선택형 16문항 66.0점 + 서답형 6문항 34.0점, 총 22문항 100점. 원의 방정식(27.3점)이 최대 비중이고 집합(22.6점)이 뒤를 잇는다. 점과 직선 사이의 거리 한 도구로 26.5점이 열리는 구조이며, 난이도 상위 6문항이 30.3점을 점유해 후반부에서 등급이 갈린다.
서답형이 총점의 34.0%를 차지하고, 서답형 6문항 전부에 「부분점수 있음」이 명시되어 과정 서술이 곧 점수인 구조.
도형의 방정식 4개 소단원이 77.4점(17문항), 집합이 22.6점(5문항).
이번 시험의 변별력을 만드는 축
5번(3.8점) 평행선 거리, 13번(4.7점) 원의 접선 조건, 서답형1(5점) 삼각형 넓이, 서답형3(6점) 두 점에서 만날 조건, 서답형6(7점) 원 위의 점과 직선의 최단거리 — 겉모습은 다섯 가지지만 계산의 출발점은 모두 |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) 하나다.
10번(4.1점)은 넓이 이등분에서 a를, 13번(4.7점)은 접함에서 반지름 두 개를, 15번(4.9점)은 "점 P의 개수가 3"에서 a를, 서답형3(6점)은 교점 개수에서 정수 r의 최솟값을, 서답형6(7점)은 접함에서 p와 q의 관계식을 역으로 얻는다.
12번(4.3점)은 선분 위 점의 거리 차 조건에서 ab의 최댓값·최솟값을, 14번(4.6점)은 네 선분의 합의 최솟값을, 서답형6(7점)은 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최솟값을 묻는다. 셋 다 "움직이는 대상을 고정된 값으로 바꾸는" 발상이 필요하다.
11번(4.3점)은 A−X=∅, B∪X=B를 A⊆X⊆B로 번역하면 2³=8로 즉시 끝나지만, 16번(4.8점)은 −1에서 출발해 −2, 1이 강제로 생성되고 남은 한 자리 원소를 네 가지 경로(c²−3이 −1, −2, 1, c 중 무엇이 되는가)로 분류해야 5가 나온다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
x축·y축에 동시에 접하는 원의 중심을 무조건 (r, r)로 두면 제2·제4사분면 조건이 사라진다. 제2사분면은 (−r, r), 제4사분면은 (r, −r)로 각각 세워야 두 반지름 3(√5−1)/4, 3(√5+1)/4가 나오고 넓이 합이 27π/4가 된다.
넓이 조건은 |y_P|=2/a 이므로 y=2/a와 y=−2/a 두 수평선을 모두 따져야 한다. 한쪽이 원에 접해 1개, 다른 쪽이 2개일 때만 합이 3이다. 아래쪽 접선 경우(a=2√3/3)만 성립하며 위쪽 접선 경우는 총 1개라 조건을 만족하지 않는다.
선분 위의 점이므로 AC+BC=6√2가 고정되고, |AC−BC|=4√2에서 (AC, BC)=(5√2, √2)와 (√2, 5√2) 두 경우가 나온다. C(3, 7)과 C(−1, 3)에서 ab=21, −3이므로 M+m=18. 한 경우만 구하면 답이 21이나 −3으로 어긋난다.
QQ′는 평행이동 거리이므로 Q 위치와 무관하게 항상 1이다. 이를 변수로 남기면 식이 4변수로 늘어난다. 상수 1을 먼저 분리하고 Q′B를 QB″(B″=(−2, 5))로 바꾸면 A′(6, −3)과 B″가 y축 반대편에 있어 추가 대칭 없이 8√2가 최솟값이 된다.
ab=2, a=3−b에서 (a, b)=(2, 1), (1, 2) 두 쌍이 모두 수직·평행 조건을 만족한다. 두 경우 모두 a²+b²=5로 같지만, 한 쌍만 구하고 "다른 해는 없다"고 단정하면 과정 점수에서 감점된다. 평행 조건은 일치하지 않음까지 확인해야 한다.
중심 (2, 3)과 직선 4x+3y+5=0의 거리는 22/5=4.4다. 서로 다른 두 점에서 만나려면 r>4.4이며 등호는 접할 때이므로 제외된다. 양의 정수 최솟값은 5이고, 4.4를 반올림해 4로 답하는 실수가 잦다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 6문항 전부에 「부분점수 있음」이 붙어 있고 서답형1(5점)에는 "반드시 거리 개념을 이용하여 풀이하시오"라는 방법 지정까지 있다. 답만 쓰면 만점을 받을 수 없으므로 직선 AB의 방정식 → 점 C와의 거리 → 넓이 7/2 순으로 근거를 문장으로 남기는 연습을 반복한다.
이 한 공식이 26.5점을 지배한다. ㉮ 평행선 사이 거리 ㉯ 접선 조건(거리=반지름) ㉰ 두 점에서 만날 조건(거리<반지름) ㉱ 삼각형 넓이 ㉲ 원 위의 점까지 최단거리(=중심거리−반지름). 이 다섯 전환을 조건 문장만 보고 즉시 떠올릴 수 있어야 한다.
12번(4.3점) 2가지, 13번(4.7점) 2가지, 15번(4.9점) 2가지, 16번(4.8점) 4가지 — 상 난이도 문항은 예외 없이 케이스 분류를 요구한다. 문제를 읽고 "이 조건에서 갈라질 수 있는 갈래가 몇 개인가"를 먼저 세어 두면 누락으로 인한 실점을 막을 수 있다.
1~6번은 거리 공식·접선 공식·평행이동·집합 기호·평행선 거리·지름 조건의 단일 적용이다. 여기서 시간을 8분 이상 쓰면 뒤쪽 상 30.3점과 서답형 34.0점을 검토할 여유가 사라진다. 기출 6문항 세트를 시간을 재며 반복해 자동화한다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 평면좌표 | 두 점 사이의 거리 | 3.5 | 하 | ② | A(3,1), B(1,−2) → √(2²+3²)=√13 |
| 2 | 원의 방정식 | 기울기가 주어진 원의 접선 | 3.6 | 하 | ① | y=mx±r√(m²+1) → y=2x±5, y절편 양수이므로 y=2x+5 |
| 3 | 도형의 이동 | 점의 평행이동 | 3.5 | 하 | ⑤ | (2,−1)→(−1,3), a+b=2 |
| 4 | 집합 | 원소·부분집합 기호 판별 | 3.5 | 하 | ④ | AC={3,5}이므로 4∈AC가 거짓 |
| 5 | 직선의 방정식 | 두 평행선 사이의 거리 | 3.8 | 하 | ⑤ | |−4−3|/√(1²+2²)=7/√5=7√5/5 |
| 6 | 원의 방정식 | 지름의 양 끝점이 주어진 원 | 3.8 | 하 | ③ | 중심 (1,2)=중점, r=AB/2=5 → a+b+r=8 |
| 7 | 평면좌표 | 각의 이등분선과 내분점 | 4.1 | 중 | ① | AB:AC=5:4 → BD:DC=5:4, D(−7/9, 4/9), 9a+9b=−3 |
| 8 | 평면좌표 | 두 점에서 등거리인 점(축 위) | 4.2 | 중 | ① | P(−1,0), Q(0,1) 각각 따로 세워 구하면 PQ=√2 |
| 9 | 원의 방정식 | 외부의 점에서 그은 두 접선의 x절편 | 4.3 | 중 | ② | 거리=반지름에서 2m²+3m−2=0, m=1/2, −2 → x절편 −5, 5/2 → 합 −5/2 |
| 10 | 도형의 이동 | 대칭이동+평행이동한 직선의 이등분 조건 | 4.1 | 중 | ④ | y=x 대칭 → x+2y−3=0, x축 −1 이동 → x+2y−2=0이 중심 (0,a) 통과 → a=1 |
| 11 | 집합 | 포함관계 조건을 만족하는 집합의 개수 | 4.3 | 중 | ③ | A−X=∅ 및 B∪X=B ⇔ A⊆X⊆B, n(B−A)=3 → 2³=8 |
| 12 | 평면좌표 | 선분 위 점의 거리 차 조건과 최대·최소 | 4.3 | 상 | ④ | AC+BC=6√2, |AC−BC|=4√2 → C(3,7), (−1,3) → M+m=21+(−3)=18 |
| 13 | 원의 방정식 | 두 축에 접하는 원과 직선의 접함 조건 | 4.7 | 상 | ② | 중심 (−r,r)·(r,−r)로 분리 → r=3(√5∓1)/4, 넓이 합 27π/4 → p+q=4+27=31 |
| 14 | 도형의 이동 | 평행이동을 포함한 최단경로 | 4.6 | 상 | ③ | QQ′=1 분리, B를 x축 +1 이동해 B″(−2,5), A를 x축 대칭 A′(6,−3) → 1+8√2 → a+b=9 |
| 15 | 원의 방정식 | 넓이 조건을 만족하는 점의 개수 | 4.9 | 상 | ② | AB=√15a, |yP|=2/a. 아래쪽만 접할 때 3개 → a=2√3/3, P(±2,√3)·(0,−√3), S=4√3, S²=48 |
| 16 | 집합 | 폐쇄 조건으로 원소를 생성하는 집합의 개수 | 4.8 | 상 | ⑤ | −1→−2→1 사슬로 3개 확정, 넷째 원소 c는 ±√2, 2, (1±√13)/2 → 5개 |
| 서답형1 | 직선의 방정식 | 점과 직선 사이의 거리로 삼각형 넓이 | 5 | 중 | 7/2 | 직선 AB: 2x+y−1=0, AB=√5, C까지 거리 7/√5 → 넓이 (1/2)·√5·(7/√5)=7/2 |
| 서답형2 | 직선의 방정식 | 두 직선의 수직·평행 조건 | 6 | 중 | 5 | 수직에서 ab=2, 평행에서 a=3−b → (a,b)=(2,1) 또는 (1,2), 두 경우 모두 a²+b²=5 |
| 서답형3 | 원의 방정식 | 원과 직선이 두 점에서 만날 조건 | 6 | 중 | 5 | 중심 (2,3)과 직선의 거리 22/5=4.4 < r, 양의 정수 최솟값 r=5 |
| 서답형4 | 집합 | 합집합 원소 개수의 활용 | 5 | 중 | 18 | n(A∪B)=50−5=45, n(A∩B)=28+35−45=18 |
| 서답형5 | 집합 | 부분집합 조건에서 실수 값 구하기 | 5 | 중 | a=±2, ±√3 | a²−1∈{0,2,3}, |a|≠1이므로 a²−1=2 또는 3 → a=±√3, ±2 |
| 서답형6 | 도형의 이동 | 평행이동한 포물선의 접선 조건과 자취 | 7 | 상 | (15√2−16)/8 | 판별식 0에서 q=p−7/4 → l: 4x−4y−7=0. 중심 (−1,1)까지 거리 15√2/8에서 반지름 2를 빼면 15√2/8−2 |
학남고 1학년 2025학년도 2학기 중간고사는 선택형 16문항 66.0점, 서답형 6문항 34.0점을 합한 총 22문항 100점 시험이다. 서답형이 배점의 34.0%를 차지해 답보다 과정이 성적을 가르는 구조다. 단원별 배점은 원의 방정식 6문항 27.3점, 집합 5문항 22.6점, 도형의 이동 4문항 19.2점, 평면좌표 4문항 16.1점, 직선의 방정식 3문항 14.8점 순이다. 난이도는 하 6문항 21.7점, 중 10문항 48.0점, 상 6문항 30.3점으로, 1~6번에 '하' 6문항을 그대로 배치해 초반 속도를 확보시킨 뒤 12번(4.3점)부터 16번(4.8점)까지 상 난이도를 연속 배치하고 서답형6(7점, 최고배점)으로 닫는 후반 집중형 설계다.
이 시험을 관통하는 첫 축은 점과 직선 사이의 거리다. 5번(3.8점), 13번(4.7점), 서답형1(5점), 서답형3(6점), 서답형6(7점) 다섯 문항 26.5점이 모두 이 한 공식에서 출발한다. 두 번째 축은 조건에서 미지수를 거꾸로 확정하는 역추적형으로 10번(4.1점), 13번(4.7점), 15번(4.9점), 서답형3(6점), 서답형6(7점) 26.7점이 여기 속한다. 최고배점인 서답형6(7점)은 판별식으로 q=p−7/4를 얻어 자취 직선을 세우고 다시 원의 중심과 그 직선의 거리에서 반지름을 빼는 3단 구조를 요구하고, 15번(4.9점)은 "점 P의 개수가 3"이라는 조건을 위·아래 두 수평선의 접선 케이스로 나눠야 a가 결정된다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식 암기가 아니라 조건을 거리·개수·경우의 수로 다시 번역하는 힘이다.
학부모 관점에서 이 시험은 계산 실수보다 해석 실수가 점수를 깎는 시험이다. 앞쪽 6문항 21.7점은 교과서 예제 수준이라 중상위권이면 대부분 확보하고, 실제 등급은 상 난이도 6문항 30.3점과 서답형 34.0점에서 갈린다. 시험지에는 서답형 여섯 문항 모두 "부분점수 있음"이 명시되어 있고 서답형1(5점)에는 "반드시 거리 개념을 이용하여 풀이하시오"라는 방법 지정까지 붙어 있다. 답이 맞아도 근거를 적지 않으면 점수를 온전히 받지 못하고, 지정된 방법을 쓰지 않으면 정답이어도 감점된다는 뜻이다. 따라서 실점 원인은 계산력이 아니라 조건 독해력과 서술력에서 찾아야 한다.