해가 같은 경우(6번)까지 풀이 기술을 층층이 쌓았다. 서·논술형2는 a와 b를 서로 바꿔 푼 결과에서 원래 계수를 되찾는 역방향 문제로 이 단원 최고배점(8점)이다.

연립방정식의 활용7·8번, 서·논술형1

17점 · 3문항 (17%)

100g당 성분표를 읽어 섭취량을 구하는 비례 활용(7번, 5점), 10분 시차를 둔 추격 문제(8번, 5점), 자릿수 교환 문제(서·논술형1, 7점)로 구성됐다. 셋 다 "무엇을 x, y로 둘 것인가"에서 승부가 갈리며, 서·논술형1은 조건란에 연립방정식 수립과 해 도출을 모두 명시하도록 못 박았다.

일차함수와 그래프9~11·13~15번, 서·논술형3

30점 · 7문항 (30%)

함수의 정의 판별(9번)에서 출발해 함숫값(10번), 그래프 성질 5지선다 전수 판정(11번), 계수 부호 추론과 사분면(13번), 평행 판정(14번), 증가량·x절편 결합(15번)으로 확장된다. 서·논술형3은 두 점을 지나는 직선식을 세운 뒤 y축 평행이동을 역으로 해석해 k와 m을 동시에 요구한다.

일차함수의 활용12·16·17번, 서·논술형4

22점 · 4문항 (22%)

그래프로 둘러싸인 도형의 넓이가 12번(x축 기준)과 16번(y축 기준)으로 두 번 출제됐고, 16번은 넓이 18에서 a를 역산할 때 교점의 x좌표가 ±12 두 경우로 갈린다. 17번은 두 점의 이동 속도가 달라 넓이식이 시간의 일차식이 되는 도형 활용이며, 서·논술형4는 y=ax+b 꼴 관계식 수립과 단위 표기를 조건으로 요구한다.

📌 핵심 출제 포인트 Key Patterns

이번 시험의 변별력을 만드는 축

1결과에서 계수를 되찾는 '역추적형' 6문항 · 31점

4번(비 2:3에서 a), 6번(해가 같은 두 연립식에서 ab), 13번(그래프 모양에서 a·b의 부호), 15번(증가량과 x절편에서 a,b), 서·논술형2(바꿔 푼 해에서 원래 a,b), 서·논술형3(평행이동 결과에서 k,m)이 모두 같은 발상이다. 식을 푸는 것이 아니라 "이미 주어진 답이 성립하려면 계수가 무엇이어야 하는가"를 묻는다.

접근 · 주어진 해·점·비를 가장 먼저 원식에 대입해 미지 계수에 대한 새로운 연립식을 만든다. 문제의 미지수(x,y)와 구할 대상(a,b)을 물리적으로 분리해 쓰는 습관이 핵심이다.

2그래프로 둘러싸인 넓이 3문항 · 14점

12번은 두 직선과 x축, 16번은 두 직선과 y축, 17번은 직사각형 안의 사다리꼴 AQCP다. 세 문항 모두 "넓이 = ½ × 밑변 × 높이"를 쓰기 전에 어느 변이 밑변인지를 좌표로 확정해야 한다. 특히 16번은 넓이가 고정값 18로 주어져 미지수 a를 역산해야 하므로 절댓값 처리가 필요하다.

접근 · 축 위의 두 점을 밑변으로 잡고 교점의 좌표를 높이로 삼는다. 16번은 교점 x좌표가 +12와 −12 두 경우로 갈려 a=1/2, a=1 두 값이 나오고 합이 3/2가 된다.

35지선다 전수 판정형 — 1·9·11·14번 · 15점

한 문항 안에서 다섯 개의 서로 다른 식·상황을 각각 검증해야 한다. 1번은 보기 5개에 x=−1, y=3을 모두 대입, 9번은 함수의 정의를 5개 상황에 적용, 11번은 y=(3/2)x−6의 x절편·사분면·평행이동을 항목별로, 14번은 기울기 2를 다섯 가지 조건에서 각각 계산해야 한다.

접근 · 선택지 5개 × 1분 미만으로 끊는 판정 루틴을 만든다. 특히 9번 ②는 '소인수가 여러 개일 수 있어 하나로 정해지지 않는다'는 점이 함수가 아닌 이유다.

4서·논술형 30점 전량이 조건란을 동반

네 문항 모두 '조건' 박스가 붙어 있다. 서·논술형1은 연립방정식으로 나타낼 것과 해를 구할 것, 서·논술형2는 미지수 2개 연립방정식 풀이 이용과 풀이과정 서술, 서·논술형3은 두 직선의 식을 각각 구할 것, 서·논술형4(8점)는 변수 설정·관계식 y=ax+b 꼴·풀이과정·단위 포함까지 4개 조건이다.

접근 · 조건란을 채점 기준표로 읽는다. 서·논술형4에서 최종 답을 '490'으로만 쓰면 단위 조건 미충족, 'y=−x/14+75'를 명시하지 않으면 관계식 조건 미충족으로 부분 감점 대상이다.

⚠️ 오답 유발 포인트 Traps

실전에서 감점이 자주 발생하는 함정

3번 — 해가 정수가 아닐 것이라는 선입견

㉠×100, ㉡×12로 17x+5y=100, 3x−5y=−60을 얻으면 x=2, y=66/5로 y가 분수다. 분수가 나왔다고 계산 실수로 단정하고 되돌아가면 시간을 잃는다. a+5b=2+66=68로 구하는 식 자체가 분모를 소거하도록 설계돼 있다.

5번 — 괄호 전개에서 부호 누락

4x−2(2y−1)=15를 4x−4y−2=15로 잘못 펴면 4x−4y=17이 되어 답이 어긋난다. 올바르게는 4x−4y+2=15 → 4x−4y=13이며, 4y=2x+1과 연립해 x=7, y=15/4, a+4b=22가 된다.

8번 — '동생이 출발한 지'를 형 기준으로 착각

기준 시각을 형 출발 시점으로 잡으면 50분이 나와 선택지에 없거나 다른 답을 고르게 된다. 동생 출발 후 t분에서 40(t+10)=50t → t=40분이 정답이다. 누구 기준의 시간인지를 식 옆에 적어두어야 한다.

11번 — ④ 증가·감소 방향 뒤집기

기울기 3/2는 양수이므로 x가 4 증가하면 y는 6 증가한다. '감소'로 서술된 ④는 오답이다. 또 ⑤는 y축 방향으로 −6만큼 평행이동해야 하므로 −3은 틀리다. 정답은 ②(기울기 양수·y절편 −6이라 제2사분면 통과 안 함).

13번 — 부호 추론 두 단계를 한 번에 건너뜀

그래프에서 기울기 −1/a>0 → a<0, x절편이 −b<0 → b>0을 먼저 확정해야 한다. 그다음 y=−(1/b)x−ab에서 기울기 −1/b<0, y절편 −ab>0이 되어 제3사분면을 지나지 않는다. 중간 단계를 생략하면 ②나 ④를 고르기 쉽다.

17번 — 정답 시각이 1시 '이전'임을 놓침

넓이 13cm²가 되는 시점은 P가 출발한 지 16분 후이고, 그 시점이 오후 1시이므로 출발 시각은 16분을 빼서 오후 12시 44분이다. 더하면 ①(오후 1시 16분)이라는 대표 오답에 그대로 걸린다.

🎯 고득점 전략 How to Win

배점 방어 우선순위별 학습 처방

① 서·논술형 30점을 '조건 체크리스트'로 훈련한다

네 문항의 조건란을 그대로 옮겨 적고, 자기 답안에 ✓ 표시를 하는 연습을 반복한다. 특히 서·논술형4(8점)는 변수 설정·관계식 y=ax+b·풀이과정·단위 4개가 모두 채점 항목이므로 "490km"까지 써야 만점이다. 서·논술형2(8점)도 a=3, b=2 두 값을 모두 명시해야 한다.

② 역추적형 31점 — 대입 순서를 고정한다

4·6·13·15번과 서·논술형2·3은 모두 '주어진 해·점·조건을 먼저 대입'하면 미지 계수에 대한 연립식으로 바뀐다. 구할 문자(a,b,k,m)를 동그라미 치고, 대입 후 나온 식에 번호를 붙여 정리하는 표준 절차를 몸에 익히면 6문항을 한 묶음으로 방어할 수 있다.

③ 넓이 3문항(14점)은 좌표 먼저, 공식은 나중에

12·16·17번은 반드시 교점과 절편의 좌표를 구해 그림에 써넣은 뒤 넓이식을 세운다. 16번은 넓이가 주어진 역산형이라 절댓값 두 경우를 반드시 확인해야 하며, 한 경우만 찾으면 3/2가 아닌 1 또는 1/2로 답하게 된다. '모든 a의 합'이라는 문구를 신호로 읽는 훈련이 필요하다.

④ 계수 정수화와 괄호 전개를 무실수 구간으로 만든다

2·3번(소수·분수 계수)과 5번(괄호 전개)은 개념보다 처리 정확도의 문제다. 소수는 10의 거듭제곱, 분수는 분모의 최소공배수를 곱한다는 원칙을 손으로 20문항 반복해 자동화하면, '하·중' 난이도 구간 74점을 안정적으로 확보하고 상위 26점 공략에 시간을 배분할 수 있다.

🗂️ 문항별 유형·난이도·접근 방식 Question Map

전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리

문항	단원	유형·소재	배점	난이도	정답	핵심 접근
1	연립방정식 풀이	주어진 해를 만족하는 일차방정식 고르기	3	하	⑤	x=−1, y=3을 ㄱ~ㅁ에 전부 대입. ㄹ(−1+1=0), ㅁ(−3+6=3)만 성립
2	연립방정식 풀이	소수·분수 계수 정수화 후 y 소거식 선택	4	하	④	㉠×100 → 17x+5y=100, ㉡×12 → 3x−5y=−60. y계수가 +5와 −5이므로 더한다
3	연립방정식 풀이	연립해에서 a+5b 값 구하기	4	중	⑤	20x=40 → x=2, y=66/5. a+5b=2+66=68 (분수해라도 5b에서 분모 소거)
4	연립방정식 풀이	x:y=2:3 조건에서 계수 a 역산	4	중	②	y=3x/2를 3x−4y=−12에 대입 → x=4, y=6. 7·4+6a=16 → a=−2
5	연립방정식 풀이	괄호를 포함한 연립방정식과 a+4b	4	중	①	4x−4y+2=15 → 4x−4y=13, 2x−4y=−1 → x=7, y=15/4. 7+15=22
6	연립방정식 풀이	해가 서로 같은 두 연립방정식에서 ab	4	중	③	계수를 아는 쪽을 먼저 풀어 (2,−1). 대입해 2a+2b=5, 4a−5b=−8 → a=1/2, b=2, ab=1
7	연립방정식 활용	100g당 성분표 → 칼슘·열량 동시 만족 섭취량	5	중	④	4.2x+y=410, 2.8x+0.6y=260. 표의 값이 100g 기준임을 반영 → 치즈 50g, 우유 200g
8	연립방정식 활용	10분 시차 추격 문제(거리·속력·시간)	5	중	①	동생 출발 후 t분: 40(t+10)=50t → 10t=400 → t=40분 후
9	일차함수·그래프	함수의 정의 판별(y가 x의 함수가 아닌 것)	3	하	②	x의 소인수는 12→2,3처럼 여러 개일 수 있어 y가 하나로 정해지지 않는다
10	일차함수·그래프	함숫값 조건에서 상수 k 결정 후 f(2)	4	하	①	f(5)=−10+k=−3 → k=7. f(2)=−4+7=3
11	일차함수·그래프	한 점을 지나는 그래프의 성질 5지 전수 판정	4	중	②	b=−6 → y=(3/2)x−6. 기울기 양수·y절편 음수이므로 제2사분면을 지나지 않는다
12	일차함수 활용	y축 위 교점 조건 + x축과 둘러싸인 삼각형 넓이	4	상	③	y축에서 만나므로 b=2, (6,−2) 대입해 a=−2/3. x절편 −4와 3, 높이 2 → ½·7·2=7
13	일차함수·그래프	그래프 모양에서 a·b 부호 추론 후 사분면 판정	4	상	③	−1/a>0 → a<0, x절편 −b<0 → b>0. y=−(1/b)x−ab는 기울기 음수·y절편 양수 → 제3사분면 제외
14	일차함수·그래프	기울기 2와 평행한 그래프 판정	4	중	⑤	(−3,−6),(−1,−2)의 기울기=4/2=2이고 y절편 0≠3이므로 평행. ③④는 기울기 1/2
15	일차함수·그래프	증가량비로 기울기, x절편 공유로 절편 결정	4	중	④	a=−6/3=−2. y=(3/5)x−3의 x절편 5를 지나 b=10 → y=−2x+10, (2,6) 만족
16	일차함수 활용	y축과 둘러싸인 넓이 18에서 a의 값의 합	5	상	①	밑변 3(0,0)~(0,−3), 높이 \|x\|=\|3/(3/4−a)\|. ½·3·\|x\|=18 → x=±12 → a=1/2, 1 → 합 3/2
17	일차함수 활용	속도가 다른 두 점의 이동과 사다리꼴 넓이 역추적	5	상	⑤	AP=t/5, QC=10−t/2. ½(t/5+10−t/2)·5=13 → t=16분. 1시에서 16분 앞 → 12시 44분
서·논술형1	연립방정식 활용	자릿수 교환 조건의 두 자리 자연수	7	중	36	y=2x, 10y+x=2(10x+y)−9 → 19x−8y=9 → x=3, y=6. 검산 63=2·36−9
서·논술형2	연립방정식 풀이	a,b를 바꿔 푼 해에서 원래 계수 복원	8	상	a=3, b=2	바꾼 식 2bx−ay=5, ax+by=8에 (2,1) 대입 → 4b−a=5, 2a+b=8 → a=3, b=2
서·논술형3	일차함수·그래프	두 점 직선의 y축 평행이동 결과에서 k, m	7	중	k=−2, m=−4	기울기 −10/5=−2, y=−2x+1. y=−2x+1+m=kx−3 → k=−2, 1+m=−3 → m=−4
서·논술형4	일차함수 활용	연비 관계식 y=ax+b 수립 후 주행거리	8	중	490 km	탱크 용량 1050÷14=75L. y=−x/14+75에 y=40 대입 → x=490 (단위 km 명시 필수)

✅ 정답·배점 전수 검산 완료: 연립방정식 해·넓이 역산·경우 분류 문항은 프로그램(sympy)으로 교차검증

📝 총평 Final Assessment

강북중학교 2학년 1학기 기말고사는 선택형 17문항 70점과 서·논술형 4문항 30점, 총 21문항 100점으로 구성됐다. 단원 배점은 연립일차방정식의 풀이 31점(7문항), 일차함수와 그래프 30점(7문항), 일차함수의 활용 22점(4문항), 연립방정식의 활용 17점(3문항) 순이며, 방정식 계열 48점과 함수 계열 52점이 거의 정확히 반씩 나뉜다. 난이도는 상 5문항 26점, 중 12문항 60점, 하 4문항 14점으로, '하' 구간이 14점뿐이어서 시작부터 속도를 낼 여유가 거의 없다. 1~6번에 풀이 기술을 몰아놓고 12·13·16·17번에 상 난도를 배치한 뒤 서·논술형으로 마무리하는, 후반 가중형 설계다.

이 시험을 관통하는 축은 '결과를 주고 계수를 되찾게 하는' 역추적형 6문항 31점이다. 4번(4점)은 x:y=2:3이라는 비에서, 6번(4점)은 두 연립방정식의 해가 같다는 조건에서, 13번(4점)은 그래프 모양에서, 15번(4점)은 증가량과 x절편에서, 서·논술형2(8점)는 a와 b를 바꿔 푼 해에서, 서·논술형3(7점)은 평행이동한 결과에서 각각 미지 계수를 복원하도록 요구한다. 여기에 넓이 문항 3개 14점이 겹친다 — 12번(4점)은 x축, 16번(5점)은 y축, 17번(5점)은 사다리꼴이며, 특히 16번은 넓이 18에서 교점의 x좌표가 +12와 −12 두 경우로 갈려 a가 1/2과 1 두 값이 나온다. 최고배점인 서·논술형2와 서·논술형4(각 8점)는 조건란에 풀이과정 서술과 관계식 형태·단위까지 못 박았다. 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 주어진 결과를 조건식으로 되돌려 세우고 그 과정을 문장으로 남기는 능력이다.

학부모·학생 관점에서 풀어 말하면, 이 시험은 "답을 맞히는 시험"이 아니라 "답에 이르는 길을 보여주는 시험"에 가깝다. 서·논술형 30점은 모두 조건 박스를 달고 있어, 서·논술형4는 관계식을 y=ax+b 꼴로 쓰지 않거나 답에 'km'를 빠뜨리면 정답을 알고도 감점되고, 서·논술형2는 a=3과 b=2 두 값을 모두 적어야 완결된다. 실점이 났다면 원인을 세 곳에서 찾아야 한다. 3·5번처럼 분수·괄호 처리에서 무너졌다면 계산력, 8번의 '동생이 출발한 지'나 17번의 '움직이기 시작한 시각'처럼 기준점을 뒤집었다면 독해력, 서·논술형에서 답은 맞고 점수가 깎였다면 서술력이다. 세 원인은 처방이 전혀 다르므로, 오답 노트를 만들 때 반드시 이 셋 중 하나로 분류해 두는 것이 다음 시험 대비의 출발점이다.