3번(Y=aX+b의 평균·표준편차), 4번(이항분포 V(X)=npq), 8번(P(X=x)=kx²의 확률 총합=1), 9번(구슬 뽑기 기댓값), 13번(동전 3번 규칙 점수의 표준편차), 서답형1(분산 계산)까지 확률분포표를 세우고 Σxp, Σx²p를 계산하는 작업이 반복된다. 특히 13번과 서답형1은 표를 스스로 만들어야 시작이 가능하다.
5번·14번·20번은 z를 구해 표에서 확률을 찾는 정방향이지만, 15번(상위 359/10000의 커트라인)과 19번(1272일 이상 → 확률 0.0359 → 기댓값 359개)은 확률을 먼저 정하고 표에서 z를 거꾸로 읽는 역방향이다. 14번은 B(150, 0.6)을 N(90, 6²)으로 근사하는 이항분포의 정규근사, 20번은 양초 4개 무게의 합이 N(100, 6²)을 따름을 알아야 한다.
6번은 b-a=2×1.96×3/√196=0.84를 직접 대입하는 기본형, 17번은 신뢰구간 100.4≤m≤139.6이 거꾸로 주어져 길이 39.2에서 σ=160을, 중점에서 x̄=120을 역산해야 한다. 11번은 표본평균의 E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n을, 16번은 확률분포표의 미지수 a를 E(X)=9/4 조건으로 먼저 확정한 뒤 크기 2 복원추출의 X̄=2 경우를 세는 2단 구조다.
1번(B에만 비가 올 확률=P(Aᶜ)P(B)=1/6), 2번(독립시행 ₃C₂(1/2)³=3/8)은 기본형이지만, 7번은 A, B가 독립이면 P(B|Aᶜ)=P(B)=1/3이라는 사실을 알아야 P(A∪B)=3/5에서 P(A)=2/5를 얻을 수 있다. 10번은 “예선 2개 이상 통과”와 “2개 미만이면서 재도전 성공” 두 배타적 경우를 더해 72/81+1/81=73/81을 구하는 구조다.
시험지에 “[서답형 1~2] 문제는 단답형 문제이므로 풀이 과정은 서술하지 않습니다”가 명시되어 있다. 즉 접근이 옳아도 최종 자연수 값이 틀리면 0점이다. 서답형1의 V(X)=7284는 109²=11881, 309²=95481을 직접 곱하면 자릿수 실수가 나기 쉽고, 서답형2의 n=5040은 마지막 정수 조건 판별에서 한 단계만 어긋나도 답이 완전히 달라진다.
합 S의 분포는 N(100, 6²)이다. 표준편차를 3으로 두면 z=(115-100)/3=5가 되어 표에 없는 값이 나오는데, 이때 “표에 없으니 2.5겠지”라고 짐작하면 오히려 정답과 같아 보이는 함정에 빠진다. 또 “115g 이상 이거나 85g 이하”는 양쪽 꼬리를 모두 더해야 하므로 0.0062가 아니라 2×0.0062=0.0124가 답이다. 한쪽만 계산하면 정확히 절반값 오답 선지(①0.0038·②0.0052 인근)로 유도된다.
z=(1272-1200)/40=1.8, P=0.5-0.4641=0.0359까지는 대다수가 도달한다. 그러나 묻는 것은 10000개 중 조건을 만족하는 “부품 수의 기댓값”이므로 10000×0.0359=359를 곱해야 한다. 선지에 179(절반)·668·1151 등 z를 1.5나 1.2로 잘못 읽었을 때 나오는 값이 촘촘히 배치돼 있어 표를 한 줄만 어긋나게 읽어도 바로 오답이다.
재도전 문제는 예선 문제를 2개 이상 맞히지 못했을 때만 제시된다. 이 조건을 놓치고 P(2개 이상)+P(재도전 성공)=72/81+1/9로 계산하면 81/81=1이 되는 이상한 값이 나온다. 올바른 계산은 72/81 + (9/81)×(1/9) = 73/81이며, 선지 ①71/81·②8/9·④74/81이 모두 “한 칸 차이” 오답으로 배치돼 있다.
f(x)=x/(20a)+1/(2a+1)에서 미지수 a는 0부터 4까지의 넓이가 1이라는 조건으로만 결정된다. 이 식을 정리하면 10a²-19a-2=0 → a=2가 되는데, 이차방정식의 두 근 중 a>0 조건을 확인하지 않으면 음수 근(-1/10)을 택해 전혀 다른 값이 나온다. a=2를 구한 뒤 P(0≤X≤1)=1/80+1/5=17/80까지 가야 완결된다.
모든 문제를 “표 그리기 → 확률 합=1 검산 → E(X), E(X²) 계산” 3단계로 통일한다. 13번처럼 시행 결과를 직접 나열해야 하는 유형은 8가지 경우(HHH~TTT)를 빠짐없이 적는 연습을, 서답형1처럼 값이 큰 경우는 선형변환 치환(Y=(X-9)/100)을 반드시 익혀 계산량을 1/10로 줄인다.
“z→확률”과 “확률→z” 두 방향을 번갈아 묻는 문제 세트로 훈련한다. 특히 15·19번처럼 0.5-P(0≤Z≤z) 형태로 꼬리확률을 만든 뒤 표를 역으로 찾는 절차를 표준화하고, 이항분포가 나오면 m=np, σ=√(npq)를 반사적으로 계산하는 습관을 만든다.
“중점=x̄”, “길이=2×1.96×σ/√n” 단 두 식만 세우면 6·17번이 모두 해결된다. 17번 같은 역산형(구간이 주어지고 σ·x̄를 구함)을 별도 세트로 10문항 이상 반복하고, 표본평균의 E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n을 11번처럼 즉시 대입하는 감각을 기른다.
10번처럼 조건이 얽힌 문제는 트리 다이어그램으로 배타적 경우를 분리한 뒤 더한다. 18번·서답형2 같은 최상위 문항은 “경우의 수를 세는 부분”과 “이항분포를 쓰는 부분”을 완전히 분리해 전반부에서 확률 t(=1/2) 또는 p(=5/12)를 정확히 확정한 뒤 후반부 공식을 적용하는 2단 전략으로 접근한다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 확률 | 독립사건 — 두 도시 중 B에만 비가 올 확률 | 4.3 | 하 | “B에만”을 Aᶜ∩B로 번역해 P(Aᶜ)P(B)=(2/3)(1/4)=1/6로 곱셈정리 적용 |
| 2 | 확률 | 독립시행 — 동전 3번 중 앞면 2번 | 4.3 | 하 | 독립시행의 확률 ₃C₂(1/2)²(1/2)¹=3/8에 그대로 대입 |
| 3 | 확률분포 | Y=aX+b의 기댓값과 표준편차의 합 | 4.3 | 하 | E(Y)=aE(X)+b=-4, σ(Y)=|a|σ(X)=6 — 표준편차는 절댓값임에 주의해 합 2 |
| 4 | 확률분포 | 이항분포 B(99, 2/3)의 분산 | 4.3 | 하 | V(X)=npq=99×(2/3)×(1/3)=22 공식 직접 대입 |
| 5 | 정규분포 | N(70, 5²)의 표준화, a의 값 | 4.3 | 하 | Z=(X-70)/5로 치환하면 X=75 ↔ Z=1이므로 a=1 |
| 6 | 통계추정 | 신뢰도 95% 신뢰구간의 길이 b-a (n=196) | 4.4 | 하 | b-a=2×1.96×σ/√n=2×1.96×3/14=0.84 — 길이 공식 1회 대입 |
| 7 | 확률 | 독립사건, P(B|Aᶜ)와 P(A∪B)로부터 P(A) | 4.4 | 중 | 독립이므로 P(B|Aᶜ)=P(B)=1/3. P(A)+1/3-P(A)/3=3/5를 풀어 P(A)=2/5 |
| 8 | 확률분포 | 확률질량함수 P(X=x)=kx²의 상수 k | 4.4 | 하 | 확률의 총합=1 조건으로 k(1+4+9)=14k=1 → k=1/14 |
| 9 | 확률분포 | 구슬 3개 중 노란 구슬 개수 X의 기댓값 | 4.4 | 중 | X=1,2,3의 확률을 ₃Cₖ₂C₃₋ₖ/₅C₃로 각각 구해 표를 만든 뒤 Σxp=9/5 |
| 10 | 확률 | 예선 통과 확률 — 조건부 재도전이 있는 다단계 시행 | 4.5 | 중 | “2개 이상”(72/81)과 “2개 미만이고 재도전 성공”(9/81×1/9)을 배타적으로 더해 73/81 |
| 11 | 통계추정 | 표본평균의 평균 a와 표준편차 b, a/b의 값 | 4.5 | 중 | E(X̄)=50, σ(X̄)=4/√36=2/3 → a/b=50÷(2/3)=75 |
| 12 | 확률분포 | 연속확률변수의 확률밀도함수, P(0≤X≤1) | 4.5 | 중 | 전체 넓이=1에서 10a²-19a-2=0 → a=2(a>0), 이후 사다리꼴 넓이로 17/80 |
| 13 | 확률분포 | 동전 3번 결과에 규칙으로 부여한 점수 X의 표준편차 | 4.6 | 중 | HHH~TTT 8가지를 나열해 X=1,2,3의 확률(1/4,1/2,1/4)을 얻고 V=4.5-4=1/2 → √2/2 |
| 14 | 정규분포 | 이항분포의 정규근사 — 서브 150번 중 102번 이상 | 4.6 | 중 | B(150,0.6)→N(90,6²)으로 근사, z=2에서 0.5-0.4772=0.0228 |
| 15 | 정규분포 | 상위 359/10000의 합격 최소 점수(역방향) | 4.6 | 중 | 0.5-0.0359=0.4641에서 표를 거꾸로 읽어 z=1.8 → 83+1.8×4=90.2 |
| 16 | 통계추정 | 확률분포표의 미지수 결정 후 P(X̄=2) (크기 2 복원추출) | 4.6 | 중 | E(X)=10/4-a=9/4로 a=1/4 확정 → 합이 4인 (1,3),(3,1),(2,2)를 세어 5/16 |
| 17 | 통계추정 | 신뢰구간이 주어졌을 때 x̄+σ의 값(역산) | 4.6 | 중 | 길이 39.2=2×1.96×σ/16에서 σ=160, 중점에서 x̄=120 → 합 280 |
| 18 | 확률분포·경우의수 | a≤b<c≤d 순서쌍에서 구한 확률 t로 이항분포 분산 계산 | 4.8 | 상 | 조건 순서쌍 70개 중 a=b인 35개 → t=1/2, p=1/4. V((X+5)/12)=675/144=75/16 → m+n=91 |
| 19 | 정규분포 | 수명 1272일 이상인 부품 “개수의 기댓값” | 4.8 | 중 | z=1.8로 확률 0.0359를 구한 뒤 10000을 곱해 기댓값 359까지 반드시 진행 |
| 20 | 정규분포 | 양초 4개 무게의 합이 115g 이상이거나 85g 이하일 확률 | 4.8 | 상 | 합 S~N(100, 6²)로 변환(V=4×9=36), 양쪽 꼬리를 모두 더해 2×0.0062=0.0124 |
| 서답형1 | 확률분포 | 값이 9·109·309인 확률변수의 분산 (단답형) | 5 | 중 | Y=(X-9)/100으로 치환해 V(Y)=0.7284를 구한 뒤 V(X)=100²V(Y)=7284 |
| 서답형2 | 확률분포 | 노란 공이 이웃하지 않는 시행 횟수 X의 σ(X)가 정수인 최소 n (단답형) | 5 | 상 | 한 시행의 확률 p=₇C₃/₉C₃=5/12 → σ=√(35n)/12가 정수이려면 35n=144k², 최소 n=5040 |
이번 구암고등학교 2학년 확률과 통계 2026학년도 1학기 기말고사는 총 22문항 100점(선택형 20문항 90점, 서답형 단답형 2문항 10점)으로 구성되었다. 선택형 배점은 4.3점에서 4.8점까지 5단계로 촘촘하게 차등되어 있어, 앞 번호에서 한 문항만 놓쳐도 뒤 번호 한 문항과 거의 같은 손실이 발생하는 구조다. 단원별로는 확률분포(이산·연속확률변수와 이항분포)가 9문항 41.3점으로 압도적 1위이며, 정규분포 5문항 23.1점, 통계적 추정 4문항 18.1점, 확률(독립·조건부확률) 4문항 17.5점이 뒤를 잇는다. 확률 단원이 17.5점에 그치고 통계 영역이 전체의 82.5%를 차지한다는 점이 이번 시험 구성의 가장 큰 특징이다. 난이도는 하 7문항 30.3점, 중 12문항 55.1점, 상 3문항 14.6점으로, 중난도가 시험의 절반 이상을 지탱하는 완만한 분포를 보인다.
출제 특징은 “극단적 고난도로 변별하지 않고, 중난도 문항의 밀도와 계산 정확도로 변별한다”는 점이다. 1~6번, 8번은 공식 1회 대입으로 끝나는 기본형이지만, 7번부터는 독립의 정의를 조건부확률 기호 속에서 읽어내야 하고(P(B|Aᶜ)=P(B)), 12번은 밀도함수의 넓이=1 조건에서 이차방정식 10a²-19a-2=0을 풀어야 하며, 16·17번은 신뢰구간과 확률분포표를 역방향으로 되짚는 2단 구조다. 실질적 변별은 세 문항에서 발생한다. 18번은 a≤b<c≤d를 만족하는 순서쌍 70개와 a=b인 35개를 직접 세어 t=1/2, p=1/4를 확정한 뒤 이항분포 B(3600, 1/4)의 분산으로 넘어가는 경우의 수+확률분포 융합형이고, 20번은 양초 4개 “합”의 분포가 N(100, 6²)임을 인지하고 양쪽 꼬리를 모두 더해야(2×0.0062=0.0124) 하는 이중 함정이다. 서답형2는 이웃하지 않게 나열할 확률 5/12를 구한 뒤 σ(X)=√(35n)/12가 정수가 되는 최소 n=5040을 찾는 확률+정수 조건 융합 문항으로, 이번 시험 최고 난도다. 반면 19번은 z=1.8에서 확률 0.0359까지 간 뒤 10000을 곱하는 마지막 한 걸음을 빠뜨려 틀리는 전형적인 “아까운 실점” 문항이었다.
학부모님께는 이번 시험이 어려운 몇 문제로 등급이 갈린 시험이 아니라, 중난도 12문항(55.1점)에서의 계산 실수 개수가 곧 등급이 된 시험이었다는 점을 안내드린다. 특히 서답형 2문항은 풀이 과정을 쓰지 않는 단답형이라 부분점수가 전혀 없어, 접근이 옳았어도 마지막 숫자 하나가 틀리면 5점이 그대로 사라진다. 학생들에게는 확률분포표를 직접 그리는 습관, 표준정규분포표를 정방향·역방향 모두 읽는 훈련, 그리고 “합/평균”의 분산 차이를 구분하는 감각이 다음 시험 고득점의 핵심임을 강조한다. 다음 학습 사이클은 4주 커리큘럼으로 편성할 것을 권장한다. 1주차 — 확률분포표 작성과 E(X)·V(X) 계산 30문항, 선형변환 V(aX+b)=a²V(X)와 치환 기법 집중. 2주차 — 정규분포 표준화와 표준정규분포표 양방향 읽기, 이항분포의 정규근사 및 “합의 분포” 유형 20문항. 3주차 — 신뢰구간 정방향·역산형 세트와 표본평균의 분포, 16번 유형(표본평균의 확률 직접 세기) 반복. 4주차 — 18번·서답형2 같은 경우의 수와 확률분포가 결합된 융합 고난도 10문항 정밀 훈련과 전 범위 실전 모의 2회. 무엇보다 단답형 대비를 위해 “검산 루틴”(확률 합=1 확인, 단위 재확인, 최종값 대입 검증)을 별도 훈련 항목으로 고정할 필요가 있다.