함수(31점)와 원의 방정식(25.4점)이 중심인 22문항 시험 — 선택형은 번호 순서대로 배점과 난이도가 함께 오르고, 상위 배점 문항은 조건 해석·경우 분류·풀이 서술을 요구합니다.
2025.12.4 시행 기출 · 선택형 16문항(66점) + 서답형 6문항(34점) · 집합과 명제 문항 없음(시험지에 범위 표기가 없어 범위 포함 여부는 미확인) · 같은 학교 공통수학2 기말 대비 자료로 활용
함수(31점)가 가장 크고, 원의 방정식 5문항은 모두 접선을 포함 · 도형의 이동은 원·삼각형과 결합해 출제
계산이 9문항 37.2점으로 가장 크고(대표 7·8·9번, 서답형 3), 난이도 상 6문항은 모두 추론·문제해결 영역입니다.
이 기출에서 배점이 크게 걸린 출제 축
7번(기울기가 주어진 접선), 12번(원 밖의 점에서 그은 두 접선과 넓이), 서답형 1(원 위의 점·기울기 접선), 서답형 3(세 점을 지나는 원의 접선), 서답형 6(이동한 원의 접선 세 개)까지 단원 5문항(25.4점)이 모두 접선을 포함합니다. 그중 서답형 1·3·6은 접선의 방정식을 직접 써야 하는 서술형입니다.
2번·5번은 점·직선 이동의 기본형이지만, 10번(원의 대칭이동 후 공통현), 13번(대칭이동으로 꺾인 선분 펴기), 15번(평행이동한 두 삼각형의 공통부분), 서답형 3·6은 이동 결과를 새 조건의 출발점으로 씁니다. 13번은 $C_1$을 $x$축에, $C_2$를 $x$축과 직선 $y=2$에 차례로 대칭시키면 중심 사이 거리가 $17$이 되고, 여기서 두 반지름을 빼 최솟값 $12$를 얻습니다.
4번(역함수 구하기), 14번(역함수가 존재하지 않는 함수의 개수), 서답형 4(일대일대응이 되는 일차함수), 서답형 5(무리함수와 역함수의 교점)가 같은 정의를 다른 형태로 묻고, 11번은 보기 ㄹ(역함수 그래프가 지나는 사분면)에서 다시 확인합니다. 11번을 빼고 네 문항 배점만 합해도 20.4점입니다.
16번은 조건 (가)에서 $a=4$, $a=8$ 두 갈래로, 서답형 4는 $a$의 부호로 나뉘고, 서답형 5는 경계 $k=3$ 포함·$k=\tfrac{13}{4}$ 제외를, 15번은 육각형이 되는 $t$의 범위를 정해야 합니다. 난이도 상 6문항(31.4점)은 모두 추론·문제해결 영역입니다.
풀이 과정에서 실수하기 쉬운 지점 · 선지 구조상 오답으로 이어질 수 있는 함정
정의역은 근호 안만 봅니다: $2-x\ge0$ → $x\le2$(⑤). 뒤의 $+3$은 치역($y\ge3$)에 영향을 주므로 $x\ge3$(②)은 함정입니다.
$x$축 방향 2, $y$축 방향 $-1$ 이동은 $x$ 대신 $x-2$, $y$ 대신 $y+1$을 넣습니다. 반대로 넣으면 $3x+y+4=0$(④)이 나옵니다.
$(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(2)=6$(①)입니다. 순서를 바꿔 $f(g(1))=f(3)=8$로 계산하면 ③으로 가게 됩니다.
$y=\dfrac{6x-1}{2x-1}=\dfrac{1}{x-\frac12}+3$이므로 점근선은 $x=\tfrac12$, $y=3$입니다. 분자의 계수 6을 그대로 읽어 ㄴ($y=6$)을 참으로 고르지 않도록 합니다.
[다]는 1, 2가 모두 $a$로 가고 $c$에 대응하는 원소가 없어도 함수입니다. 함수 조건은 $X$의 각 원소에 하나씩 대응하는지만 봅니다. 함수가 아닌 것은 [나](원소 2에 대응하는 원소 없음) 하나입니다.
서답형 4는 $a<0$인 경우 $(-4,\,13)$을, 서답형 5는 $k=3$ 포함·$k=\tfrac{13}{4}$ 제외의 근거를 빠뜨리기 쉽습니다. 부분점수 문항이므로 경우와 경계를 문장으로 남깁니다.
난이도 상 6문항 중 배점 상위 5문항 — 선택형 14·15·16번과 서답형 5·6 (13번은 핵심 출제 포인트 2에서 다룸)
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1~6번과 서답형 1·2는 정의역, 평행이동 대입 부호, 합성·역함수, 함수의 정의, 접선 공식 한 번으로 끝나는 문항입니다. 이 유형만 모아 시간을 재고 풀며 부호·등호 실수를 점검합니다.
원의 방정식 5문항이 모두 접선을 포함하고, 서답형 3·6은 이동과 결합됩니다. ‘이동한 원의 중심을 먼저 적고 → 접선 공식 선택 → 거리 조건’ 순서를 습관으로 만듭니다.
14번, 서답형 4·5처럼 정의가 곧 식이 되는 문항이 많습니다. ‘역함수 존재 = 일대일대응’, ‘증가함수의 역함수 교점은 $y=x$ 위’ 같은 문장을 식으로 바꾸는 연습을 반복합니다.
서답형 3~6번은 ‘풀이 과정과 답’을 요구하고 부분점수가 있다고 시험지에 명시되어 있습니다. 경우를 나눈 이유, 경계값 포함·제외 근거, 제곱할 때의 조건을 문장으로 남기는 답안을 연습합니다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 유리·무리함수 | 무리함수의 정의역 | 3.6 | 하 | 이해 | ⑤ | 근호 안 $2-x\ge0$ → $x\le2$ |
| 2 | 도형의 이동 | 점의 평행이동 | 3.6 | 하 | 계산 | ③ | $(2+3,\,-3+1)=(5,-2)$ → $a+b=3$ |
| 3 | 함수 | 합성함수의 함숫값 | 3.6 | 하 | 계산 | ① | $f(1)=2$ → $g(2)=6$ |
| 4 | 함수 | 일차함수의 역함수 | 3.8 | 하 | 계산 | ⑤ | $x=2y+6$으로 풀고 $x,y$ 교환 → $y=2x+6$ |
| 5 | 도형의 이동 | 직선의 평행이동 | 3.8 | 하 | 계산 | ② | $x\to x-2,\ y\to y+1$ 대입 → $3x+y-6=0$ |
| 6 | 함수 | 서로 같은 함수 | 3.8 | 하 | 이해 | ① | $f(1)=g(1),\ f(3)=g(3)$ 연립 → $a=2,\ b=1$ |
| 7 | 원의 방정식 | 기울기가 주어진 원의 접선 | 4 | 중 | 계산 | ⑤ | $y=3x+k$, $\dfrac{|k|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ → $k=\pm10$, 양수 조건 → $a=7$ |
| 8 | 함수 | 치환으로 함수식 구하기·합성 | 4.2 | 중 | 계산 | ② | $f(t)=2t-3$ → $(f\circ f)(x)=4x-9$ → $a-b=13$ |
| 9 | 유리·무리함수 | 유리식·무리식의 계산 | 4.2 | 중 | 계산 | ② | ②를 통분하면 $\dfrac{x+3}{x^2-1}$ (분자 부호가 다름) |
| 10 | 도형의 이동 | 원의 대칭이동·평행이동과 공통현 | 4.3 | 중 | 문제해결 | ① | 중심 $(2,\,5+a)$, 공통현 $\sqrt{11}$ → 중심거리 $5$ → $a=1$ |
| 11 | 유리·무리함수 | 유리함수의 성질 판정(보기 5개) | 4.3 | 중 | 이해 | ③ | $y=\dfrac{1}{x-\frac12}+3$ 꼴로 변형 → ㄱ·ㄷ·ㅁ 참 |
| 12 | 원의 방정식 | 원 밖의 점에서 그은 접선과 넓이 | 4.4 | 중 | 문제해결 | ④ | $(m+3)^2=2(m^2+1)$ → $m=7,\,-1$ → $y$절편 $10,\,2$ → 넓이 $4$ |
| 13 | 도형의 이동 | 대칭이동을 이용한 꺾인 선분의 최솟값 | 4.4 | 상 | 문제해결 | ④ | $C_1$은 $x$축, $C_2$는 $x$축·$y=2$로 대칭 → $17-2-3=12$ |
| 14 | 함수 | 조건을 만족하는 함수의 개수 | 4.6 | 상 | 추론 | ③ | $20\times6^3=4320$에서 일대일대응 $120$ 제외 → $4200$ |
| 15 | 도형의 이동 | 평행이동한 두 삼각형의 공통부분 | 4.6 | 상 | 문제해결 | ③ | $S(t)=6t^2-6(2t-1)^2$, $\tfrac12<t<1$ → $a=1,\ M=2$ |
| 16 | 유리·무리함수 | 이차·유리함수를 이은 함수의 조건 | 4.8 | 상 | 추론 | ④ | $(a,b)=\left(4,-\tfrac14\right),\left(8,\tfrac{5}{16}\right)$ → 합 $\tfrac{1}{16}$ |
| 서답형 1 | 원의 방정식 | 원 위의 점·기울기가 주어진 접선 | 4 | 하 | 계산 | (1) -3x+4y=25 / (2) y=2x±5√5 |
$x_1x+y_1y=r^2$, $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$ |
| 서답형 2 | 함수 | 대응 그림에서 함수 판별·이유 서술 | 5 | 하 | 이해 | (1) [가], [다] / (2) [나] |
[나]는 원소 2에 대응하는 $Y$의 원소가 없어 함수가 아님 |
| 서답형 3 | 원의 방정식 | 이동한 세 점을 지나는 원과 접선 | 6 | 중 | 계산 | (x-4)²+(y-4)²=5 / y=2x+1, y=2x-9 |
$B(5,6),\ C(2,5)$ → 중심 $(4,4)$, $r^2=5$ → $|4+k|=5$ |
| 서답형 4 | 함수 | 일대일대응이 되는 일차함수 | 6 | 중 | 추론 | (4, -11), (-4, 13) | $a>0$: $f(2)=-3,\ f(4)=5$ / $a<0$: $f(2)=5,\ f(4)=-3$ |
| 서답형 5 | 유리·무리함수 | 무리함수와 역함수의 교점 조건 | 6 | 상 | 추론 | 3 이상 13/4 미만 |
교점은 $y=x$ 위 → $x^2-7x+9+k=0$이 $x\ge3$에서 서로 다른 두 근 |
| 서답형 6 | 원의 방정식 | 이동한 원의 접선 3개와 삼각형 넓이 | 7 | 상 | 문제해결 | x+2y=13, x-2y=1, 2x+y=2 / 넓이 30 |
$l_2\perp l_3$, 꼭짓점 $(1,0),(7,3),(-3,8)$ → $\tfrac12\times3\sqrt5\times4\sqrt5=30$ |
이 기출(2025.12.4 시행)을 가정에서 어떻게 읽으면 좋은지 정리했습니다.
총 22문항 100점 가운데 서답형(서술형)이 6문항 34점입니다. 선택형은 번호가 커질수록 배점(3.6점에서 4.8점)과 난이도가 함께 올라가고, 원의 접선·함수·역함수처럼 교과서 핵심 개념이 그대로 출제되었습니다. 다만 배점이 큰 문항일수록 두세 개념을 이어 붙여 조건을 해석하게 합니다.
자녀가 이 기출을 시간을 재고 풀어 보았다면(또는 응시한 시험지를 다시 본다면), 총점보다 어느 구간에서 놓쳤는지를 먼저 확인해 주세요. 1~6번과 서답형 1·2에서 놓친 문항이 있다면 개념 정의(정의역, 평행이동 부호, 함수의 뜻)를 다시 확인할 신호입니다. 7~12번과 서답형 3·4에서 놓쳤다면 상황에 맞는 공식을 고르고 계산을 끝까지 이어 가는 연습(접선·치환·이동 결합)이 필요하다는 신호이고, 13~16번과 서답형 5·6에서 막혔다면 조건을 나누고 근거를 쓰는 연습이 더 필요하다는 신호입니다. 서답형 대부분(1·2번의 (2)와 3~6번)에 부분점수가 있으므로 답안을 어느 단계까지 썼는지도 함께 보시면 좋습니다.
자녀에게 서술형 풀이를 말로 설명해 보게 해 주세요. ‘왜 두 경우로 나눴는지’, ‘왜 이 값은 포함되고 저 값은 빠지는지’를 설명할 수 있으면 서답형 채점에서 요구하는 풀이 과정에 가까워집니다. 오답은 답만 고치기보다 틀린 줄에 표시하고 그 줄부터 다시 쓰게 하는 것이 도움이 됩니다.
같은 학교 공통수학2 기말고사를 준비할 때는 올해 시험 범위 공지를 먼저 확인하고, 범위가 같다면 원의 접선 공식 세 가지, 일대일대응·역함수 조건, 도형을 옮긴 뒤 식 세우기를 먼저 점검하고, 서답형은 실제 답안 형식으로 끝까지 써 보는 연습을 권합니다.
구암고등학교 2025학년도(2025.12.4 시행) 1학년 공통수학2 2학기 기말고사는 선택형 16문항 66점과 서답형 6문항 34점, 총 22문항 100점으로 구성되었습니다. 단원별 배점은 함수 31점(7문항)이 가장 크고, 원의 방정식 25.4점, 유리함수와 무리함수 22.9점, 도형의 이동 20.7점 순이며 집합과 명제 문항은 없습니다. 난이도는 상 6문항 31.4점, 중 8문항 37.4점, 하 8문항 31.2점으로 고르게 나뉘었고, 선택형은 1~6번 하, 7~12번 중, 13~16번 상으로 번호 순서대로 배점과 난이도가 함께 올라가는 배치입니다.
이 시험을 관통하는 축은 세 가지입니다. 첫째, 원의 방정식 5문항 25.4점이 모두 접선을 포함하고, 서답형 1의 원 위의 점 접선과 12번의 원 밖의 점 접선·넓이가 서답형 6번(7점)에서 이동과 결합됩니다. 둘째, 역함수와 일대일대응이 4번, 14번, 서답형 4·5의 4문항 20.4점에 걸쳐 있고 11번 보기 ㄹ에서도 다시 나옵니다. 셋째, 도형을 옮긴 뒤 그 결과로 새 조건을 만드는 구성이 10번, 13번, 15번과 서답형 3·6에서 반복됩니다. 최고배점인 서답형 6번(7점)은 접선 세 개를 차례로 세워 넓이까지 계산하는 다단계 처리를, 선택형 최고배점 16번(4.8점)은 조건 두 개로 경우를 나눠 순서쌍을 모두 찾는 추론을 요구합니다. 정리하면 이 시험은 조건을 식으로 옮기고 경우를 빠짐없이 나누는 힘에 큰 배점을 둔 구성입니다.
학부모님께서는 이 시험을 기본 문항으로 바닥을 다지고, 조건 해석과 서술로 상위 구간을 가를 수 있는 배점 구조의 시험으로 보시면 됩니다. 하·중 16문항을 모두 맞혀도 68.6점이므로 90점 이상은 상 6문항 31.4점에서 상당 부분을 더 얻어야 도달합니다. 서답형 3~6번은 풀이 과정과 답을 함께 요구하고 부분점수가 있다고 시험지에 명시되어 있어, 경계값을 왜 포함하거나 빼는지, 왜 두 경우로 나누는지를 문장으로 남기는 습관이 중요합니다. 문항 수와 배점은 계산 영역(37.2점)이 가장 크지만, 상 문항의 배점은 모두 추론과 문제해결에 걸려 있다는 점을 함께 봐야 합니다.