선택형 15문항과 서·논술형 5문항으로 구성된 시험입니다. 일차함수와 일차방정식, 삼각형의 외심과 내심 두 단원이 배점의 74%를 차지하고, 넓이 조건을 길이·좌표로 바꾸는 문항이 함수와 도형 단원을 가로지릅니다.
4쪽 20문항 · 100점. 서·논술형은 채점기준에 따라 부분점수가 있습니다. 시험지에 시험 범위 표기가 없어 범위는 출제 문항 기준으로 적었고, 서·논술형 1~5는 이 보고서에서 서답형1~5로 표기합니다.
함수 단원 41점, 도형 단원 59점으로 나뉘며, 도형 쪽에서는 삼각형의 외심과 내심이 33점으로 가장 큽니다.
추론이 8문항 44점으로 가장 크고, 대표 문항은 12번과 서답형4입니다. 서답형 5문항 중 3문항(서답형3·4·5)이 추론입니다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(5점), 13번(5점), 15번(4점), 서답형1(8점), 서답형2(9점), 서답형3(8점)이 모두 넓이를 주거나 묻습니다. 4번은 넓이 18에서 $\overline{AD}=3$을, 15번은 넓이 $128\,\text{cm}^2$에서 높이 $8\,\text{cm}$를, 서답형3은 넓이 $80\,\text{cm}^2$에서 $\overline{BD}=16\,\text{cm}$를 끌어내야 다음 단계로 갈 수 있습니다.
외심은 $\angle OAB+\angle OBC+\angle OCA=90^\circ$와 $\angle AOB=2\angle C$(7·9번), 내심은 $\angle BIC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle A$와 접선의 길이(11·12·13번)를 씁니다. 10번은 오답 선지 ①②④⑤가 모두 외심에서 성립하는 성질(꼭짓점까지의 거리, 변의 중점, 밑각, 중심각)을 내심에 옮긴 형태이고, 서답형4는 둔각삼각형에서 외심이 삼각형 밖에 있다는 점까지 요구합니다.
2번($x$축에 평행 → $a=0$), 3번(교점 = 연립방정식의 해), 5번(해가 무수히 많음 = 두 직선이 일치), 6번(평행 → 기울기가 같음)이 같은 발상을 다른 조건으로 묻습니다.
10번(4점)의 RHS 합동, 서답형3(8점)의 RHA 합동, 서답형5(7점)의 ASA 합동이 이어집니다. 서답형3·5의 <조건>에는 '논리적 근거를 제시할 것', '합동의 근거를 포함할 것'이 명시되어 있습니다.
오답 선지나 서술 조건 누락으로 이어질 수 있는 지점(문항 구성 기준)
두 직선이 평행하면 기울기 $-\frac{a}{b}=-2$이므로 $a=2b$입니다. 이를 $b=2a$로 뒤집어 놓으면 기울기가 $\frac{b}{2a}=1$이 되어 선지 ③입니다. 바른 값은 $\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}$입니다.
⑤ $34^\circ$는 $\angle OAB$, ④ $24^\circ$는 $\angle IAB$, ③ $14^\circ$는 $\angle OAC$입니다. 구하는 값은 둘의 차인 $\angle IAO=10^\circ$입니다.
$y=\overline{BC}$는 마주 보는 변 $\overline{AD}=5$와 같습니다. 이웃한 변 $\overline{AB}=4$로 놓으면 $70+4=74$가 되어 선지 ①입니다.
엇각 두 쌍은 각각 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$와 $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$에서 나옵니다. <조건>이 '합동의 근거를 포함할 것'을 요구하므로, 평행 근거와 ASA라는 이름을 모두 써야 조건을 채웁니다.
4번·13번·서답형4의 함정은 아래 고난도 문항 심층 분석의 「왜 어려웠을까」에 정리했습니다.
난이도 상 6문항 중 8점 서답형 3문항과, 넓이 축을 대표하는 5점 선택형 2문항(4번·13번)을 골랐습니다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
$x$축에 평행, 두 직선의 평행·일치, 교점 = 연립방정식의 해를 $y=ax+b$ 꼴의 기울기·$y$절편 비교로 묶어 연습합니다. 2·5·6번은 이 비교로, 3번은 교점을 연립방정식의 해로 읽는 것으로 연결됩니다.
거리(꼭짓점 / 변), 각 공식($90^\circ$ 관계, 중심각 2배, $90^\circ+\frac{1}{2}\angle A$), 접선의 길이, 둔각삼각형에서 외심 위치를 한 표로 정리하고, 10·12번처럼 섞어 놓은 선지를 판정하는 연습을 합니다.
넓이가 주어지면 모르는 길이를 하나 정하고, 넓이를 구하라고 하면 밑변·높이를 먼저 확정하는 순서를 4·13·15번과 서답형1·2·3으로 반복합니다.
문항마다 <조건>의 항목(절편·교점·기약분수 / 세 교점·길이 / 근거·계산식·단위·기호 / $x$에 대한 식·성질 적용 / 합동의 근거)을 답안의 한 줄씩과 대응시키고, 제출 전에 항목별로 표시합니다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수·방정식 | 일차방정식을 일차함수 꼴로 변형 | 3 | 하 | 계산 | ③ | $y$에 대해 정리 → $y=\frac{3}{4}x-3$ |
| 2 | 일차함수·방정식 | $x$축에 평행한 직선과 $y$축 위의 교점 | 4 | 중 | 이해 | ② | $a=0$ → $y=\frac{1}{b}$, $y$절편 $\frac{1}{2}$과 같음 → $b=2$ |
| 3 | 일차함수·방정식 | 그래프의 교점 = 연립방정식의 해 | 4 | 중 | 추론 | ① | 교점 $(1,3)$ 대입 → $(a+3b)-(c+3d)=1-3$ |
| 4 | 일차함수·방정식 | 넓이 조건으로 평행사변형의 변이 되는 직선 결정 | 5 | 상 | 문제해결 | ④ | $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ → $m=-2$, 넓이 18 → $\overline{AD}=3$, $n>0$으로 한 경우 선택 |
| 5 | 일차함수·방정식 | 해가 무수히 많은 연립방정식 | 4 | 하 | 이해 | ⑤ | 두 일차방정식이 같은 직선인지(계수의 비가 모두 같은지) 판정 |
| 6 | 일차함수·방정식 | 평행 조건으로 계수 관계 구하기 | 4 | 중 | 추론 | ① | 기울기 같음 → $a=2b$ → 기울기 $\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}$ |
| 7 | 외심·내심 | 외심과 세 내각의 관계 | 3 | 하 | 계산 | ① | $\angle OAB+\angle OBC+\angle OCA=90^\circ$ |
| 8 | 이등변·직각삼각형 | 두 이등변삼각형의 밑각과 평각 | 4 | 중 | 추론 | ③ | 밑각 $52^\circ$, $75^\circ$ → $180^\circ-52^\circ-75^\circ=53^\circ$ |
| 9 | 외심·내심 | 외심과 중심각 | 4 | 하 | 계산 | ⑤ | $\angle AOB=2\angle C=144^\circ$, $\overline{OA}=\overline{OB}$ |
| 10 | 외심·내심 | 내접원·내심의 성질 판정 | 4 | 하 | 이해 | ③ | RHS 합동 △IEC ≡ △IFC (①②④⑤는 외심에서 성립하는 성질) |
| 11 | 외심·내심 | 접선의 길이로 변의 길이 구하기 | 4 | 하 | 계산 | ④ | $\overline{CE}=9$ → $\overline{BD}=\overline{BE}=4$ → $\overline{AF}=\overline{AD}=6$ |
| 12 | 외심·내심 | 내심·외심이 함께 있는 각의 크기 | 5 | 상 | 추론 | ② | $\angle BIC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle A$ → $\angle A=48^\circ$ → $34^\circ-24^\circ$ |
| 13 | 외심·내심 | 직각삼각형의 내접원과 삼각형 넓이 | 5 | 상 | 문제해결 | ③ | $r=4$, $\overline{AH}=6$, $\overline{HM}=13-6=7$ |
| 14 | 평행사변형 | 평행사변형의 대각·대변 | 3 | 하 | 이해 | ② | $x=180-110=70$, $y=\overline{AD}=5$ |
| 15 | 평행사변형 | 각의 이등분선과 평행선이 만드는 이등변삼각형 | 4 | 중 | 추론 | ⑤ | $\overline{AE}=\overline{AB}=12$ → $\overline{ED}=4$, 높이 $8$ → $4\times8=32$ |
| 서답형1 | 일차함수·방정식 | 넓이를 이등분하는 직선의 기울기 | 8 | 상 | 문제해결 | a = 5/3 | 절편 $12, 20$ → 넓이 $120$ → 교점 $(6,10)$ → $a=\frac{5}{3}$ |
| 서답형2 | 일차함수·방정식 | 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 | 9 | 중 | 계산 | 16 | 교점 $(-3,5)$, $(-5,1)$, $(3,1)$ → 밑변 $8$, 높이 $4$ |
| 서답형3 | 이등변·직각삼각형 | 직각이등변삼각형과 직각삼각형의 합동(RHA) | 8 | 상 | 추론 | 6 cm | △ABD ≡ △CAE → $\overline{AD}=10$, $\overline{AE}=\overline{BD}=16$ |
| 서답형4 | 외심·내심 | 둔각이등변삼각형의 외심·내심과 각 | 8 | 상 | 추론 | 108° | $\angle OCA=90^\circ-2x$, $\angle ICO=90^\circ-3x=36^\circ$ → $x=18^\circ$ |
| 서답형5 | 평행사변형 | 평행사변형의 대변의 길이가 같음을 증명 | 7 | 중 | 추론 | △ABC≡△CDA(ASA) | 엇각 2쌍 + 공통변 $\overline{AC}$ → ASA 합동 |
이번 시험을 가정에서 어떻게 읽으면 좋은지 정리했습니다.
20문항 100점 중 서·논술형 5문항이 40점을 차지합니다. 일차함수 단원(41점)과 삼각형의 외심·내심 단원(33점)의 비중이 크고, 그림 속 길이·각·넓이를 식으로 바꾸는 문항이 많은 시험입니다.
시험지에는 서·논술형을 '문제에 제시된 조건에 맞게 써야 하며, 채점기준에 따라 부분점수 있음'이라고 적혀 있습니다. 그래서 총점보다 서·논술형에서 조건 항목(교점 좌표, 합동의 근거, 단위 등)을 빠짐없이 썼는지를 먼저 확인해 보시길 권합니다. 선택형은 틀린 문항이 일차함수(1~6번) 쪽인지 도형(7~15번) 쪽인지 나눠 보시면 보완할 방향이 보입니다.
자녀가 도형 문제를 풀 때 '왜 이 두 변의 길이가 같은지', '왜 두 삼각형이 합동인지'를 말로 설명해 보게 해 주세요. 정답을 알려 주기보다 근거를 물어보는 대화가 서·논술형에서 요구하는 설명 연습과 같은 방향입니다.
학원에서는 이번 시험지를 바탕으로 외심과 내심의 성질 구분, 넓이 조건을 길이로 바꾸는 문항, 서·논술형 조건에 맞춰 쓰기를 중심으로 지도합니다. 기말고사는 학기 내 남은 범위를 다루면서, 이번 시험에서 놓친 유형을 먼저 다시 점검합니다.
강북중학교 2학년 2학기 중간고사는 20문항 100점으로, 선택형 15문항이 60점, 서·논술형 5문항이 40점이다. 단원별 배점은 일차함수와 일차방정식 41점, 삼각형의 외심과 내심 33점, 평행사변형의 성질 14점, 이등변삼각형과 직각삼각형 12점 순이다. 난이도는 상 6문항 39점, 중 7문항 36점, 하 7문항 25점으로 상 문항의 배점이 가장 크다. 선택형은 1~6번이 함수, 7~15번이 도형으로 배치되었고, 5점 문항인 4번(5점), 12번(5점), 13번(5점)을 각 구간의 중후반에 두어 쉬운 문항에서 결합 문항으로 올라가는 설계가 드러난다.
이 시험을 관통하는 축은 넓이 조건을 길이와 좌표로 바꾸는 발상이다. 4번(5점), 13번(5점), 15번(4점), 서답형1(8점), 서답형2(9점), 서답형3(8점)이 모두 넓이를 주거나 묻고, 함수 단원과 도형 단원에 걸쳐 있다. 두 번째 축은 외심과 내심의 성질 구분으로, 7번(3점), 9번(4점), 12번(5점), 서답형4(8점)가 서로 다른 각 관계를 묻는다. 최고배점인 서답형2(9점)는 세 교점과 밑변·높이를 차례로 구하는 절차를, 8점 서답형 3문항은 교점 좌표(서답형1), 논리적 근거(서답형3), 외심·내심의 성질 적용(서답형4)처럼 풀이 중간 단계를 조건으로 명시해 요구한다. 결국 이 시험은 그림과 조건을 식으로 옮긴 뒤 그 근거를 글로 설명하는 능력을 측정했다.
쉽게 말해 이번 시험은 공식을 외웠는지보다 그림을 보고 무엇이 같은지 찾아내는지를 많이 물은 시험이다. 같은 외심·내심 단원 안에서도 각, 길이, 넓이를 번갈아 묻는다. 서·논술형 5문항 40점에는 채점기준에 따른 부분점수가 있고, 문항마다 교점 좌표, 합동의 근거, 단위와 기호처럼 써야 할 항목이 조건으로 적혀 있다. 따라서 답이 맞더라도 조건 항목이 빠지면 감점될 수 있다. 문항 구성상 배점이 크게 걸린 역량은 계산력보다 조건을 읽고 근거를 쓰는 힘이며, 행동영역에서 추론이 8문항 44점으로 가장 큰 것도 같은 방향이다.