신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
강북중 3학년 · 수학 2026학년도 1학기 기말고사 문항분석
이차방정식 39%·이차함수 47%로 두 대단원이 정면 충돌하는 구성. 21문항 100점 중 서답형 5문항이 35점(35%)을 차지하고, 「근·조건 → 계수 역추적」 계열 4문항이 27점으로 최대 변별 축을 형성한다.
신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
이차방정식 39%·이차함수 47%로 두 대단원이 정면 충돌하는 구성. 21문항 100점 중 서답형 5문항이 35점(35%)을 차지하고, 「근·조건 → 계수 역추적」 계열 4문항이 27점으로 최대 변별 축을 형성한다.
선택형 16문항(65점) + 서·논술형 5문항(35점) = 총 21문항 100점. 서답형 1문항당 평균 7점으로 선택형 평균 4.06점의 1.7배다.
이차방정식 계열 53점(11문항), 이차함수 계열 47점(10문항)으로 두 대단원이 거의 반반. 다만 배점 1위는 「근의 공식과 활용」 단독 39점이다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(5점) 일차항 계수와 상수항을 바꿔 푼 근에서 원래 방정식 복원, 서답형1(7점) 두 이차방정식의 해가 같다는 조건에서 a·b 결정, 서답형2(7점) 근 x=3±√5에서 계수 역산, 서답형4(8점) 세 조건으로 이차함수식 결정 — 번호는 흩어져 있으나 발상은 동일하다. 합산 27점으로 단일 계열 중 최대다.
12번(4점)은 포물선 그림에서 a>0, b<0을 읽어 직선 y=ax+b의 모양을 고르고, 13번(5점)은 두 포물선이 "서로의 꼭짓점을 지난다"는 조건을 좌표로 옮긴다. 14번(4점)은 꼭짓점 (−1,2)와 원점 통과에서 a를 구하며, 서답형5(6점)는 그림만 보고 a·b·c 부호를 서술한다. 합산 19점.
8번(5점)은 오각형 안의 사다리꼴 넓이를 직사각형 넓이와 같게 만드는 PQ를 구하는 문제로, 닮음비로 PQ와 높이를 하나의 문자로 묶어야 이차방정식이 나온다. 서답형3(7점)은 부피 1014cm³ 상자에서 종이 한 변을 구하는 5단계 서술형이다. 합산 12점.
11번(4점)은 y축 방향 평행이동만 다루는 기본형이지만, 15번(5점)은 y=3x²+24x+40을 완전제곱식으로 고쳐 p, q를 찾아야 하고, 16번(4점)은 증가·감소가 갈리는 x=6이 축임을 먼저 간파해야 한다. 식의 형태 변환 자체가 채점 대상이다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
ㄷ은 3x(x−1)=5+3x²로 이차항이 양변에 있어 정리하면 −3x−5=0인 일차방정식이 된다. ㄴ은 정리 시 x³이 남아 삼차식이다. 반드시 (좌변)−(우변)=0으로 옮겨 정리한 뒤 최고차항을 확인해야 ㄱ·ㄹ을 고를 수 있다.
주어진 근 x=−1/2은 바꾼 식의 근이다. 2x²+(k−1)x+(k+1)=0에 대입해 k=−4를 얻은 뒤, 다시 처음 식 2x²−3x−5=0을 풀어야 한다. 여기서 멈추면 답이 아예 선택지에 없는데도 근의 공식을 꺼내 오답(①·②)으로 끌려간다.
2L²−25L+50=0에서 L=10과 L=5/2가 모두 나온다. 조건 PQ<BE=10이 없으면 10을 답으로 쓰기 쉽다. 괄호 안 단서(단, PQ<BE)는 장식이 아니라 근 선택의 유일한 근거다.
두 그래프가 만난다는 뜻이 아니라, y=2x²−8이 (p,0)을 지나고 y=a(x−p)²가 (0,−8)을 지난다는 두 개의 대입 조건이다. 여기서 a=−2(위로 볼록)가 나오는데, 그림의 아래로 볼록한 곡선만 보고 a>0으로 단정하면 p<0 조건까지 놓친다.
x<6에서 감소, x>6에서 증가는 축이 x=6이라는 뜻이지 꼭짓점이 (6,6)이라는 뜻이 아니다. 축 x=2a=6에서 a=3을 먼저 구하고, 식을 (x−6)²−22로 고쳐야 q=−22가 나온다.
시험지에 "문제에 제시된 조건에 맞게 써야 하며, 채점 기준에 따라 부분점수 있음"이 명시돼 있다. 서답형3은 1~5단계(미지수·식 세우기·풀기·해 선택 이유·답)를, 서답형5는 '~이므로 ~이다' 형식과 "그래프와 관련한 이유"를 요구한다. 정답만 적으면 배점의 상당 부분이 날아간다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 5문항(7·7·7·8·6점)은 전체의 35%다. 서답형3의 5단계 서술, 서답형4의 "풀이 과정에 이차함수의 식을 반드시 포함", 서답형5의 '~이므로 ~이다' 형식은 모두 시험지에 명문화된 채점 기준이다. 기출 서답형을 답이 아니라 답안 형식으로 3회 이상 옮겨 써서 문장 틀을 몸에 익힌다.
4번·서답형1·서답형2·서답형4는 모두 "결과 → 계수"다. 근이 주어지면 대입 또는 근과 계수의 관계, 조건이 주어지면 표준형 y=a(x−p)²+q 설정 — 이 두 갈래 판단을 10문제 연속으로 반복해 0.5초 안에 갈래를 정하는 상태를 만든다.
12번·서답형5는 물론 13·14번도 결국 그래프 읽기다. 문제를 보면 여백에 a(볼록) / b(축 위치) / c(y절편) 세 칸을 그리고 채운다. 특히 축이 y축 왼쪽이면 −b/2a<0이므로 a와 b가 같은 부호라는 관계를 공식처럼 외워 둔다.
1·3·7·9·10·11번 6문항 21점은 개념 한 줄이면 끝나는 구간이다. 이 21점과 중난도 49점 중 절반만 확보해도 45점대에 그친다는 뜻이므로, 기본 21점은 실점 0을 목표선으로 두고 시험 초반 10분 안에 정확도 위주로 통과시킨 뒤 남은 시간을 8·13번과 서답형에 몰아준다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 뜻과 풀이 | 이차방정식 판별 (보기 4개) | 3 | 하 | ③ | (좌변)−(우변)=0으로 정리 후 최고차항 확인. ㄱ:3x²−12x+9, ㄹ:2x²−7x−6만 이차 |
| 2 | 근의 공식·활용 | 근을 대입한 식의 값 | 4 | 중 | ① | m²−m=1 → m²−m+5=6, 9n²+6n=1 → 3n²+2n=1/3 → 4/3. 6×4/3=8 |
| 3 | 뜻과 풀이 | 인수분해된 이차방정식 풀이 | 3 | 하 | ② | 2(x+5)(x−4)=0 → 상수배 2는 근에 영향 없음. x=−5 또는 x=4 |
| 4 | 근의 공식·활용 | 계수를 바꿔 푼 근 → 원래 방정식 | 5 | 상 | ③ | 바꾼 식 2x²+(k−1)x+(k+1)=0에 x=−1/2 대입 → k=−4. 처음 식 2x²−3x−5=0 → x=−1, 5/2 |
| 5 | 뜻과 풀이 | 중근을 갖는 이차방정식 고르기 | 4 | 중 | ④ | ㄴ:2(x−2)²=0, ㄹ:(3x+2)²=0. 판별식 또는 완전제곱 형태 확인 |
| 6 | 뜻과 풀이 | (x+a)²=b 꼴로 변형 | 4 | 중 | ② | x²−x=1 → (x−1/2)²=5/4. a=−1/2, b=5/4 → a+b=3/4 |
| 7 | 근의 공식·활용 | 근의 공식 직접 적용 | 4 | 하 | ① | x=(−3±√(9+12))/6 = (−3±√21)/6. 부호와 분모 6 확인 |
| 8 | 근의 공식·활용 | 오각형 속 사다리꼴 넓이 = 직사각형 넓이 | 5 | 상 | ⑤ | PQ=L일 때 닮음으로 높이 9−2L/5. (1/2)(L+10)(9−2L/5)=50 → 2L²−25L+50=0 → L=5/2 (L<10) |
| 9 | 그래프·평행이동 | 이차함수가 아닌 것 고르기 | 3 | 하 | ⑤ | 2x(x−1)+(1−2x²)=−2x+1로 x²항 소거 → 일차함수 |
| 10 | 그래프·평행이동 | x축 대칭이동한 그래프 | 4 | 하 | ② | y=−x² → x축 대칭 y=x². (2,a) 대입 → a=4 |
| 11 | 그래프·평행이동 | y축 방향 평행이동 | 4 | 하 | ④ | y=(1/3)x²+a에 (6,10) 대입 → 12+a=10 → a=−2 |
| 12 | 식·계수의 부호 | 포물선 그림 → 일차함수 y=ax+b 그래프 | 4 | 중 | ③ | 아래로 볼록 → a>0, 꼭짓점 (b,0)이 y축 왼쪽 → b<0. 기울기 양·y절편 음인 직선 |
| 13 | 그래프·평행이동 | 두 포물선이 서로의 꼭짓점을 지남 | 5 | 상 | ① | 2p²−8=0, p<0 → p=−2. a(0+2)²=−8 → a=−2. a+p=−4 |
| 14 | 그래프·평행이동 | 그림의 꼭짓점 + 원점 통과 → k | 4 | 중 | ① | y=a(x+1)²+2, 원점 대입 → a=−2. x=1 → k=−2·4+2=−6 |
| 15 | 그래프·평행이동 | 평행이동 결과가 일반형과 일치 | 5 | 중 | ⑤ | 3x²+24x+40=3(x+4)²−8 → p=−4, q=−8 → p+q=−12 |
| 16 | 식·계수의 부호 | 증가·감소 경계 → 꼭짓점 좌표 | 4 | 중 | ② | 축 x=2a=6 → a=3. y=(x−6)²−22 → (p,q)=(6,−22) → p+q=−16 |
| 서답형 1 | 근의 공식·활용 | 두 이차방정식의 해가 서로 같을 때 ab | 7 | 중 | ab=−16 | (2x−1)(3x+b)=6x²+(2b−3)x−b. 6x²−11x+a와 계수 비교 → 2b−3=−11 → b=−4, a=−b=4 → ab=−16 |
| 서답형 2 | 근의 공식·활용 | 근 x=3±√5에서 계수 역산 | 7 | 중 | a+b=1 | 두 근의 합 6=−3a → a=−2, 곱 4=b+1 → b=3. a+b=1 |
| 서답형 3 | 근의 공식·활용 | 부피 1014cm³ 상자 → 종이 한 변 (5단계 서술) | 7 | 상 | 25 cm | 한 변 x → 6(x−12)²=1014 → (x−12)²=169 → x=25 또는 −1. x>12이므로 25cm |
| 서답형 4 | 식·계수의 부호 | 세 조건으로 이차함수식 결정 (최고배점) | 8 | 상 | a=1/2, b=5, c=25/2 | 축 x=−5 + 꼭짓점이 x축 위 → y=a(x+5)². (−3,2) 대입 → a=1/2. 전개해 y=(1/2)x²+5x+25/2 |
| 서답형 5 | 식·계수의 부호 | 그래프에서 a·b·c 부호 서술 | 6 | 중 | a>0, b>0, c>0 | 아래로 볼록 → a>0. 축 −b/2a<0이고 a>0 → b>0. y축과 x축 위쪽에서 만남 → c>0. '~이므로 ~이다' 형식 필수 |
강북중 3학년 2026학년도 1학기 기말고사 수학은 선택형 16문항 65점, 서·논술형 5문항 35점으로 구성된 총 21문항 100점 시험이다. 서답형 한 문항의 평균 배점이 7점으로 선택형 평균 4.06점의 1.7배에 이르러, 문항 수는 적지만 점수 지분은 35%를 차지한다. 단원별로는 이차방정식의 근의 공식과 활용이 39점(7문항)으로 1위, 이차함수의 그래프와 평행이동 25점(6문항), 이차함수의 식과 계수의 부호 22점(4문항), 이차방정식의 뜻과 풀이 14점(4문항) 순이다. 난이도는 상 5문항 30점, 중 10문항 49점, 하 6문항 21점으로, 중난도 49점 구간이 실질적인 등급 분기점이다. 앞번호에 저배점 개념 확인을, 뒷번호와 서답형에 5~8점 문항을 배치한 전형적인 누진 구조다.
번호가 흩어져 있음에도 하나의 발상을 공유하는 계열이 뚜렷하다. 4번(5점), 서답형1(7점), 서답형2(7점), 서답형4(8점)는 모두 결과에서 계수를 되찾는 역추적형으로 합산 27점이며, 이는 단일 계열 중 최대 규모다. 여기에 12번(4점)·13번(5점)·14번(4점)·서답형5(6점)의 그래프 판독형 19점, 8번(5점)·서답형3(7점)의 도형·실생활 활용형 12점이 더해진다. 최고배점인 서답형4(8점)는 축의 방정식, 꼭짓점이 x축 위, 한 점 통과라는 조건이 3단으로 중첩돼 표준형 설정→대입→전개의 세 단계를 모두 문서화해야 하고, 8번은 닮음비로 높이와 PQ를 한 문자로 묶은 뒤 얻은 두 근 중 PQ<10 조건으로 하나를 버리는 케이스 선별을 요구한다. 요컨대 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라 주어진 결과·그림·상황을 방정식으로 되돌려 세우는 역방향 사고력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 "많이 풀어 본 학생"보다 "왜 그 식이 나오는지 설명할 수 있는 학생"에게 유리한 시험이다. 시험지에는 "문제에 제시된 조건에 맞게 써야 하며, 채점 기준에 따라 부분점수 있음"이 명시돼 있고, 서답형3은 미지수 설정부터 해 선택 이유까지 5단계를, 서답형5는 '~이므로 ~이다' 형식과 그래프에 근거한 이유를 요구한다. 답이 맞아도 과정이 빠지면 35점 중 상당 부분을 잃는 구조라는 뜻이다. 따라서 실점 원인을 진단할 때는 계산력보다 먼저 독해력과 서술력을 살펴야 한다. 4번·13번·16번에서 조건 문장의 의미를 잘못 옮겼다면 독해 문제이고, 답은 맞았는데 서답형 점수가 낮다면 전적으로 답안 작성 훈련의 문제다.