신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
구암중 3학년 · 수학 2026학년도 1학기 기말고사 문항분석
이차방정식 62점 · 이차함수 38점의 2대단원 구성. 답이 주어지고 계수를 거꾸로 찾는 역추적형 7문항 36점이 시험 전체를 관통하며, 서답형 3문항 30점이 과정 서술로 변별을 마무리한다.
신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
이차방정식 62점 · 이차함수 38점의 2대단원 구성. 답이 주어지고 계수를 거꾸로 찾는 역추적형 7문항 36점이 시험 전체를 관통하며, 서답형 3문항 30점이 과정 서술로 변별을 마무리한다.
총 20문항 100점 · 선택형 17문항(3~5점) + 서답형 3문항(각 10점, 단계별 부분점수)
이차방정식 계열 12문항 62점 : 이차함수 계열 8문항 38점 — 전반부는 방정식, 11번 이후는 함수로 완전히 분리 배치되었다
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(4점) 근의 공식 결과 x=(b±√37)/6에서 계수를 복원, 6번(4점) 한 근 2에서 a와 나머지 근, 7번(4점) 계수를 바꿔 푼 해에서 원래 방정식, 14번(4점) 평행이동 결과에서 p·q, 16번(5점) x축 대칭과 통과점에서 a·b, 17번(5점) 직선 그래프에서 계수 부호, 서답형2(10점) 잘못 본 계수에서 원식 복원 — 합계 36점이 같은 발상이다.
9번(5점)은 AC>BC, 10번(5점)은 QP>PR, 8번(4점)은 양수 a, 16번(5점)은 b<0이라는 단서로 두 근 중 하나를 버리게 한다. 방정식을 정확히 풀고도 단서를 놓치면 정답 옆 선택지를 고르게 설계되어 있다.
9번은 세 반원의 넓이차를 (π/8)(18²−a²−(18−a)²)로 정리해야 a(18−a)=56이 나온다. 10번은 직각삼각형 AC 위의 점 P에서 만들어지는 직사각형의 가로·세로를 하나의 문자로 통일해야 x(8−x/2)=24가 선다.
3번은 k값 3가지에 대한 근의 형태, 5번은 완전제곱식 변형 5단계 중 틀린 칸, 11번은 보기 5개 중 이차함수 판별, 15번은 그래프 성질 5개 중 거짓을 찾는다. 한 문항 안에서 3~5회의 독립 판정을 요구해 부분 지식으로는 맞힐 수 없다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
(x−2)²=5/2에서 x=2±√(5/2)를 그대로 두면 선택지 ⑤의 2±√5/2와 구분되지 않는다. √(5/2)=√10/2로 유리화해야 ⑤가 틀렸음이 드러난다. 유리화를 생략하는 순간 "모두 옳다"고 판단해 답을 못 고른다.
a(18−a)=56의 해는 14와 4이고, 14는 ⑤, 4는 ①에 나란히 배치돼 있다. AC>BC라는 괄호 조건을 읽지 않으면 정확히 계산하고도 ①을 고른다. 정답은 ⑤ 14cm.
x²−16x+48=0의 해는 4와 12. QP>PR 조건에서 x=12일 때 QP=12·PR=2로 성립하고, x=4일 때는 QP=4·PR=6이라 성립하지 않는다. 두 값 모두 선택지(①6이 아닌 ⑤12, 그리고 4는 미배치)에 걸리므로 조건 확인이 필수다.
3x²+kx−4k=−1을 먼저 3x²+kx+(−4k+1)=0으로 정리해야 한다. 우변의 −1을 이항하지 않고 상수항을 −4k로 두면 k=2가 나오지 않는다. 바꾼 식은 3x²+(−4k+1)x+k=0이며, 여기에 x=2를 대입한다.
"한 봉지 x원인 과자 y봉지를 사고 5000원"은 xy=5000, 즉 y=5000/x인 반비례 관계다. x와 y가 곱해져 있다는 이유로 이차식으로 오인하기 쉽다. ㄴ의 대각선 개수 y=x(x−3)/2가 진짜 이차함수다.
3a²−5a−2=0에서 a=−1/3, 2 두 값이 나온다. a=2면 2b²=−3이 되어 실수 b가 없으므로 버려야 한다. a=−1/3, b<0에서 b=−3, ab=1(④). a=2를 살려두면 답을 특정하지 못한다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
4·6·7·14·16·17번과 서답형2를 한 묶음으로 놓고, 각 문항에서 신뢰할 수 있는 정보와 오염된 정보를 두 줄로 분리해 적는 연습을 한다. 서답형2는 관우가 x의 계수를 틀렸으므로 상수항 −6만, 장비가 상수항을 틀렸으므로 x의 계수 5만 가져와 x²+5x−6=0을 세운다. 이 표만 정확히 쓰면 36점 중 30점 이상이 자동으로 정리된다.
서답형1은 미지수 정하기 2점 · 방정식 세우기 2점 · 방정식 풀기 4점 · 답 적기 2점으로 칸이 분리돼 있다. 답 13쪽·14쪽만 적으면 최대 6점을 잃는다. "연속한 두 자연수를 x, x+1로 놓는다 → x(x+1)=182 → x²+x−182=0 → (x+14)(x−13)=0"을 칸마다 반드시 채우는 훈련이 필요하다. 서답형2도 두 사람이 푼 식을 각각 쓰라고 명시했으므로 x²+x−6=0, x²+5x+6=0을 빠뜨리면 안 된다.
9·10번과 서답형3은 그림을 보고 어떤 길이를 x로 둘지 결정하는 데서 승부가 난다. 9번은 AC=a로 두면 CB=18−a가 자동으로 따라오고, 10번은 BR=x로 두면 삼각형의 닮음으로 QB=8−x/2가 결정된다. 도형 문제를 만나면 계산 전에 "문자 하나로 전부 표현되는가"를 먼저 확인하는 절차를 습관화한다.
1·2·12·13번(14점)은 단일 개념 대입이므로 무조건 5분 안에 처리하고, 3·5·11·15번의 보기 판정형(16점)으로 넘어간다. 보기형은 5개 중 3개를 확신하면 정답이 좁혀지므로, 모르는 보기에 시간을 쓰지 말고 아는 것부터 소거하는 순서를 지킨다. 여기까지 30점을 확보한 뒤 서답형에 20분 이상을 남겨야 상위권 진입이 가능하다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 방정식 풀이 | x=2를 해로 갖는 이차방정식 찾기 | 4 | 하 | ② | 다섯 식에 x=2를 대입. x²+2x−8은 4+4−8=0으로 성립, 나머지는 −4·8·−16·4 |
| 2 | 방정식 풀이 | (x−3)²−16=0의 해 | 4 | 하 | ⑤ | (x−3)²=16 → x−3=±4 → x=7 또는 x=−1. 제곱근 양쪽 부호를 모두 취한다 |
| 3 | 방정식 풀이 | x²−8x+k=0의 k값별 근 판정(보기 3개) | 4 | 중 | ④ | k=16이면 중근 x=4(ㄱ은 −4라 오답), k=3이면 4±√13(ㄴ 참), k=0이면 0 또는 8(ㄷ 참) |
| 4 | 근·미정계수 | 근의 공식 결과에서 a, b 복원 | 4 | 중 | ① | 3x²+5x+a의 근은 (−5±√(25−12a))/6. b=−5, 25−12a=37 → a=−1, a+b=−6 |
| 5 | 방정식 풀이 | 완전제곱식 풀이 과정 ㉠~㉤ 중 틀린 것 | 4 | 중 | ⑤ | ㉠2·㉡4·㉢−2·㉣5/2는 모두 옳다. (x−2)²=5/2 → x=2±√10/2이므로 ㉤의 2±√5/2가 오류 |
| 6 | 근·미정계수 | 한 근이 2일 때 나머지 근 | 4 | 중 | ③ | x=2 대입 → 8−18+a=0 → a=10. 2x²−9x+10=(2x−5)(x−2) → 나머지 근 5/2 |
| 7 | 근·미정계수 | 일차항·상수항을 바꿔 푼 해에서 원식 복원 | 4 | 상 | ① | 원식 3x²+kx+(−4k+1)=0, 바꾼 식 3x²+(−4k+1)x+k=0에 x=2 → k=2. 3x²+2x−7=0의 해는 (−1±√22)/3 |
| 8 | 근·미정계수 | 두 이차방정식의 공통근과 양수 a | 4 | 중 | ③ | 2x²−x−15=(2x+5)(x−3) → x=−5/2 또는 3. x=3이면 a=−18(음수), x=−5/2이면 a=5/4 |
| 9 | 방정식 활용 | 3개 반원의 색칠한 넓이 14π에서 AC 구하기 | 5 | 상 | ⑤ | (π/8)(18²−a²−(18−a)²)=14π → a(18−a)=56 → a=14 또는 4. AC>BC이므로 14cm |
| 10 | 방정식 활용 | 직각삼각형 내 직사각형 QBRP의 넓이 24 | 5 | 상 | ⑤ | QP=x로 두면 PR=8−x/2. x(8−x/2)=24 → x²−16x+48=0 → x=12 또는 4. QP>PR이므로 12 |
| 11 | 이차함수 | 보기 5개 중 y가 x의 이차함수인 것 | 4 | 중 | ③ | ㄱ 4πx², ㄴ x(x−3)/2, ㅁ 7πx²는 이차함수. ㄷ은 y=5x(일차), ㄹ은 xy=5000(반비례) |
| 12 | 이차함수 | f(x)=x²+4x−1에서 f(2) | 3 | 하 | ③ | 4+8−1=11. 함숫값 직접 대입 |
| 13 | 이차함수 | 그래프의 폭이 가장 넓은 이차함수 | 3 | 하 | ④ | |a|가 작을수록 폭이 넓다. 6, 5, 3/4, 5/16, 5/2 중 최소는 5/16 |
| 14 | 이차함수 | 평행이동 결과에서 p+q 역산 | 4 | 중 | ③ | y=−3(x−2−p)²−3+q가 y=−3x²와 일치 → 2+p=0, −3+q=0 → p=−2, q=3, p+q=1 |
| 15 | 이차함수 | y=2x²−3의 그래프 성질 중 옳지 않은 것 | 4 | 중 | ② | 2x²−3=0의 해가 x=±√6/2이므로 x축과 두 점에서 만난다. ②가 거짓, 나머지는 모두 참 |
| 16 | 이차함수 | x축 대칭 + 통과점 조건에서 ab | 5 | 상 | ④ | a=−(3a²−6a−2) → 3a²−5a−2=0 → a=−1/3 또는 2. a=2는 실수 b가 없어 기각. a=−1/3, b=−3 → ab=1 |
| 17 | 이차함수 | 직선 그래프의 부호로 y=b(x+a)² 고르기 | 5 | 상 | ① | 기울기 음수·y절편 양수 → a<0, b>0. b>0이므로 아래로 볼록, 꼭짓점 (−a, 0)은 x축의 양의 부분 |
| 서답형1 | 방정식 활용 | 책 두 면의 쪽수의 곱이 182 (4단계 배점) | 10 | 중 | 13쪽, 14쪽 | ①미지수 x, x+1[2점] ②x(x+1)=182[2점] ③(x+14)(x−13)=0 → x=13[4점] ④답 13쪽·14쪽[2점]. x=−14는 쪽수가 될 수 없어 기각 |
| 서답형2 | 근·미정계수 | 두 사람이 잘못 본 계수에서 원래 방정식 복원 | 10 | 상 | x=−6 또는 x=1 | 관우는 x의 계수만 틀렸으므로 상수항 보존 → x²+x−6=0. 장비는 상수항만 틀렸으므로 x의 계수 보존 → x²+5x+6=0. 원식 x²+5x−6=0 → (x+6)(x−1)=0 |
| 서답형3 | 이차함수 | 두 포물선 위 네 점으로 이루어진 평행사변형 | 10 | 상 | k=−1 / A(−2,−4) B(2,−4) C(4,4) D(0,4) | [3-1] A(−t, kt²)·B(t, kt²), D(0,d)에서 C−D=B−A → C(2t, t²), d=t². |yA|=|yC|에서 −kt²=t² → k=−1[4점] [3-2] 높이=2t², AB=2t, 2t=(1/2)·2t² → t=2 → 네 점 확정[6점] |
구암중 3학년 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 17문항 70점, 서답형 3문항 30점으로 짜인 총 20문항 100점 시험이다. 서답형이 전체의 30%를 차지해 과정 서술의 비중이 작지 않다. 단원별로는 이차함수와 그래프가 8문항 38점으로 가장 크고, 이차방정식의 근과 미정계수 5문항 26점, 이차방정식의 활용 3문항 20점, 이차방정식의 풀이 4문항 16점이 뒤를 잇는다. 난이도는 상 7문항 44점, 중 9문항 42점, 하 4문항 14점으로, 단일 개념 대입만으로 확보되는 배점이 1·2·12·13번 14점에 그친다. 1번부터 10번까지는 방정식, 11번부터는 함수로 단원을 완전히 분리 배치해 시간 배분이 곧 점수가 되도록 설계했다.
이 시험을 관통하는 축은 '답에서 조건을 거꾸로 세우기'다. 4번(4점) 근의 공식 결과에서 계수 복원, 6번(4점) 한 근에서 나머지 근, 7번(4점) 계수를 바꿔 푼 해에서 원식, 14번(4점) 평행이동 결과에서 p·q, 16번(5점) x축 대칭과 통과점에서 a·b, 17번(5점) 직선의 부호로 포물선 선택, 서답형2(10점) 잘못 본 계수에서 원래 방정식까지 7문항 36점이 동일한 발상을 공유한다. 여기에 8·9·10·16번 18점은 두 근 중 하나를 괄호 안 단서로 버리게 해 계산 정확도와 조건 독해를 동시에 검사한다. 최고배점대인 서답형3(총 10점)은 조건 네 개를 좌표로 번역해 k=−1을 얻고 다시 밑변과 높이의 비로 t=2를 확정하는 2단 추론을 요구한다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 식을 푸는 속도가 아니라 조건을 역방향으로 재구성하는 사고력이다.
쉽게 말해 이번 시험은 문제집을 많이 푼 학생보다 문제를 정확히 읽은 학생이 유리한 구조다. 답이 먼저 주어지고 조건을 찾아야 하는 문항이 36점, 두 근 중 하나를 조건으로 골라야 하는 문항이 18점이므로, 실점의 상당 부분은 계산 실수가 아니라 "AC>BC", "QP>PR", "b<0" 같은 괄호 한 줄을 흘려 읽은 데서 발생한다. 특히 9번은 두 근 14와 4가 각각 ⑤와 ①에 나란히 배치돼 있어, 조건을 놓치면 완벽히 계산하고도 오답이 된다. 서답형1은 미지수 정하기 2점·방정식 세우기 2점·풀기 4점·답 적기 2점으로 칸이 나뉘어 있어 정답만 적으면 최대 6점을 잃는다. 따라서 실점 원인은 계산력보다 조건 해석력과 서술 습관에서 먼저 찾아야 한다.