선택형 16문항(66점) + 서답형 6문항(34점), 총 22문항 100점. 「도형의 방정식」 33.4 + 13.0점과 「집합과 명제」 28.8 + 24.8점이 거의 반반으로 맞물린 구성이며, 난이도 상 7문항 35.8점이 후반부(12~16번·서답형4·6)에 집중 배치되어 상위권 변별은 뒷부분 5~6문항에서 결정된다.
배점이 3.6점에서 4.8점까지 0.2점 단위로 계단식 상승하는 전형적 내신형 배점표 — 번호 순서가 곧 난이도 순서라는 신호다.
「도형의 방정식」 계열 46.4점(10문항)과 「집합과 명제」 계열 53.6점(12문항)이 팽팽하게 맞선다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
7번(4점)은 두 이차조건의 해집합을 P={2,3}, Q={2,3,4,5}로 구해 다섯 개 보기를 동시에 판정해야 하고, 8번(4.2점)은 P⊂R, Q⊂Rc에서 P∩Q=∅을 끌어내야 한다. 12번(4.4점)은 조건 (나)의 대우 'a∈A이면 a²−6∈A'로 뒤집어야 원소가 닫힌 집합을 셀 수 있고, 서답형4(6점)는 '모두 거짓'을 두 개의 부정 조건으로 분해해야 한다.
13번(4.4점)은 넓이식 (a²+b²)/ab를 세운 뒤 산술·기하 평균으로 최솟값 2를 얻는 역산이고, 15번(4.6점)은 '넓이를 이등분'을 두 변의 비 곱으로 옮겨 a=6을 구한다. 16번(4.8점)은 무게중심·외심 두 조건으로 B, C를 먼저 복원해야 넓이가 나오며, 서답형6(7점)은 접점·수직·교점을 차례로 구해 마지막에 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓴다.
7번(4점)은 보기 5개(ㄱ~ㅁ), 14번(4.6점)은 보기 3개(ㄱ~ㄷ)를 모두 독립적으로 판정해야 한다. 특히 14번 ㄱ은 'A∩B={2,10}이면 k=20'을 묻는데 k=10도 조건을 만족하므로 거짓이고, ㄷ은 n(A∩B)=2인 여섯 개의 k(6·10·12·18·20·24)를 모두 조사해야 합 42가 확인된다.
서답형 6문항 전부에 '부분점수 있음'이 표기되어 있고, 서답형2는 (1) 2점 + (2) 2점으로 소문항이 쪼개져 있다. 서답형3(6점)·4(6점)·5(7점)·6(7점) 총 26점은 "풀이 과정과 답을 쓰시오"로 서술을 명시적으로 요구한다. 서답형5는 '자연수 n에 대하여 n²이 짝수이면 n도 짝수이다'를 증명 없이 써도 된다고 미리 허용해, 채점 포인트가 귀류법의 논리 골격에 있음을 드러낸다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
②·④는 참·거짓을 판별할 수 없어 애초에 명제가 아니다. ①은 명제지만 거짓, ③도 거짓. √16=4는 유리수이므로 ⑤만 참인 명제다. '주관적 표현은 명제가 아니다'를 먼저 걸러야 선택지가 셋으로 줄어든다.
A={1,2,3,6}에서 ②의 {3}∈A는 거짓이다({3}⊂A가 맞다). ⑤ {1,2,3}⊂A만 참. 기호 하나 차이로 정답이 뒤집히므로 원소를 실제로 나열한 뒤 판정해야 한다.
q: x²−7x+6<0의 해는 1<x<6이므로 Q={2,3,4,5}, 따라서 ~q의 진리집합은 {1,6,7,8,9,10}이다. 부등식이 등호를 포함하지 않는다는 점 때문에 경계값 1과 6이 여집합 쪽에 들어간다. 이를 놓치면 ㄴ을 참으로 잘못 판정해 ①·⑤로 흐른다.
두 집합 X−A와 A−X는 서로소이다. 서로소인 두 집합 사이에 포함 관계가 성립하려면 X−A=∅, 즉 X⊂A여야 한다. 이 한 줄을 못 세우면 벤 다이어그램만 그리다 시간을 잃는다. 이후 A={2,3,5,7}의 부분집합 16개에서 B와 서로소인 4개를 빼 12개.
세 점 (−1,2), (3,4), (6,3)의 외심은 (3,−1), 반지름 5이며 p+q=2다. 실제 답안지 필기에는 ③(=3)을 고른 흔적이 있으나 검증 결과 정답은 ②. 두 수직이등분선을 연립하거나 일반형 계수 비교로 풀되, 마지막에 세 점을 모두 대입해 반지름이 같은지 재확인해야 한다.
'a²−6∉A이면 a∉A'의 대우는 'a∈A이면 a²−6∈A'. −3∈A이므로 3∈A가 강제되고, n(A)=3이므로 남은 한 원소 t는 t²−6∈{−3,3,t}를 만족해야 한다. √3, −√3, −2의 3개다. t=±3은 새 원소가 아니므로 세지 않는다.
A∩B={2,10}을 만족하는 30 이하 자연수는 k=10과 k=20 두 개다(30은 3의 배수라 제외). 'k=20이다'라는 단정이 거짓이 되는 이유가 바로 k=10. ㄱ을 참으로 보면 ③·④를 고르게 되고, 정답 ⑤(ㄴ, ㄷ)에서 멀어진다.
(가)가 거짓 ⇒ 모든 실수 x에서 ax²+4x−2≤0 ⇒ a<0이고 D=16+8a≤0 ⇒ a≤−2. 이때 p의 진리집합은 공집합이므로, (나)가 거짓 ⇒ Q⊄P=∅ ⇒ Q≠∅ ⇒ b²−16>0 ⇒ b<−4 또는 b>4. a 범위만 쓰고 끝내면 절반의 부분점수만 받는다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
점과 직선 사이의 거리, n(A∪B) 공식, 원의 표준형 변환, 무게중심·내분점 공식은 계산 1~2단계로 끝난다. 이 구간은 '풀 수 있다'가 아니라 '틀릴 수 없다' 수준까지 올려야 한다. 특히 서답형2는 (1)(2) 각 2점이 독립 채점이므로 거리 3√2와 내분점 (4,1)을 나누어 또렷이 써 둔다.
조건 → 진리집합 → 포함 관계라는 단 하나의 경로로 네 문항을 모두 처리한다. 명제 p→q의 참은 P⊂Q, 충분조건은 화살표의 출발점, 필요조건은 도착점. 조건의 부정은 여집합. 이 대응표를 외운 상태로 7번의 보기 다섯 개를 30초 안에 판정하는 훈련을 반복한다.
10번은 부분집합 16개, 12번은 후보 원소 5개, 14번은 30 이하 자연수 중 여섯 개의 k. 세 문항 모두 '경우를 빠짐없이 나열'이 정답으로 가는 유일한 길이다. 머릿속 암산 대신 표를 그리고 원소를 직접 써 내려가는 습관이 이 13.2점을 지킨다.
서답형5(7점) 귀류법은 '√2가 유리수라 가정 → 서로소인 자연수 m, n으로 √2=n/m → n²=2m² → n이 짝수 → m도 짝수 → 서로소 가정에 모순'의 6단계를 통째로 암송할 수 있어야 한다. 서답형6(7점)은 접선 기울기 1 → Q(0,−2) → R(2,4) → 직선 QR: 3x−y−2=0 → 거리 4√10/5의 다섯 단계를 각각 한 줄씩 남겨 부분점수를 확보한다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 평면좌표·직선 | 점과 직선 사이의 거리 | 3.6 | 하 | ④ | |3·2+4·3+2|/√(3²+4²)=20/5=4 |
| 2 | 집합 | 합집합·교집합 원소 개수 | 3.6 | 하 | ① | n(A∩B)=10+12−21=1 |
| 3 | 명제 | 참인 명제 판별 | 3.6 | 하 | ⑤ | ②④는 명제 아님, ①③은 거짓. √16=4는 유리수 |
| 4 | 원의 방정식 | 일반형 → 표준형, 중심·반지름 | 3.8 | 하 | ① | (x−5)²+(y+3)²=9 → a+b+r=5−3+3=5 |
| 5 | 평면좌표·직선 | 삼각형의 무게중심 | 3.8 | 하 | ② | (4+a)/3=2 → a=2, (8+b)/3=3 → b=1, a+b=3 |
| 6 | 집합 | 원소·부분집합 기호 | 3.8 | 하 | ⑤ | A={1,2,3,6}. {3}은 원소가 아닌 부분집합 |
| 7 | 명제 | 진리집합·역·한정 명제 <보기> | 4.0 | 중 | ② | P={2,3}, Q={2,3,4,5}. ~Q={1,6,7,8,9,10}이라 ㄴ 거짓. ㄱㄷㄹ 참 |
| 8 | 명제 | 진리집합 포함 관계·필요충분조건 | 4.2 | 중 | ④ | P⊂R, Q⊂Rc ⇒ P∩Q=∅. ④의 Qc⊂R는 항상 성립하지 않음 |
| 9 | 집합 | 원소 개수 활용(동아리 설문) | 4.2 | 중 | ① | n(P)+n(H)=56=50+양쪽 ⇒ 합 6. 24−a=26−b, a+b=6 ⇒ a=2 |
| 10 | 집합 | 조건을 만족하는 부분집합 개수 | 4.2 | 중 | ③ | (X−A)⊂(A−X) ⇒ X⊂A={2,3,5,7}. 16−4=12 |
| 11 | 원의 방정식 | 세 점을 지나는 원의 중심 | 4.4 | 중 | ② | 중심 (3,−1), r=5 ⇒ p+q=2 (프로그램 교차검증 완료) |
| 12 | 집합 | 대우를 이용한 닫힌 집합 개수 | 4.4 | 상 | ③ | 대우 a∈A ⇒ a²−6∈A. A={−3,3,t}, t=√3, −√3, −2의 3개 |
| 13 | 평면좌표·직선 | 수직 조건 + 삼각형 넓이 최솟값 | 4.4 | 상 | ④ | Q((a²+b²)/a,0), 넓이=(a²+b²)/ab=a/b+b/a ≥ 2 |
| 14 | 집합 | 약수 집합 <보기> 전수 조사 | 4.6 | 상 | ⑤ | ㄱ은 k=10 반례로 거짓. ㄷ은 k=6,12,24 합 42로 참 (전수 검증) |
| 15 | 평면좌표·직선 | 내분점 + 넓이 이등분 역산 | 4.6 | 상 | ③ | P(−3,(2a+3)/5). (3/5)·(AM/AO)=1/2 ⇒ a=6 |
| 16 | 원의 방정식 | 무게중심 + 외심으로 넓이 역산 | 4.8 | 상 | ③ | r²=17로 B, C 복원 ⇒ 넓이 (6/5)√15, p=5·q=6 ⇒ p+q=11 |
| 서답형1 | 집합 | 교집합·여집합 구하기 | 4 | 하 | {3,9} / {1,4,6,8} | B={1,3,9}. A∩B={3,9}, Ac=U−A={1,4,6,8} |
| 서답형2 | 평면좌표·직선 | 두 점 사이 거리(2점) + 내분점(2점) | 4 | 하 | 3√2 / (4,1) | √(3²+3²)=3√2. 2:1 내분 ⇒ ((10+2)/3,(0+3)/3)=(4,1) |
| 서답형3 | 평면좌표·직선 | 선분 길이 상등 + 평행 조건 | 6 | 중 | 17 | (q−p)²=9, 기울기>0 ⇒ q−p=3. AD∥BC ⇒ 7p+2q=69 ⇒ p=7, q=10 |
| 서답형4 | 명제 | 두 명제가 모두 거짓이 되는 범위 | 6 | 상 | a≤−2, b<−4 또는 b>4 | (가) 거짓 ⇒ a<0, D=16+8a≤0. P=∅이므로 (나) 거짓 ⇒ Q≠∅ ⇒ b²>16 |
| 서답형5 | 명제 | 귀류법 증명 (√2의 무리수성) | 7 | 중 | 증명 서술 | 서로소 m,n으로 √2=n/m 가정 ⇒ n²=2m² ⇒ n 짝수 ⇒ m 짝수 ⇒ 서로소에 모순 |
| 서답형6 | 평면좌표·직선 | 접선·수직 직선·점과 직선 사이의 거리 | 7 | 상 | 4√10/5 | l₁: y=x−2 ⇒ Q(0,−2). l₂: y=−x+6 ⇒ R(2,4). QR: 3x−y−2=0 ⇒ |12−2−2|/√10 |
구암고 1학년 공통수학2 2025학년도 2학기 중간고사는 선택형 16문항 66점 + 서답형 6문항 34점, 총 22문항 100점으로 구성되었다. 단원 배점은 평면좌표와 직선의 방정식 33.4점(7문항), 집합 28.8점(7문항), 명제 24.8점(5문항), 원의 방정식 13.0점(3문항) 순이며, 「도형의 방정식」 계열 46.4점과 「집합과 명제」 계열 53.6점이 사실상 반반을 이룬다. 난이도는 상 7문항 35.8점, 중 7문항 34.0점, 하 8문항 30.2점으로 삼등분에 가깝다. 주목할 점은 배점이 3.6점에서 4.8점까지 0.2점 단위로 계단식 상승한다는 것이며, 난이도 상 7문항 중 5문항이 12번(4.4점) 이후에 몰려 있어 번호 순서가 곧 난이도 순서라는 설계 의도가 명확하다.
이 시험을 관통하는 축은 둘이다. 첫째는 조건을 진리집합으로 번역해 포함 관계로 환원하는 계열로, 7번(4점)·8번(4.2점)·12번(4.4점)·서답형4(6점) 합 18.6점이 여기 속한다. 12번은 조건을 대우로 뒤집어야 원소가 닫힌 집합을 셀 수 있고, 서답형4는 '두 명제가 모두 거짓'을 두 겹의 부정으로 분해해야 a≤−2와 b²>16이 나온다. 둘째는 좌표평면의 넓이·거리를 조건으로 주고 미지수를 거꾸로 찾는 역산 계열로, 13번(4.4점)·15번(4.6점)·16번(4.8점, 선택형 최고배점)·서답형6(7점) 합 20.8점이다. 16번은 무게중심과 외심으로 두 꼭짓점을 복원해야 넓이 (6/5)√15에 이르고, 서답형6(7점, 서답형 최고배점)은 접선·수직·교점·거리 네 단계를 순차로 통과해야 한다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식 암기가 아니라 주어진 결과에서 조건을 거슬러 올라가 미지의 대상을 복원하는 힘이다.
학부모 관점에서 이 시험은 '계산이 빠른 아이'보다 '조건을 정확히 읽는 아이'에게 유리한 시험이다. 앞쪽 8문항 30.2점은 공식 한 번만 대입하면 끝나므로, 여기서 실점했다면 원인은 실력이 아니라 부주의다. 반대로 14번(4.6점)처럼 k=10이라는 반례 하나를 못 찾아 틀리는 것은 '경우를 끝까지 세는 습관'의 문제이지 개념 부족이 아니다. 시험지에는 서답형 6문항 전부에 '부분점수 있음'이 명시되어 있고 서답형2는 아예 2점+2점으로 소문항이 나뉘어 있다. 답을 끝까지 못 냈더라도 중간 과정을 남기면 점수가 살아난다는 뜻이므로, 빈칸 제출이 가장 큰 손해다. 실점 진단은 계산력·독해력·서술력 세 축으로 나누되, 서답형 34점 중 26점이 서술형인 만큼 손으로 쓰는 논증 훈련에 가장 큰 비중을 두어야 한다.