선택형 15문항(60점) · 서답형 5문항(40점) 구성. 사각형의 성질 53점 · 삼각형의 성질 47점으로 고르게 출제되었고, ‘숨은 이등변삼각형 찾기’(4문항 33점)와 <조건> 제시형 서술(서답형1·2, 20점)이 변별 축입니다.
문제지 3면 · 선택형 15문항(3~5점) + 서답형 5문항(4~12점) · 최고배점 서답형1(12점)
삼각형의 성질 3개 단원 47점 · 사각형의 성질 2개 단원 53점 — 서답형 40점 중 28점이 사각형 단원에 배치
이번 시험의 변별력을 만드는 축
2번(5점)은 AD=DB=BC에서 이등변삼각형 세 개가 연쇄되고, 서답형1(12점)은 맞꼭지각과 여각으로 △AMQ를, 서답형4(8점)는 AB=AD와 엇각으로 △ABD를, 서답형5(8점)는 정사각형의 변을 매개로 AB=AE인 △ABE를 찾아야 풀립니다. 이등변삼각형이 문제에 직접 주어지지 않고 그림 속에서 ‘발견’해야 한다는 점이 변별 요소입니다.
3번(3점)에서 합동 조건을 구분하게 한 뒤, 4번(4점)은 RHS 합동으로 ∠A=∠C를, 5번(5점)은 RHA 합동으로 DC=DE를 끌어내고, 서답형2(8점)는 RHA 합동을 평행사변형 판정의 근거로 씁니다. 합동 자체보다 합동으로 얻은 길이·각을 다음 단계에 연결하는 흐름이 핵심입니다.
6번(3점)과 7번(3점)은 외심 O와 내심 I를 한 문항에 나란히 배치해 외심은 ‘꼭짓점까지의 거리’(수직이등분선), 내심은 ‘변까지의 거리’(각의 이등분선 · 접선 길이)라는 차이를 묻습니다. 8번(4점) 중심각, 9번(5점) 넓이 공식까지 4문항 15점 모두 공식 직접 적용형입니다.
서답형1(12점)은 ‘△AMQ가 어떤 삼각형인지 이유 포함’과 ‘직각삼각형 외심의 위치’를, 서답형2(8점)는 ‘합동인 직각삼각형을 기호와 합동 조건으로’와 ‘□EBFD가 어떤 사각형인지 이유 포함’을 명시했습니다. 채점 요소가 미리 공개된 셈이므로 최종 답보다 논리 단계의 누락 여부가 점수를 가릅니다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
꼭지각 40°를 보고 90°−40°로 계산하는 실수. 밑각은 (180°−40°)÷2=70°이므로 ㄱ은 거짓이고 정답은 ④(ㄴ, ㄷ)입니다.
∠C=56°까지 구한 뒤 ④를 의심하기 쉽습니다. ∠x는 직각삼각형 MEC의 나머지 각으로 90°−56°=34°이므로 옳지 않은 것은 ⑤(24°)입니다.
DE=DC=3은 각의 이등분선 성질로 참이지만, BE가 DE와 같을 근거는 없습니다(∠B=45°일 때만 성립). 실제 BE=180/91≈1.98이므로 ㄷ은 거짓, 정답 ③입니다.
5 cm · 8 cm · 3 cm는 답과 무관한 방해 정보입니다. x는 외심의 수선이 변을 이등분하므로 6, y는 점 F에서 그은 두 접선 길이가 같으므로 4 → x−y=2.
외접원의 지름은 빗변 QC이고 QC=QA+AC=6+12=18 cm입니다. AC만 지름으로 쓰거나 반지름·지름을 혼동하면 12π, 36π 같은 오답이 나옵니다. 정답은 18π cm.
마름모와 정사각형은 대각선이 수직이지만 서로 다른 묶음에 있어 기준이 될 수 없습니다. 오른쪽 세 도형의 공통점은 ‘두 대각선의 길이가 같다’입니다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 5문항 40점 중 서답형1(12점) · 서답형2(8점)는 채점 요소가 조건으로 공개됩니다. 합동 기호 · 합동 조건 이름 · 사각형 판정 근거를 빠짐없이 쓰도록 ‘모범답안 따라 쓰기 → 스스로 쓰기 → 조건과 대조’의 3단계로 훈련합니다.
같은 길이 표시, 정사각형 · 마름모의 변, 평행선의 엇각이 보이면 이등변삼각형부터 표시하는 루틴을 만듭니다. 36° · 72° 연쇄형(2번)과 보조선으로 정삼각형을 만드는 등변사다리꼴(서답형4)은 반복 출제되는 유형입니다.
외심/내심 공식과 여러 가지 사각형의 대각선 성질(길이 · 수직 · 이등분)을 한 장의 비교표로 정리합니다. 6 · 7 · 8 · 9번과 서답형3(4점)을 합한 19점이 표 하나로 대응됩니다.
12번(5점) · 15번(5점) 10점은 평행선 사이 높이가 같음을 이용한 등적변형입니다. 또 <보기>형(1 · 5 · 14번)은 참이라고 판단한 명제마다 근거를 한 줄씩 적어 그림 착시를 걸러냅니다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1번 | 이등변삼각형 | 꼭지각 이등분선의 성질 (<보기> 판별) | 3 | 하 | ④ | 밑각 ∠B=(180°−40°)÷2=70°이므로 ㄱ 거짓. 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 → BD=5 cm(ㄴ), ∠ADC=90°(ㄷ) 참. |
| 2번 | 이등변삼각형 | 이등변삼각형 연쇄 각 추적 (AD=DB=BC) | 5 | 중 | ③ 72° | ∠A=a로 두면 ∠ABD=a, 외각 ∠BDC=2a=∠C=∠ABC → a+2a+2a=180°, a=36° → ∠BDC=72°. |
| 3번 | 직각삼각형의 합동 | 직각삼각형의 합동 조건 판별 | 3 | 하 | ④ | ①RHS ②RHA ③ASA ⑤SAS는 모두 합동 조건. ④는 두 각만 같아 모양은 같아도 크기가 달라질 수 있음. |
| 4번 | 직각삼각형의 합동 | RHS 합동 증명 과정 빈칸 | 4 | 중 | ⑤ | 빗변 AM=CM, DM=EM → RHS 합동, ∠A=∠C=(180°−68°)÷2=56° → ∠x=90°−56°=34°이므로 ⑤ 24°가 옳지 않음. |
| 5번 | 직각삼각형의 합동 | 각의 이등분선 + RHA 합동 + 넓이 (<보기>) | 5 | 중 | ③ | RHA로 △AED≡△ACD(ㄱ) → DC=DE=3, □AEDC=2×(½×10×3)=30(ㄴ). ㄷ: BE=180/91≈1.98(좌표 검증)으로 3이 아님 → 거짓. |
| 6번 | 삼각형의 외심·내심 | 외심·내심 각도의 합 | 3 | 하 | 없음⚠ 계산값 66° |
그림 판독: ∠OBA=25°, ∠AOC=112°, ∠IEF=32°, ∠IFE=23°. ∠OAC=34° → x=90°−25°−34°=31°, y=90°−32°−23°=35° → x+y=66°로 선지(56°~60°)에 없음. ⚠ 원본 수치 대조 필요. |
| 7번 | 삼각형의 외심·내심 | 외심의 수직이등분 · 내심의 접선 길이 | 3 | 하 | ② | 외심에서 변에 내린 수선은 변을 이등분 → x=6. 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같음 → y=4. 5·8·3 cm는 방해 정보. |
| 8번 | 삼각형의 외심·내심 | 외심과 중심각 | 4 | 하 | ⑤ 58° | OA=OB → ∠AOB=180°−2×32°=116°, ∠C=½∠AOB=58°. |
| 9번 | 삼각형의 외심·내심 | 내접원의 반지름 (넓이 공식) | 5 | 하 | ① 11/4 cm | 33=½·r·(7+8+9) → r=11/4 cm. (※ 세 변 7·8·9 cm의 실제 넓이는 12√5≈26.8 cm²로 제시값과 다르나 정답 선택에는 영향 없음) |
| 10번 | 평행사변형 | 평행사변형의 엇각·대각 | 3 | 하 | ① 72 | AB∥DC 엇각 → x=∠ACD=38°. y=∠D=180°−32°−38°=110° → y−x=72. |
| 11번 | 평행사변형 | 두 쌍의 대변의 길이 조건 | 3 | 하 | ④ 11 | AB=DC → x=6, AD=BC → x+2=y+3 → y=5 → x+y=11. |
| 12번 | 여러 가지 사각형·넓이 | 평행선과 넓이 (등적변형) | 5 | 중 | ② 22 cm² | AC∥DE → △ACD=△ACE → □ABCD=△ABC+△ACE=△ABE=½×11×4=22 cm². |
| 13번 | 여러 가지 사각형·넓이 | 수직이등분선 → 마름모의 둘레 | 4 | 중 | ② 24 cm | EF 위의 점 → EB=ED, △OED≡△OFB(ASA) → □EBFD는 마름모. ED=9−3=6 → 둘레 4×6=24 cm. |
| 14번 | 평행사변형 | 내각 이등분선이 만드는 사각형 (<보기>) | 5 | 중 | ⑤ | 이웃한 두 내각의 합 180° → 두 이등분선이 이루는 각 90° → □EFGH는 직사각형: 대각선 EG=FH(ㄱ), 네 각 모두 90°(ㄷ). |
| 15번 | 평행사변형 | 내부의 한 점과 넓이 | 5 | 중 | ③ 30 cm² | △PAD+△PBC의 높이 합 = AD와 BC 사이 거리 → △PAD+△PBC=½□ABCD → □ABCD=2×(6+9)=30 cm². |
| 서답형1 | 이등변삼각형 | 이등변삼각형 판정 + 직각삼각형의 외심 (<조건> 서술) | 12 | 상 | 18π cm | ∠AMQ=∠BMP=90°−∠B(맞꼭지각), ∠AQM=90°−∠C, ∠B=∠C → △AMQ는 AQ=AM=6 cm인 이등변삼각형. QC=6+12=18, ∠QPC=90° → 외심은 빗변 QC의 중점, 반지름 9 → 둘레 2π×9=18π cm. |
| 서답형2 | 평행사변형 | 직각삼각형 합동 + 평행사변형 판정 (<조건> 서술) | 8 | 상 | ∠EBF=46° | △ABE≡△CDF(RHA: 빗변 AB=CD, ∠BAE=∠DCF 엇각) → BE=DF, BE∥DF(모두 AC에 수직) → 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으므로 □EBFD는 평행사변형 → 대각 ∠EBF=∠EDF=46°. |
| 서답형3 | 여러 가지 사각형·넓이 | 여러 가지 사각형의 분류 기준 서술 | 4 | 중 | 두 대각선의 길이가 같은가 | 오른쪽(등변사다리꼴·직사각형·정사각형)은 두 대각선의 길이가 같고, 왼쪽(사다리꼴·평행사변형·마름모)은 같지 않음. ‘대각선이 수직’은 마름모·정사각형이 갈라져 있어 기준이 될 수 없음. |
| 서답형4 | 여러 가지 사각형·넓이 | 등변사다리꼴 보조선 + 정삼각형 | 8 | 상 | ∠DBC=30° | AB=AD → ∠ABD=∠ADB=∠DBC(엇각) → BD가 ∠B 이등분. D를 지나 AB에 평행한 DE 작도 → ABED 평행사변형, EC=BC−AD=AD=DE=DC → △DEC 정삼각형 → ∠B=∠C=60° → ∠DBC=30°. |
| 서답형5 | 여러 가지 사각형·넓이 | 정사각형 속 이등변삼각형 각 추적 | 8 | 중 | ∠ADE=72° | AB=AD=AE → △ABE 이등변, ∠AEB=27°, ∠BAE=126° → ∠DAE=126°−90°=36° → △ADE에서 ∠ADE=(180°−36°)÷2=72°. |
관천중학교 2학년 2026학년도 2학기 중간고사는 20문항 · 100점으로, 선택형 15문항이 60점, 서답형 5문항이 40점을 차지합니다. 단원별 배점은 여러 가지 사각형·넓이 29점, 평행사변형 24점, 이등변삼각형 20점, 삼각형의 외심·내심 15점, 직각삼각형의 합동 12점 순이며, 사각형의 성질(53점)이 삼각형의 성질(47점)을 근소하게 앞섭니다. 난이도는 상 3문항(28점) · 중 9문항(45점) · 하 8문항(27점)이고, 상 3문항이 모두 서답형입니다. 선택형은 단원마다 대체로 3점→4점→5점으로 배점이 올라가는 계단형으로 배치되어, 기본 성질을 확인한 뒤 서답형에서 등급을 가르도록 설계되었습니다.
이번 시험을 관통하는 축은 ‘숨은 이등변삼각형 찾기’입니다. 2번(5점)의 연쇄 이등변, 서답형1(12점, 최고배점)의 △AMQ, 서답형4(8점)의 AB=AD, 서답형5(8점)의 AB=AE가 모두 같은 발상으로 풀리며 합산 33점에 이릅니다. 두 번째 축은 직각삼각형의 합동으로, 3번(3점) · 4번(4점) · 5번(5점) · 서답형2(8점)의 20점이 RHA · RHS 합동으로 길이와 각을 옮기는 과정을 묻습니다. 최고배점 서답형1(12점)은 맞꼭지각과 여각으로 이등변삼각형을 판정한 뒤 직각삼각형의 외심이 빗변의 중점이라는 사실까지 연결해야 완성됩니다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기가 아니라 그림 속 같은 길이 · 같은 각을 찾아 근거와 함께 잇는 논증력입니다.
쉽게 말해 선택형은 교과서 성질을 정확히 알면 대부분 해결되지만, 서답형 40점은 ‘왜 그런지’를 문장으로 보여 주어야 점수가 나오는 시험입니다. 서답형1 · 2에는 <조건>이 붙어 있어 △AMQ가 이등변삼각형인 이유, 합동 기호와 합동 조건, □EBFD가 평행사변형인 이유를 빠뜨리면 답이 맞아도 감점될 수 있습니다. 5번(5점)의 ㄷ처럼 그림에서 같아 보이는 길이를 근거 없이 믿는 습관도 실점으로 이어집니다. 따라서 실점 원인은 계산력보다 독해력과 서술력에서 먼저 점검해야 하며, 풀이 한 줄마다 근거를 붙이는 연습이 가장 효과적입니다.