1번(₅P₃+₆C₂)과 11번(조합의 성질)처럼 공식 그대로 쓰는 문항은 초반 일부뿐이다. 9번은 반원 위 9개 점 중 지름 위 5개가 한 직선에 놓인다는 사실을 잡아야 반직선·삼각형 개수가 맞고, 12번은 (모음 이웃) − (모음 이웃 ∧ M·N 이웃)의 여사건 구조를 세워야 하며, 서답형4-(3)은 3의 배수 조건과 자릿수 조건을 동시에 만족시키는 조합을 일일이 확인해야 한다.
6번 x³−ax²+2ax−8=0은 a값과 무관하게 x=2가 항상 근이라는 점을 발견해야 (x−2)(x²+(2−a)x+4)=0으로 내려가고, 그제서야 “서로 다른 두 허근” 조건이 판별식 D<0으로 번역된다. 7번은 ω³=1, ω²+ω+1=0을 써서 차수를 낮추는 전형이며, 서답형6은 사차식 두 개의 합과 차를 분리해 인수 구조를 복원하는 최고난도 문항이다.
3번(절댓값 부등식)만 기본형이고, 13번은 “한 부스가 비게 된다”를 5(n−2)<3n+8≤5(n−1)이라는 연립부등식으로 번역해야 하며, 15번은 두 이차부등식의 해를 a의 부호별로 나눠 “정수해가 0개”가 되는 a의 경계를 찾는 최고난도 문항이다. 서답형5도 f((k−x)/3)≤0 형태의 치환된 부등식을 다룬다.
2번(A+2B=O), 4번(행렬의 상등), 8번(AB의 모든 성분의 합), 서답형2(성분 식으로 정의된 A, B에서 BA 구하기)로 거듭제곱·규칙성 같은 고난도 융합 문항이 하나도 없다. 다만 8번은 성분 합이 5x²−2x−16<0이라는 이차부등식으로 연결되고, 서답형2는 k를 먼저 구한 뒤 BA(순서 주의)를 계산해야 한다.
서답형1(경로의 수, 4점)·서답형2(행렬, 4점)·서답형3(두 원의 반지름, 6점)까지 14점은 표준 유형으로 전부 확보 가능한 구간이다. 반면 서답형4(10점)·서답형5(7점)·서답형6(9점)의 26점이 실질 변별 구간이며, 특히 서답형6은 조건 (가)~(라)를 모두 써야 f−g=x(x−2)(x−3)이 나오는 다단계 문항이다.
문항은 “x+2y≤z (z<9)를 만족하는 순서쌍 (x,y,z)의 개수”를 묻지만, 표기 그대로 z=0~8을 모두 합산하면 95가 나와 선택지(9·15·20·25·31)에 존재하지 않는다. 선택지가 모두 “x+2y≤n인 (x,y) 개수” 계열 수치(n=4→9, 7→20, 8→25)로 구성된 점으로 보아 출제 의도는 x+2y≤8인 (x,y)의 개수 25(④)로 판단된다. 실전에서는 조건을 정확히 읽은 학생일수록 답을 못 찾고 시간을 소모하게 되는 구조이므로, 학교 공식 정답을 반드시 대조해야 한다.
지름 위의 5개 점은 한 직선 위에 있으므로 삼각형을 만들지 못하고(₅C₃=10을 빼야 함), 동시에 반직선도 9×8=72개가 그대로 나오지 않는다. 한 직선 위 5개 점이 만드는 반직선은 20개가 아니라 8개뿐이다. 두 보정 중 삼각형만 빼고 반직선을 72개로 두면 정답에서 크게 벗어난다.
x³−ax²+2ax−8=0은 a로 묶으면 a(−x²+2x)+(x³−8)=0이 되어 a에 관계없이 x=2가 근임이 드러난다. 이걸 놓치면 삼차방정식을 그래프로 다루려다 시간을 통째로 날린다. 또한 “서로 다른 두 허근”이므로 D≤0이 아니라 D<0임에 주의해야 한다.
(x−a)(x−4a)<0의 해는 a>0이면 a<x<4a지만 a<0이면 4a<x<a로 대소가 뒤집히고, a=0이면 해가 없다. “최댓값과 최솟값의 합”을 묻는 문제이므로 음수 쪽 경계를 놓치면 최솟값 자체를 구할 수 없다.
“5명씩 배정하면 한 체험 부스가 빈다”는 것은 “(n−2)개 부스는 꽉 차고, (n−1)번째 부스에는 1명 이상 5명 이하가 들어간다”는 뜻이다. 이를 5(n−2)<3n+8≤5(n−1)로 정확히 번역하지 못하면 등호 위치가 어긋나 경계값 n이 한두 개 더 붙거나 빠진다.
서답형2는 문제가 BA를 요구한다. 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않으므로 습관적으로 AB를 계산하면 전부 오답이다. 서답형5는 (나)에서 구한 k값을 (다)의 우변 −16k에 반드시 대입해야 a에 대한 부등식이 완성되는데, 이 연결을 놓치면 이차항 계수 a를 확정할 수 없다.
도형 세기(9번), 문자열 배열(12번), 자릿수 조건(서답형4-(3))은 모두 여사건·중복 제거가 본질이다. 점·선 문제에서는 “한 직선 위 3점 이상”을 먼저 표시하고, 배열 문제에서는 묶음 처리 후 내부 순열을 빠뜨리지 않는 훈련을 반복한다.
a가 섞인 고차방정식은 무조건 a에 관해 내림차순 정리해 상수근을 먼저 뽑는다. x³=1의 허근 ω는 ω³=1, ω²+ω+1=0 두 식을 즉시 꺼내 쓰도록 암기하고, 고차식 나눗셈은 조립제법 속도를 초시계로 측정해 끌어올린다.
이번 시험 최고난도인 15번·13번은 모두 “조건을 부등식으로 번역하는 단계”에서 승부가 났다. 문장형 조건(“남는다”, “비게 된다”, “정수해가 0개”)을 부등호와 등호 위치까지 정확히 옮겨 적는 연습을 별도 세트로 훈련해야 한다.
행렬 4문항(15.2점)에는 함정형이 없어 전부 맞히는 것이 표준이다. 여기에 서답형1~3(14점)을 더한 약 29점을 30분 안에 선점하고, 남은 시간을 15번·서답형4·5·6에 배분하는 운영표를 실전 모의로 미리 몸에 익힌다. 서답형은 답만 맞아도 과정이 없으면 감점이다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 경우의수 | ₅P₃+₆C₂의 값 | 3.5 | 하 | 순열·조합 공식에 그대로 대입해 60+15로 계산 |
| 2 | 행렬 | A+2B=O를 만족하는 a, b와 ab의 값 | 3.5 | 하 | 대응 성분끼리 2+2a=0, 4+2b=0을 세워 a, b를 각각 결정 |
| 3 | 부등식 | |x+2|≤3의 해가 a≤x≤b일 때 a+b | 3.5 | 하 | −3≤x+2≤3으로 풀어 −5≤x≤1을 얻고 양 끝을 더함 |
| 4 | 행렬 | 2×2 행렬의 상등 A=B를 만족하는 실수 x | 3.5 | 중 | x²=4x+12와 2x=x²−24를 각각 풀고 두 해집합의 공통값만 취함 |
| 5 | 방정식 | 연립이차방정식 x+y=2, x²+y²=10의 해와 α−2β | 3.8 | 중 | 합·제곱합에서 곱 xy를 구해 t²−2t−3=0으로 치환, 양수 쪽을 α로 지정 |
| 6 | 방정식 | 삼차방정식이 실근 1개와 서로 다른 두 허근을 갖는 정수 a의 개수 | 3.8 | 상 | a로 묶어 x=2가 항상 근임을 찾고, 남은 이차식의 판별식 D<0에서 정수 a를 셈 |
| 7 | 방정식 | x³−1=0의 허근 ω와 5ω⁴+4ω³+2ω²=aω+b | 3.8 | 중 | ω³=1로 차수를 낮춘 뒤 ω²=−ω−1을 대입해 aω+b 꼴로 정리 |
| 8 | 행렬 | AB의 모든 성분의 합이 0보다 작게 하는 정수 x의 개수 | 4.2 | 중 | 네 성분을 모두 구해 합을 x의 이차식으로 정리한 뒤 이차부등식의 정수해를 셈 |
| 9 | 경우의수 | 반원 위 9개 점으로 만드는 반직선 수 a, 삼각형 수 b | 4.2 | 상 | 지름 위 5점이 공선임을 이용해 반직선은 개수 축소, 삼각형은 ₅C₃ 제외로 이중 보정 |
| 10 | 경우의수 | 504의 양의 약수 중 짝수의 개수 | 4.2 | 중 | 504=2³×3²×7로 소인수분해 후 2의 지수를 1 이상으로 제한해 곱의 법칙 적용 |
| 11 | 경우의수 | ₙC₇=₉C_(r−3)+₉C_(r−2)를 만족하는 n+r의 최댓값 | 4.3 | 중 | 파스칼 법칙으로 우변을 ₁₀C_(r−2)로 합친 뒤 좌우 조합수가 같아지는 (n, r)을 모두 나열 |
| 12 | 경우의수 | SUPERMAN 배열 — 모음 이웃 & M·N 비이웃, a×6!의 a | 4.3 | 상 | 모음 3개를 한 묶음으로 본 전체에서 M·N까지 이웃한 경우를 빼는 여사건 구조로 계산 |
| 13 | 부등식 | 체험 부스 배정(3명씩 8명 남음 / 5명씩 한 부스 빔), 부스 수의 합 | 4.4 | 상 | 학생 수를 3n+8로 두고 “한 부스가 빈다”를 5(n−2)<3n+8≤5(n−1)로 번역해 자연수 n을 결정 |
| 14 | 경우의수 | 음이 아닌 정수 x, y, z에서 x+2y≤z (z<9)인 순서쌍의 개수 | 4.4 | 상 | z=0~8로 케이스를 나눠 각 z에서 x+2y≤z인 (x,y) 개수를 y값별로 세어 합산. ※ 문항 표기대로 (x,y,z)를 세면 95로 선택지에 없음 — 출제 의도는 x+2y≤8인 (x,y)의 개수 25(④)로 판단됨(문항 오류 추정) |
| 15 | 부등식 | 연립이차부등식의 정수해가 0개가 되는 실수 a의 최댓값+최솟값 | 4.6 | 상 | (x−a)(x−4a)<0, (x−3)(x+2a)>0으로 인수분해 후 a의 부호별로 분기해 정수 격자가 비는 경계를 탐색 |
| 서답형1 | 경우의수 | 집·학교·도서관·공원 연결망에서 집→공원 경로의 수 (서술형) | 4 | 중 | 집–공원 3개, 집–학교 2개, 공원–학교 1개, 공원–도서관 2개, 학교–도서관 4개, 집–도서관 0개. 직행 3 + (학교 경유) 2×1 + (학교→도서관 경유) 2×4×2 = 21 |
| 서답형2 | 행렬 | 성분 식 a_ij, b_ij로 정의된 A, B에서 A+B의 성분 합이 23일 때 BA (서술형) | 4 | 중 | 네 성분을 모두 구해 합을 k의 일차식으로 정리 → k 결정 → 순서를 지켜 BA를 계산 |
| 서답형3 | 방정식 | 둘레 합 10π, 넓이 합 17π인 두 원의 반지름의 차 (서술형) | 6 | 중 | r₁+r₂=5, r₁²+r₂²=17에서 곱 r₁r₂를 구하고 (r₁−r₂)²=합²−4곱으로 차를 산출 |
| 서답형4 | 경우의수 | 0~5 카드 — (1)네 자리 수 (2)0 제외 네 자리 수 (3)3의 배수+자릿수 조건 세 자리 수 (서술형) | 10 | 상 | (1)(2)는 맨 앞자리 0 제외 규칙으로 기본 순열, (3)은 합이 3의 배수인 세 수의 조합을 전부 나열한 뒤 각 조합에서 짝/홀 배치를 따짐 |
| 서답형5 | 부등식 | 조건 (가)(나)(다)를 만족하는 이차함수의 f(3) (서술형) | 7 | 상 | (가)로 f(x)=a(x²−4) 설정 → (나)의 치환 부등식 해 구간에서 k 결정 → (다)를 판별식 조건으로 바꿔 자연수 a 확정 |
| 서답형6 | 방정식 | 조건 (가)~(라)의 사차·이차다항식에서 f(x)=0의 정수근 개수 (서술형) | 9 | 상 | h₁·h₂를 x(x−p) 꼴로 두고 f−g를 (x−2)²로 나눈 Q+R 조건으로 f−g를 확정, f+g는 근 0·2·3으로 구성 후 f를 복원해 근을 나열 |
이번 학남고등학교 1학년 공통수학1 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 15문항 60점, 서답형 6문항 40점, 총 21문항 100점으로 구성되었다. 선택형 배점이 3.5점부터 4.6점까지 0.1점 단위로 세분되어 있다는 점이 눈에 띄는데, 이는 문항 하나하나의 난이도 차를 배점에 그대로 반영하겠다는 출제 의도로 읽힌다. 단원별로는 경우의 수(순열·조합)가 8문항 38.9점으로 전체의 약 39%를 차지해 압도적 1위이고, 방정식 5문항 26.4점, 부등식 4문항 19.5점, 행렬 4문항 15.2점이 뒤를 잇는다. 난이도 분포는 상 9문항 51.7점, 중 9문항 37.8점, 하 3문항 10.5점으로, 고난도가 배점의 절반을 넘는 변별 중심 시험이다. 특히 ‘하’ 난이도가 1·2·3번 세 문항(10.5점)에 불과해, 4번부터는 사실상 전 문항이 중 이상이라는 점이 이번 시험의 체감 난도를 크게 끌어올렸다.
출제 특징은 “공식을 아는가”가 아니라 “조건을 식으로 정확히 번역하고, 빠뜨린 경우를 스스로 찾아내는가”를 집요하게 묻는다는 점이다. 9번은 반원 위 9개 점 중 지름 위 5개가 한 직선에 놓인다는 사실을 잡아 반직선과 삼각형 양쪽 모두를 보정해야 하고, 6번은 a에 관해 묶어 x=2가 항상 근임을 발견해야 비로소 판별식 조건으로 내려간다. 최고난도인 15번은 (x−a)(x−4a)<0의 해가 a의 부호에 따라 대소가 뒤집힌다는 점을 인지해야 최솟값을 구할 수 있고, 13번은 “한 부스가 비게 된다”는 한국어 서술을 등호 위치까지 정확한 연립부등식으로 옮겨야 한다. 서답형에서는 4번(10점)·5번(7점)·6번(9점)의 26점이 실질 변별 구간으로, 그중 서답형6은 조건 (가)~(라)를 모두 동원해 f−g와 f+g를 각각 복원한 뒤 f를 재구성하는 3~4단계 논증형이라 이번 시험 최고난도로 판단된다. 반면 행렬 4문항에는 거듭제곱·규칙성 같은 함정형이 없어 15.2점 전체가 안정적 득점 구간이라는 점도 함께 짚어둘 만하다.
학부모님께는 이번 시험이 문제 풀이량보다 “조건 해석력”과 “경우 분류의 빈틈 없음”에 좌우되는 구조였다는 점을 안내드린다. 단순 반복 연산을 아무리 늘려도 9·13·15번 같은 문항은 해결되지 않으며, 문장을 식으로 옮기는 훈련이 성적을 가른다. 학생들에게는 서답형 전 문항에 부분점수가 있으므로 못 푸는 문항도 “조건 해석 → 식 세우기”까지는 반드시 적어 제출할 것을 강조해야 한다. 다음 학습 사이클은 4주 커리큘럼으로 편성할 것을 권장한다. 1주차 — 경우의 수 중복 제거 집중(도형 위 점으로 만드는 직선·삼각형, 이웃 조건 배열, 자릿수 조건 20문제). 2주차 — 부등식 조건 번역 훈련(“남는다/비게 된다/정수해 개수” 문장형 20문제 + 문자 부호 분기 연습). 3주차 — 고차방정식 인수 발견과 근의 판별(문자 계수 정리, 조립제법 속도 측정, x³=1의 허근 성질 완전 암기). 4주차 — 서답형 실전 서술 첨삭(행렬 BA 순서 확인, 다항식 조건 종합형, 시간 배분 모의 2회). 행렬 15.2점과 서답형1~3의 14점을 합한 약 29점을 30분 내 선점하는 시험 운영표를 함께 만들어 두면, 남은 시간을 고난도 문항에 집중 투입할 수 있다.