이차함수 41점 · 삼각비 59점으로 삼각비 쪽이 더 무거운 구성. 선택형 15문항 60점 + 서답형 5문항 40점이며, 서답형 1번과 5번(각 10점)만으로 20점이 걸려 있다. 그래프에서 식을 거꾸로 읽는 역추적형 4문항 25점과 직각삼각형 분할 삼각비 연쇄 4문항 17점이 변별의 두 축이다.
4쪽 20문항 100점, 2022년 9월 29일 2교시 시행. 서답형은 풀이 과정 서술 필수.
삼각비 두 단원이 59점(12문항), 이차함수 두 단원이 41점(8문항). 문항 수는 삼각비가 많고, 한 문항당 배점은 이차함수 쪽이 크다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(4점)·5번(4점)·서답형1(10점)·서답형2(7점)이 모두 "주어진 조건이나 그림에서 계수를 거꾸로 확정"하는 동일 구조다. 5번은 꼭짓점 (−2, 0)과 y절편 2에서 a=½, p=−2를, 서답형2는 x절편 −1·5와 최댓값 9에서 a=−1을 끌어낸다. 배점 합계가 총점의 4분의 1이라 이 계열 하나만 무너져도 등급이 바뀐다.
8번(4점)은 ∠B=∠C=90°인 두 삼각형을 CD→BC→AC 순으로 이어 붙이고, 9번(4점)·14번(5점)은 빗변에 내린 수선이 만드는 세 닮은 직각삼각형에서 ∠BAD=∠C, ∠CAD=∠B의 각 대응을 요구한다. 12번(4점)은 각의 이등분선으로 30°를 만들어 tan30°로 넘어간다.
BC가 지름이므로 ∠BAC=90°, 여기서 ∠ACB=30°를 얻고 중심각 ∠AOB=60°를 만든다. 이어 ∠BCD=15°에서 호 BD의 중심각 30°, 따라서 ∠COD=150°를 확보한다. 색칠한 두 부분은 모두 활꼴이므로 부채꼴 − 삼각형으로 각각 계산해 더해야 한다.
반지름 1인 사분원에서 DA=0.36 → OD=cos x=0.64 → 삼각비 표에서 x=50°를 역으로 찾아내고, EA=tan50°=1.19, CD=sin50°=0.77을 골라 차를 구한다. 계산량은 적지만 표를 어느 열에서 읽어야 하는지를 판단하는 단계가 세 번 반복된다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
평행이동으로 완전히 겹치려면 x²의 계수가 완전히 같아야 한다. 절댓값만 같은 −3/2, 2 등을 고르면 오답. −2/3 계수를 가진 ⑤만 정답이다.
y=−½(x+2)²−1은 꼭짓점 (−2, −1), 위로 볼록, 최댓값 −1이므로 그래프 전체가 x축 아래에 있다. 제2사분면을 지난다고 판단하면 ②를 고르게 된다. 정답은 폭(|a|=½)이 같다는 ⑤.
기울기 = 2(a+2)²−2a² ÷ 2 = 4a+4 = 2에서 a=−½. 좌표를 세우지 않고 밑변·높이를 눈대중으로 잡으면 넓이가 어긋난다. 넓이는 ½|xAyB−xByA| = 3/2.
∠B=90°이므로 빗변은 CA=3. sinA=BC/CA=√5/3, cosC=BC/CA=√5/3이다. sinA와 sinC를 맞바꿔 ①·②를 고르는 실수가 가장 많다. 정답 ④.
모선과 밑면이 이루는 각이 60°이므로 반지름 r=12cos60°=6, 높이 h=12sin60°=6√3이다. sin과 cos을 바꿔 쓰면 216π 계열 오답으로 직행한다. 정답 72√3π cm³.
3sin60°÷tan30°−tan45°×cos0°+sin30°에서 나눗셈·곱셈이 뺄셈보다 먼저다. 3·(√3/2)÷(√3/3)=9/2를 먼저 처리해야 하며, 앞에서부터 순서대로 계산하면 값이 달라진다. 정답 4.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형1(10점)·서답형5(10점) 두 문항이 전체의 20%다. 서답형1은 "y절편 → c 확정, 축 → b=−2a, 나머지 한 점 → a 확정"의 3단 순서를, 서답형5는 "지름에 대한 원주각 90° → 원주각·중심각 2배 → 활꼴=부채꼴−삼각형"의 3단 순서를 문장으로 외워 쓰는 연습을 한다. 안내문에 풀이 과정 작성이 명시돼 있으므로 결과만 적는 답안은 배점을 통째로 잃는다.
19점 구간이 모두 하·중난도다. 표준형 변환(3번), 평행이동 대입(4번), 그래프에서 a·p 읽기(5번)를 각 2분 안에 처리해 6번과 서답형에 시간을 넘겨야 한다. 이 구간에서 한 문항이라도 막히면 뒤쪽 상 문항 24점을 손도 못 대고 끝난다.
7·9·12·14번과 서답형3은 모두 같은 절차를 쓴다. 도형에 직각 표시와 같은 각 표시를 먼저 하고, 필요한 변을 피타고라스로 채운 뒤 마지막에 비를 계산한다. 14번처럼 AB=BD=DC 같은 등식이 주어지면 미지수 하나로 모든 변을 표현하는 습관이 결정적이다.
두 직각삼각형 연결(8번), 두 변과 끼인각 넓이 ½ab sinC(10번), 각의 이등분선(12번), 원뿔 부피(13번), 사인법칙형 실생활(15번), 활꼴 넓이(서답형5) — 여섯 유형이 모두 다르다. 유형별로 "그림에 무엇을 먼저 적는가"를 한 줄로 정리한 카드를 만들어 시험 직전 5분에 훑는다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차함수 그래프 | 평행이동으로 포개지는 이차함수 찾기 | 3 | 하 | ⑤ | x²의 계수가 −2/3으로 완전히 같은 식만 겹친다 |
| 2 | 이차함수 그래프 | y=a(x−p)²+q 그래프 성질 참·거짓 | 4 | 중 | ⑤ | 꼭짓점 (−2,−1)·위로 볼록·최댓값 −1 확인 후 폭은 |a|로 비교 |
| 3 | 이차함수 그래프 | 일반형 → 표준형 변형, 꼭짓점 좌표 | 4 | 하 | ③ | 3x²−6x+1=3(x−1)²−2 → 꼭짓점 (1, −2) |
| 4 | 이차함수 그래프 | y=ax² 평행이동 후 지나는 점으로 k 구하기 | 4 | 중 | ③ | x축 −3·y축 +1 이동 → y=a(x+3)²+1에 (−1, k) 대입, k=4a+1 |
| 5 | 이차함수 그래프 | 그래프에서 a, p 역추적 (a+p 값) | 4 | 중 | ② | 꼭짓점 (−2,0)에서 p=−2, (0,2) 대입해 4a=2 → a=½, a+p=−3/2 |
| 6 | 이차함수 활용 | 포물선 위 두 점과 직선 기울기, △AOB 넓이 | 5 | 상 | ④ | 기울기 4a+4=2 → a=−½ → A(−½,½), B(3/2,9/2), 넓이 3/2 |
| 7 | 삼각비 뜻·값 | 직각삼각형에서 삼각비 값 참·거짓 | 3 | 하 | ④ | 빗변은 CA=3. cosC=BC/CA=√5/3만 성립 |
| 8 | 삼각비 활용 | 두 직각삼각형을 잇는 변의 길이 | 4 | 중 | ③ | BC=9tan45°=9 → AC=BC/sin60°=6√3 |
| 9 | 삼각비 뜻·값 | 수선으로 분할된 직각삼각형, tanx×siny | 4 | 중 | ① | AC=2√5. ∠BAD=∠C, ∠CAD=∠B → (2/√5)×(√5/3)=2/3 |
| 10 | 삼각비 활용 | 두 변과 끼인각 45°로 삼각형 넓이 | 4 | 하 | ① | ½×4×6×sin45°=6√2 cm² |
| 11 | 삼각비 뜻·값 | 반지름 1 사분원 + 삼각비 표, EA−CD | 4 | 상 | ① | cos x=1−0.36=0.64 → x=50°, tan50°−sin50°=1.19−0.77=0.42 |
| 12 | 삼각비 활용 | 각의 이등분선이 나눈 변의 길이 | 4 | 중 | ② | AC=3, BC=3√3, DC=3tan30°=√3 → BD=3√3−√3=2√3 |
| 13 | 삼각비 활용 | 모선과 밑면이 60°인 원뿔의 부피 | 4 | 중 | ③ | r=12cos60°=6, h=12sin60°=6√3 → ⅓π·36·6√3=72√3π |
| 14 | 삼각비 뜻·값 | AB=BD=DC 조건, sinx×cosx | 5 | 상 | ① | AB=BD=DC=2√2 → AC=2√10, cosx=3/√10, sinx=1/√10 → 3/10 |
| 15 | 삼각비 활용 | 강폭 측정 실생활 (45°, 105°) | 4 | 중 | ⑤ | ∠B=30°. AB=40·sin105°/sin30°=20(√2+√6) m |
| 서답형 1 | 이차함수 활용 | 두 점과 축의 방정식으로 a, b, c 결정 | 10 | 중 | a=1, b=−2, c=−2 | (0,−2)→c=−2, 축 x=1→b=−2a, 나머지 점 대입해 a 확정 |
| 서답형 2 | 이차함수 활용 | x절편 −1, 5과 최댓값 9에서 a+b+c | 7 | 중 | 8 | y=a(x+1)(x−5), 꼭짓점 x=2에서 −9a=9 → a=−1. a+b+c=f(1)=8 |
| 서답형 3 | 삼각비 뜻·값 | AB=6, sinC=3/4에서 sinA, tanC | 7 | 중 | sinA=√7/4, tanC=3√7/7 |
sinC=AB/AC → AC=8, BC=√(64−36)=2√7 후 각 비 계산 |
| 서답형 4 | 삼각비 뜻·값 | 특수각 삼각비 혼합 사칙연산 | 6 | 하 | 4 | 3·(√3/2)÷(√3/3)=9/2 먼저, 9/2−1+½=4 |
| 서답형 5 | 삼각비 활용 | 지름·원주각을 이용한 활꼴 두 개의 넓이 | 10 | 상 | 84π−36√3−36 (cm²) |
∠AOB=60°, ∠COD=150° 확보 후 각각 부채꼴−삼각형으로 계산 |
구암중학교 3학년 2022학년도 2학기 1차지필(중간)고사 수학은 선택형 15문항 60점 + 서답형 5문항 40점, 총 20문항 100점 구성이다. 서답형이 배점의 40%를 가져가고 그중 서답형1(10점)과 서답형5(10점) 두 문항만으로 20점이 걸려 있다. 단원별 배점은 삼각비의 활용 30점(6문항), 삼각비의 뜻과 값 29점(6문항), 이차함수의 활용 22점(3문항), 이차함수의 그래프 19점(5문항) 순으로 삼각비 영역 59점이 이차함수 41점을 앞선다. 난이도는 하 5문항 20점, 중 11문항 56점, 상 4문항 24점이며, 상 문항이 6번·11번·14번·서답형5로 시험 전 구간에 흩어져 배치돼 앞부분을 빨리 끊어내지 못하면 뒤쪽 24점을 손대지 못한 채 끝난다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 그래프에서 식을 거꾸로 읽어내는 역추적형이다. 4번(4점)·5번(4점)·서답형1(10점)·서답형2(7점) 네 문항 25점이 "조건 또는 그림 → 계수 확정"이라는 동일 구조를 공유한다. 두 번째 축은 직각삼각형을 분할해 삼각비를 옮겨 붙이는 계열로 8번(4점)·9번(4점)·12번(4점)·14번(5점) 17점이 묶인다. 최고배점 두 문항의 성격은 정반대다. 서답형1(10점)은 세 조건을 순서대로 연립하는 대수적 처리를 요구하고, 서답형5(10점)는 지름에 대한 원주각 90°와 원주각·중심각 2배 관계를 각각 한 번씩 적용해 중심각 60°와 150°를 확보한 뒤 활꼴을 부채꼴에서 삼각형을 빼는 방식으로 두 번 계산해야 한다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식 암기량이 아니라 주어진 조건을 각으로, 각을 길이와 넓이로 바꿔 옮기는 변환력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 문제를 많이 푼 학생보다 그림과 문장을 정확히 읽는 학생에게 유리하다. 서답형 안내에 "풀이 과정을 반드시 쓸 것"이 명시돼 있어 답만 맞혀서는 40점 구간에서 점수를 지킬 수 없고, 어떤 정리를 왜 썼는지가 답안에 남아야 한다. 11번(4점)은 삼각비 표에서 cos 열로 각을 찾고 같은 행의 tan·sin을 다시 읽는 세 단계를 요구해 계산 실수보다 표를 읽는 순서에서 실점이 나며, 6번(5점)과 14번(5점)은 좌표나 변의 길이를 학생이 스스로 설정해야 해 독해에서 갈린다. 따라서 실점 원인은 계산력보다 독해력과 서술력에서 먼저 찾아야 하고, 오답 정리도 "어디서 틀렸나"가 아니라 "어느 조건을 문장에서 놓쳤나"로 남기는 편이 다음 시험에 그대로 쓰인다.