선택형 15문항 60점 + 서답형 5문항 40점, 총 20문항 100점. 삼각형의 외심·내심(26점)과 평행사변형의 성질(22점)이 절반 가까이를 차지하고, 서답형 40점 전부가 풀이 과정 서술 필수 문항이라 답만 맞히는 학습으로는 방어되지 않는 구조다.
전 20문항을 직접 풀어 정답을 확정하고, 수치·각도·넓이 문항은 Python(SymPy·NumPy) 좌표 재현으로 교차검증했다.
5개 대단원. 삼각형 관련 3개 단원이 61점으로 전체의 6할을 차지하고, 1학기 이월 범위인 일차함수·일차방정식이 17점으로 도입부를 맡는다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
번호는 흩어져 있지만 발상은 하나다. 5번은 ∠A의 이등분선이 △ABD·△ADC를 각각 이등변으로 만들어 AB=AD=DC=6을 잇고, 13·14번은 평행선의 엇각과 결합해 ∠AFB=∠FBC, CE=CD를 만든다. 9·10번은 내심이 곧 세 내각 이등분선의 교점이라는 정의를 직접 쓴다.
8번의 ㄱ(OE=OF)과 ㅁ(△OCE≡△OCF)은 외심이 세 꼭짓점에서 등거리일 뿐 세 변에서 등거리가 아니라는 점을 건드린 오답지다. 10번은 ∠OAB=90°−∠C와 ∠IAB=∠A/2를 각각 유도해 12°를 만들고, 서답형5는 외접원 반지름=빗변÷2, 내접원 반지름=(a+b−c)÷2를 서로 다른 논리로 끌어와야 한다.
서답형3은 보기 6개 중 RHS 한 쌍(△ABC≡△QRP)과 RHA 한 쌍(△DEF≡△JKL)만 성립하고, △GHI와 △MNO는 6cm가 각각 빗변과 변이라 합동이 아니다. 서답형4는 △ABD≡△CAE(RHA)를 먼저 세워야 AD=CE=4, AE=BD=8이 나오고 그제야 DE=12, 사다리꼴 넓이 72가 확정된다.
8번은 5개(ㄱ~ㅁ) 중 3개, 15번은 6개(ㄱ~ㅂ) 중 3개를 고르는 구조다. 15번 ㄱ은 대각선의 짝을 AO=CO·BO=DO가 아니라 AO=BO·CO=DO로 어긋나게 놓은 것, ㄴ은 ‘한 쌍 평행 + 대각선 일부 등길이’라 등변사다리꼴도 허용되는 것, ㅁ은 ∠A=∠C=90°만 강제하고 ∠B=∠D는 보장하지 못하는 것이 각각의 반례 지점이다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
계수비를 a:4 = −3:−6 = −5:2b로 세워야 한다. a=2까지는 쉽게 나오지만 −5/2b=1/2에서 2b=−10, 즉 b=−5를 b=−10으로 쓰면 a+b가 −8이 되어 보기에 없는 값이 나온다. 정답 a+b=−3.
ax+by+c=0을 y=−(a/b)x−(c/b)로 정리해야 한다. 지나는 점은 (0,c)가 아니라 (0,−c/b)다. a>0·b<0이면 기울기 양수, c<0·b<0이면 y절편 음수이므로 그래프는 1·3·4사분면만 지난다.
∠ACD와 ∠DCE에 찍힌 두 개의 점이 CD가 ∠ACE를 이등분한다는 조건이다. 이를 못 보면 ∠DCB를 구할 수 없다. ∠ACB=80° → ∠DCE=50° → ∠DCB=130° → ∠DBC=25° → x=80°−25°=55°.
∠B=β에서 시작해 삼각형을 하나씩 넘을 때마다 β→2β→3β→4β로 정확히 4번 누적된다. 중간 한 단계를 빠뜨리면 9β=180°이 아니라 7β=180°이 되어 답이 어긋난다. ∠ACD=4β−3β=β=20°.
289−64=225로 AC=15를 얻은 뒤, 가운데 정사각형의 한 변이 곧 DE=AC=15라는 연결을 해야 한다. 이 다리를 건너뛰고 289−81이나 225−81을 넓이로 착각하면 144가 아닌 값이 나온다. DF²=225−81=144.
∠D의 이등분선이라 ∠AFD=∠ADF가 되어 △ADF는 이등변, 곧 AF=AD=11이다. DC=9는 CE=9, BE=2를 확인시키는 보조 정보일 뿐 AF 값에는 관여하지 않는다. 9와 11을 섞어 21/2·23/2 오답지에 걸리기 쉽다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 5문항은 모두 “풀이 과정을 반드시 쓸 것”이 명시돼 있고, 서답형4는 합동조건과 합동인 이유를 구체적으로, 서답형5는 AB를 구하는 식과 두 반지름을 구하는 과정을 반드시 쓰라고 <조건>으로 못 박았다. 답만 적으면 23점(서4·서5)이 통째로 위험하다. 기출 서술형을 말로 설명하고 그대로 받아 적는 연습을 주 2회 고정한다.
1·4·9·12번과 서답형1·2는 단일 개념 1~2단계로 끝난다. 여기서 한 문항만 흘려도 상위권 진입선이 무너진다. 특히 서답형2(6점)는 ∠A:∠D=3:2에서 이웃각의 합이 180°임을 쓰기만 하면 되는 문항이므로, 평행사변형 성질 4가지를 그림과 함께 무조건반사로 만든다.
최대 비중 단원이자 최고배점(서답형5, 13점)이 걸려 있다. 외심은 세 꼭짓점 등거리·수직이등분선, 내심은 세 변 등거리·각 이등분선이라는 정의를 문제를 읽자마자 그림에 표시하는 루틴을 만든다. 10번처럼 두 심이 함께 나오면 ∠OAB와 ∠IAB를 따로 구해 빼는 표준 절차를 통째로 암기한다.
6·7·10·15번과 서답형4·5는 계산이 무겁지 않고 조건 해석이 무겁다. 그림의 점 표시·같음 표시·직각 표시를 발견 즉시 등식으로 옮겨 적는 훈련이 곧 점수다. 6번(점 2개=각 이등분), 서답형4(직각 3개=RHA)처럼 표시 하나가 풀이 전체를 여는 문항을 모아 ‘표시 해석 드릴’로 반복한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수·일차방정식 | 두 직선의 교점 좌표 | 4 | 하 | ⑤ | 3x−y+8=0과 x+y−4=0을 변끼리 더하면 4x+4=0 → x=−1, y=5. 교점 (−1, 5). |
| 2 | 일차함수·일차방정식 | 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건 | 4 | 중 | ① | a:4 = −3:−6 = −5:2b. a=2, 2b=−10에서 b=−5. a+b=−3. |
| 3 | 일차함수·일차방정식 | 계수 부호로 그래프 개형 판단 | 4 | 중 | ③ | y=−(a/b)x−(c/b). 기울기 −a/b>0, y절편 −c/b<0 → 1·3·4사분면 통과, 제2사분면을 지나지 않는다. |
| 4 | 이등변삼각형 | 밑각과 외각의 크기 | 3 | 하 | ④ | AB=AC, ∠B=∠C=70° → ∠x=∠A=40°. ∠y는 C의 외각=110°. x+y=150°. |
| 5 | 이등변삼각형 | 이등분선이 만드는 두 이등변삼각형 | 4 | 중 | ③ | AC=BC → ∠A=∠B=72°, ∠C=36°. △ADC에서 ∠DAC=∠C=36° → AD=DC=6. △ABD에서 ∠B=∠ADB=72° → AB=AD=6 cm. |
| 6 | 이등변삼각형 | 두 이등변삼각형이 겹친 각 구하기 | 4 | 상 | ④ | ∠ACE=100° → ∠ABC=∠ACB=80°. 그림의 두 점 표시로 CD가 ∠ACE 이등분 → ∠DCB=130°. BC=DC → ∠DBC=25°. x=80°−25°=55°. |
| 7 | 이등변삼각형 | 등길이 선분 5개의 연쇄 외각 | 4 | 상 | ② | ∠B=β로 두면 외각이 β→2β→3β→4β로 누적. BA=BC이므로 β+4β+4β=180° → β=20°. ∠ACD=4β−3β=20°. |
| 8 | 외심과 내심 | 외심의 성질 <보기> 참·거짓 | 4 | 중 | ③ | ㄴ·ㄷ·ㄹ 참. ㄱ(OE=OF)·ㅁ(△OCE≡△OCF)은 외심이 세 변에서 등거리라는 착각 — BC=AC일 때만 성립. |
| 9 | 외심과 내심 | 내심의 각 이등분 성질 | 4 | 하 | ① | ∠IBC=25° → ∠B=50°. ∠A=180°−50°−84°=46°. ∠BAI=∠A/2=23°. |
| 10 | 외심과 내심 | 외심·내심이 함께 있는 각 ∠OAI | 5 | 상 | ① | ∠A=80°. ∠OAB=90°−∠C=28°, ∠IAB=∠A/2=40°. ∠OAI=40°−28°=12°. |
| 11 | 직각삼각형 합동·피타고라스 | 변 위의 정사각형 넓이 연쇄 | 4 | 중 | ② | AC²=289−64=225 → AC=15. 가운데 정사각형의 한 변이 DE=AC=15. DF²=225−81=144 cm². |
| 12 | 평행사변형 | 대각·이웃각의 기본 관계 | 3 | 하 | ⑤ | ∠C=∠A=110°(대각), ∠B=70°(이웃각). x−y=110−70=40. |
| 13 | 평행사변형 | 두 각의 이등분선이 만드는 각 | 4 | 중 | ② | ∠AEB=50°=∠BAE → ∠A=100°, ∠B=80°, ∠ABF=40°. 엇각으로 ∠AFB=40°이므로 ∠x=∠BFD=140°. |
| 14 | 평행사변형 | 이등분선과 변의 연장선 교점까지 길이 | 4 | 중 | ③ | AB∥DC의 엇각으로 ∠AFD=∠FDC=∠ADF → △ADF는 이등변. AF=AD=11 cm (DC=9는 CE=9·BE=2를 주는 보조 조건). |
| 15 | 평행사변형 | 평행사변형이 되는 조건 6개 판별 | 5 | 상 | ④ | ㄷ(한 쌍 대변 평행하고 같음)·ㄹ(두 쌍 대변 평행)·ㅂ(두 쌍 대변 평행) 참. ㄱ은 대각선 짝이 어긋나고, ㄴ은 등변사다리꼴, ㅁ은 ∠A=∠C=90°만 강제하여 반례 존재. |
| 서답형1 [1-1] 2점 / [1-2] 3점 |
일차함수·일차방정식 | y축에 평행한 직선의 조건과 방정식 | 5 | 하 | [1-1] a = 1/3 [1-2] x = 5/3 |
y축에 평행 ⇔ 두 점의 x좌표가 같다. −a+2 = 2a+1 → 3a=1 → a=1/3. 그 x좌표는 −1/3+2 = 5/3이므로 직선은 y=… 꼴이 아니라 x = 5/3으로 써야 한다. |
| 서답형2 | 평행사변형 | ∠A:∠D=3:2에서 ∠B·∠C 구하기 | 6 | 하 | ∠B=72° ∠C=108° |
이웃각의 합 ∠A+∠D=180°. 3k+2k=180 → k=36. ∠A=108°, ∠D=72°. 대각이 같으므로 ∠B=∠D=72°, ∠C=∠A=108°. |
| 서답형3 | 직각삼각형 합동·피타고라스 | 직각삼각형 합동 쌍 찾기 + 조건 서술 | 6 | 중 | △ABC≡△QRP (RHS) △DEF≡△JKL (RHA) |
ABC·PQR은 빗변 6, 다른 한 변 3으로 RHS. DEF는 ∠F=35°, JKL은 ∠K=55°이고 빗변 6으로 RHA. GHI(빗변 6·변 4)와 MNO(두 변 4·6)는 6의 역할이 달라 합동 아님. |
| 서답형4 | 직각삼각형 합동·피타고라스 | RHA 합동 서술 + 사다리꼴 넓이 | 10 | 상 | 72 | ∠ADB=∠CEA=90°, AB=CA, ∠BAD=90°−∠CAE=∠ACE → △ABD≡△CAE(RHA). AD=CE=4, AE=BD=8이므로 DE=12. 넓이=(8+4)×12÷2=72. |
| 서답형5 | 외심과 내심 | 외접원·내접원 넓이의 차 (최고배점) | 13 | 상 | 84π | AB=√(20²−16²)=12. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점 → R=10, S₁=100π. 내접원 r=(12+16−20)÷2=4, S₂=16π. S₁−S₂=84π. |
구암중학교 2학년 2025학년도 2학기 중간고사 수학은 선택형 15문항 60점과 서답형 5문항 40점, 모두 20문항 100점으로 구성됐다. 서답형이 배점의 40%를 차지해 부분점수 확보 능력이 등급을 가른다. 단원별 배점은 삼각형의 외심과 내심 26점, 평행사변형의 성질 22점, 직각삼각형의 합동과 피타고라스 정리 20점, 일차함수와 일차방정식 17점, 이등변삼각형의 성질 15점 순이다. 난이도는 상 6문항 41점, 중 8문항 34점, 하 6문항 25점. 1~5번과 12번에 하 난이도를 깔아 출발을 열어 준 뒤 6·7·10·15번과 서답형4·5에 고난도를 몰아, 후반부에서 점수 차를 만드는 설계다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 각의 이등분선을 만나면 즉시 이등변삼각형으로 되돌리는 역추적이다. 5번(4점)·9번(4점)·10번(5점)·13번(4점)·14번(4점) 다섯 문항 21점이 이 발상 하나로 열린다. 두 번째 축은 합동을 근거로 길이와 넓이를 복원하는 계열로, 서답형3(6점)과 서답형4(10점) 16점이 RHA·RHS를 직접 쓰게 한다. 최고배점 서답형5(13점)는 피타고라스로 AB=12를 구하고, 외접원 반지름 10과 내접원 반지름 4를 서로 다른 논리로 유도해 84π에 도달하는 3단 구성이다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라, 그림에 찍힌 표시 하나를 성질로 번역하는 속도다.
학부모 관점에서 이 시험은 ‘계산이 어려운 시험’이 아니라 ‘조건을 읽어내는 시험’이다. 실제로 수가 큰 계산은 11번의 289−64=225와 서답형5의 20²−16² 정도뿐이다. 반면 서답형 다섯 문항 모두 “풀이 과정을 반드시 쓸 것”이 명시됐고, 서답형4는 합동조건과 합동인 이유를 구체적으로 설명하라고, 서답형5는 AB를 구하는 식과 두 반지름을 구하는 과정을 반드시 쓰라고 <조건>으로 지정했다. 답만 맞혀서는 40점 중 상당 부분이 날아간다는 뜻이다. 실점 원인은 계산력보다, 그림의 표시를 놓치는 독해력과 아는 것을 문장으로 적지 못하는 서술력에서 찾아야 한다.