삼각비 55점 · 통계 45점. 교과서 기본형 중심이지만, 평균·분산 조건으로 미지수를 되짚는 계산(4문항 20점)과 테이프·종이를 겹치고 접는 서답형 2문항(16점, 난이도 상)에서 점수 차가 벌어진다.
문제지 4면 20문항 100점 · 선택형은 3점 3문항, 4점 10문항, 5점 1문항, 6점 1문항 · 서답형은 6~10점, 전 문항 ‘풀이 과정을 반드시 쓰시오’ · 최고배점 서답형2(10점)
삼각비 3개 단원 55점(11문항) : 통계 3개 단원 45점(9문항) — 단원별로는 삼각비의 활용 28점과 산포도 25점이 두 축이다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
3번(4점) 특수각 계산, 5번(4점) 30°·60° 연쇄, 6번(4점) 120°를 낀 넓이, 8번(4점) 45°·30° 양쪽 올려본각, 서답형4(8점) 45° 테이프, 서답형5(8점) 종이접기까지 모두 1 : √3 : 2, 1 : 1 : √2 비를 계산 도구로 쓴다. 서답형5는 sin∠ABC=4/8=1/2에서 30°를 거꾸로 찾아야 하는 역추적형이다.
11번(4점) 평균+중앙값, 12번(4점) 편차의 합, 15번(6점) 평균+분산, 서답형1(6점) 평균으로 x 구하기가 같은 계열이다. ‘합=평균×개수’, ‘편차의 합=0’, ‘편차제곱합=분산×개수’ 세 식을 조건에 맞게 세우는지가 관건이다.
서답형4(8점)는 폭 5, 6인 테이프가 45°로 겹친 평행사변형, 서답형5(8점)는 폭 4인 종이를 접어 생긴 이등변삼각형이다. 두 문항 모두 ‘어떤 도형인지’ 판단이 먼저이고, 그 근거(엇각·접은 각)를 쓰지 않으면 풀이 과정 점수가 깎인다. 이번 시험의 난이도 상 서답형은 이 두 문항뿐이다.
9번(3점) 중앙값, 10번(3점) 최빈값, 12번(4점) 편차, 13번(4점) 산점도, 14번(5점) 분산·표준편차는 계산이 짧은 대신 정의를 정확히 적용하는지를 본다. 선지에 ‘정렬하지 않은 가운데 값(50)’, ‘분산을 표준편차로 적은 값’ 같은 오개념 선택지가 배치되어 있다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
tan A=대변/이웃변=BC/AC=2√2다. A와 B를 바꿔 읽거나 빗변을 분모로 쓰면 ④(√2/2)와 ⑤(√2/4) 중 무엇이 틀렸는지 헷갈린다.
그림에는 50°만 있다. cos40°=sin50°(여각)로 바꾸지 못하고 cos50°(0.6428)를 대입하면 정확히 ④ 2.6006이 나온다. 의도된 오답이다.
제시된 순서 그대로 4번째 값 50을 고르면 ⑤. 크기순 0, 1, 5, 6, 8, 13, 50으로 정렬해야 중앙값 6회가 나온다.
B는 A를 +5만큼 평행이동한 자료라 분산이 2로 같고, 표준편차는 √2다. ‘평균이 크면 흩어짐도 크다’는 오개념이면 ⑤를 틀렸다고 고르게 된다.
8개 값이 모두 한 번씩 나오므로 최빈값은 ‘없다’. 중앙값은 짝수 개라 4·5번째 값의 평균 (6+8)÷2=7회로 써야 한다.
폭이 5와 6으로 달라 네 변이 같지 않다. 각 변은 폭÷sin45° → 6√2, 5√2이고, 넓이는 밑변×높이=6√2×5=30√2다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
30°·45°·60° 직각삼각형을 그리고 변의 비를 즉시 적는 연습을 하루 10문항씩 한다. ‘각 → 변’뿐 아니라 ‘sin 값 1/2 → 30°’처럼 거꾸로 가는 문제(서답형5 유형)를 반드시 섞는다.
값·편차·편차² 표를 먼저 그리고 합계 행에서 평균·분산을 읽는 순서를 고정한다. 최고배점 서답형2처럼 두 자료를 비교할 때는 평균·분산을 나란히 적고 ‘분산이 작을수록 고르다’는 판단 문장으로 마무리한다.
테이프 겹치기·종이 접기 기출을 모아 ‘도형 판단과 근거 → 각 → 변 → 넓이’ 4줄 모범답안을 따라 쓰고, 이어서 스스로 쓴 뒤 근거가 빠진 줄을 찾아 고친다.
중앙값·최빈값·편차·분산·표준편차·상관관계를 한 줄 정의와 대표 함정(정렬, 최빈값 없음, 분산과 표준편차)으로 카드화해 시험 직전 점검한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1번 | 삼각비의 뜻 | 직각삼각형 세 변 → 두 예각의 삼각비 판별 | 3 | 하 | ④ | sin A=2√2/3, cos A=1/3, sin B=1/3, tan B=1/(2√2)=√2/4는 옳고, tan A=BC/AC=2√2이므로 ④(√2/2)가 틀림 |
| 2번 | 삼각비의 뜻 | tan 값 → 직각삼각형을 그려 sin 구하기 | 4 | 하 | ⑤ 3√10/10 | tan A=3 → 이웃변 1, 대변 3, 빗변 √10 → sin A=3/√10=3√10/10(유리화) |
| 3번 | 삼각비의 값 | 특수각 삼각비 식의 계산 | 4 | 하 | ③ | ①1 ②√3 ③√3/2+√3/3=5√3/6 ④4·½·√2/2=√2 ⑤(0+0)÷1=0 → 옳은 것은 ③ |
| 4번 | 삼각비의 값 | 사분원 위 선분으로 삼각비 읽기 + 여각 관계 | 4 | 중 | ⑤ 2.7238 | sin50°=점 A의 y좌표 0.7660, cos40°=sin50°=0.7660(여각), tan50°=CD=1.1918 → 합 2.7238 |
| 5번 | 삼각비의 값 | 빗변 위 수선, 30°·60° 변의 비 연쇄 | 4 | 중 | 없음⚠ 계산값 6 |
∠A=60°, ∠ACD=30° → AC=2·AD=4, AB=2·AC=8 → x=BD=8−2=6. 선지(6√3·12√3·24·16√3·32)에 6이 없음 ⚠ 원본 대조 필요 |
| 6번 | 삼각비의 활용 | 둔각이 낀 이등변삼각형의 넓이 | 4 | 중 | ④ 16√3 | ∠C=∠A=30°, ∠B=120° → S=½·8·8·sin(180°−120°)=32·(√3/2)=16√3 |
| 7번 | 삼각비의 활용 | 비탈길을 오른 지점의 높이(실생활) | 4 | 하 | ③ 34.72 m | 높이 BC=200·sin10°=200×0.1736=34.72 m (cos·tan 값은 방해 정보) |
| 8번 | 삼각비의 활용 | 두 지점에서 올려본 각 → 연의 높이 | 4 | 중 | ② (50√3−50) m | 높이 h → A쪽 수평거리 h, B쪽 √3h → h+√3h=100 → h=100/(√3+1)=50(√3−1) |
| 9번 | 대푯값 | 중앙값(홀수 개 자료, 정렬) | 3 | 하 | ① 6회 | 크기순 0,1,5,6,8,13,50 → 4번째 값 6. 극단값 50은 중앙값에 영향 없음 |
| 10번 | 대푯값 | 줄기와 잎 그림의 최빈값 | 3 | 하 | ④ 95호 | 80호 4, 85호 3, 90호 4, 95호 5, 100호 2, 105호 2(합 20) → 최빈값 95호 |
| 11번 | 대푯값 | 평균·중앙값 조건으로 미지수 결정 | 4 | 중 | ② −6 | 합 42 → a+b=14. 7개 자료의 중앙값(4번째 값)=4이려면 1,2,3 다음 값이 4 → a=4, b=10 → a−b=−6 |
| 12번 | 산포도 | 편차의 합=0으로 점수 복원 | 4 | 하 | ① 86점 | 8+(−9)+7+x=0 → x=−6 → 4회 점수=92−6=86점 |
| 13번 | 상관관계 | 산점도(소득-저축) 해석 | 4 | 하 | ③ | 양의 상관관계 → ①②④ 틀림. B는 소득이 크지만 저축이 적고 C는 둘 다 큼 → ③ 옳음. ⑤ 비교 예시(생산량-소비량)는 교과서 대표 예시가 아님 |
| 14번 | 산포도 | 평행이동한 두 자료의 평균·분산·표준편차 | 5 | 중 | ④ | A: 평균 a, 분산 (4+1+0+1+4)÷5=2. B는 A를 +5 이동 → 평균 a+5, 분산 2, 표준편차 √2 → ④(√10/5) 틀림 |
| 15번 | 산포도 | 평균·분산 두 조건 연립 → 미지수 2개 | 6 | 상 | ② −2 | 합 12 → a+b=−1. 편차제곱합 48 → 9+1+16+9+(a−2)²+(b−2)²=48 → 합 −5, 제곱합 13 → a−2=−3, b−2=−2 → a=−1, b=0 → 2a+b=−2 |
| 서답형1 | 대푯값 | 평균으로 x 구하기 + 중앙값·최빈값 | 6 | 중 | x=8 중앙값 7회 최빈값 없음 |
합 56 → x=8. 정렬 0,1,3,6,8,11,13,14 → 중앙값 (6+8)÷2=7회. 모든 값이 1번씩 → 최빈값 없음(함정) |
| 서답형2 | 산포도 | 두 자료의 분산 비교·판단 (최고배점) | 10 | 중 | 준이 2 · 현이 6/7 → 현이 |
준이 평균 7, 편차제곱합 0+0+0+0+1+4+9=14 → 분산 2. 현이 평균 8, 편차제곱합 1+0+0+1+0+4+0=6 → 분산 6/7. 분산이 작은 현이가 더 고르다 |
| 서답형3 | 삼각비의 뜻 | 엇각으로 옮긴 각의 삼각비 | 8 | 중 | sin E=√21/5 cos E=2/5 tan E=√21/2 |
AB∥DE(모두 AD에 수직) → ∠E=∠B(엇각). △ABC에서 AC=√(5²−2²)=√21 → sin E=√21/5, cos E=2/5, tan E=√21/2 (CE=4는 △DEC로 확인: DE=8/5, CD=4√21/5) |
| 서답형4 | 삼각비의 활용 | 45°로 겹친 두 테이프 → 평행사변형 둘레·넓이 | 8 | 상 | 둘레 22√2 넓이 30√2 |
겹친 부분은 평행사변형(폭이 달라 마름모 아님). 변의 길이=폭÷sin45° → 6√2, 5√2 → 둘레 2(6√2+5√2)=22√2, 넓이=6√2×5=30√2 |
| 서답형5 | 삼각비의 활용 | 접은 종이 → 이등변삼각형 + 30° 역추적 | 8 | 상 | 16√3/3 | ∠CAB=∠BAD(접은 각)=∠ABC(엇각) → CA=CB. sin∠ABC=4/8 → ∠ABC=30° → C에서 AB까지 높이 4·tan30°=4√3/3 → 넓이 ½·8·4√3/3=16√3/3 |
관천중학교 3학년 2026학년도 2학기 중간고사는 선택형 15문항(60점)과 서답형 5문항(40점), 총 20문항 100점으로 구성되었다. 영역별로는 삼각비 11문항 55점, 통계 9문항 45점이며, 세부 단원 배점은 삼각비의 활용 28점, 산포도 25점, 대푯값 16점, 삼각비의 뜻 15점, 삼각비의 값 12점, 상관관계 4점 순이다. 난이도는 하 8문항(29점)·중 9문항(49점)·상 3문항(22점)이다. 선택형은 1~8번 삼각비, 9~15번 통계로 교과서 순서를 따르고 배점이 3점에서 15번(6점)까지 뒤로 갈수록 커지며, 서답형은 통계 2문항 뒤에 삼각비 도형 3문항을 배치했다.
이번 시험을 관통하는 첫 번째 축은 특수각의 변의 비다. 3번(4점)·5번(4점)·6번(4점)·8번(4점)·서답형4(8점)·서답형5(8점) 6문항 32점이 30°·45°·60° 삼각형의 변의 비를 계산 도구로 쓰며, 서답형5는 sin 값 1/2에서 30°를 거꾸로 찾아야 한다. 두 번째 축은 평균·분산 조건으로 미지수를 되짚는 계산으로, 11번(4점)·12번(4점)·15번(6점)·서답형1(6점) 4문항 20점이 합과 편차의 식을 세우게 한다. 최고배점인 서답형2(10점)는 두 자료의 분산을 각각 구해 비교해야 해 계산량이 가장 많다. 결국 이 시험이 측정한 것은 새로운 발상보다 정의와 공식을 식으로 정확히 옮기는 능력이다.
학부모님 입장에서 보면 이번 시험은 어려운 한 문제보다 기본 개념을 실수 없이 적용하는지를 본 시험이다. 하·중 17문항이 78점이어서, 정렬하지 않고 중앙값을 고르거나(9번) 분산과 표준편차를 혼동하는(14번) 작은 실수가 곧 등급 차이가 된다. 서답형 5문항 40점에는 모두 ‘풀이 과정을 반드시 쓰시오’가 붙어 있어 답만 쓰면 점수를 받기 어렵고, 특히 서답형4·5(16점)는 겹친 부분이 평행사변형인 이유, 접힌 삼각형이 이등변삼각형인 이유부터 적어야 한다. 따라서 실점 원인은 개념을 식과 문장으로 옮기는 서술력과 기본 계산의 정확성에서 먼저 찾아야 한다.