3·7·8·12·13·15번이 등차·등비 일반항과 합, 4·5·9번이 ∑ 계산(치환·유리화·부분분수), 16번이 귀납적 정의, 서답형3이 Sn↔an, 서답형5가 수학적 귀납법, 서답형6이 실생활 점화식이다. 수열 소단원 중 비어 있는 칸이 사실상 없다. 한 영역만 비워두면 최소 4점 이상이 그대로 날아간다.
1번은 원의 넓이 9π에서 R=3, 14번은 외접원 둘레 4π에서 R=2, 17번은 R=2√2가 주어진다. 세 문항 모두 R을 먼저 확보한 뒤 a=2R sin A로 변과 각을 연결하는 구조다. 2·11번은 코사인법칙으로 변↔각을, 서답형2는 사인·코사인법칙을 동시에 변으로 환원하는 논증형이다.
6번은 sin(π+x)=-sin x, cos(π/2+x)=-sin x로 두 항을 같은 문자로 묶어 -2sin x=√3을 만드는 문제이고, 10번은 sin²x=1-cos²x로 통일한 뒤 t=cos x(-1≤t≤1)인 이차함수 최대·최소로 바꾸는 전형이다. 서답형4도 tanθ+1/tanθ를 통분해 1/(sinθcosθ)로 압축하는 ‘한 덩어리 만들기’가 전부다.
서답형5는 (1)n=1 확인 2점, (2)[단계1]가정식 1점 / [단계2]더할 항 1점 / [단계3]연산 서술 2점, (3)결론 1점으로 배점이 문항 안에서 6조각으로 쪼개져 있고, 서답형6도 (1)a1 2점 / (2)점화식 2점 / (3)5년 후 4점으로 나뉜다. 서답형2는 아예 “어떤 삼각형인지 그 이유와 함께 서술하시오”로 논증 자체가 채점 대상이다.
15번의 a4×a5≤0(→a1∈{6,7,8}로 한정), 12번의 a7+a9=0(→a8=0), 16번의 an>0 / an≤0 분기, 17번의 ‘예각삼각형’ 단서까지 부등호·등호가 붙은 짧은 조건 하나가 경우의 수를 결정한다. 이 조건을 흘려 읽으면 문제가 통째로 열리지 않는다.
Sn=n²+3에서 n≥2일 때 an=2n-1이지만, 상수항 3 때문에 a1=S1=4로 공식에서 벗어난다. n=1을 분리하지 않으면 a1=1로 착각해 a1+a3을 6으로 답하게 된다. 정답은 4+5=9이며, “n=1은 따로, n≥2는 공식으로”를 서술에 명시하지 않으면 답이 맞아도 감점 소지가 있다.
식을 정리하면 3r²+2r-1=0, 즉 r=1/3과 r=-1 두 값이 모두 유효하다. 문제가 요구한 것은 “가능한 모든 a4의 값의 곱”이므로 두 경우(2/9와 -6)를 모두 구해 곱해야 -4/3이 나온다. 한 근만 취하면 선택지 안의 다른 값에 그대로 걸린다.
a4=-2/3에서 역추적할 때 매 단계가 두 갈래로 갈라지는데, 얻어낸 값이 그 단계의 조건(an>0인지 an≤0인지)을 실제로 만족하는지 확인하지 않으면 가짜 해가 섞인다. 예컨대 a2=4/3에서 “a1≤0” 갈래로 가면 a1=1이 나오는데 1>0이므로 모순이라 버려야 한다. 이 한 개를 버리지 못하면 합이 어긋난다.
삼각형 OAB·OAC는 두 변이 모두 반지름으로 같으므로, 넓이의 비는 곧 중심각의 사인값의 비다. 여기에 BC=4에서 sin A=1/√2, 즉 ∠BOC=90°를 얻어 ∠AOB+∠AOC=270°라는 관계까지 세워야 비로소 풀린다. “넓이비=밑변비”로 잘못 잡으면 전혀 다른 값이 나온다.
“이등변삼각형”이라는 답만 적으면 7점 중 대부분을 잃는다. 사인법칙(sin A=a/2R)과 코사인법칙을 모두 변 a, b, c로 환원해 a²=b², 즉 a=b임을 유도하는 과정이 채점의 본체다. 문제가 “그 이유와 함께 서술하시오”로 못 박은 만큼, 논증 없는 정답은 정답으로 취급되지 않는다.
an+1=0.98an+3을 세운 뒤 an-150=(a0-150)×0.98n 꼴로 변형해야 제시된 0.985=0.9를 한 번에 대입할 수 있다(답 195만 명). 변형 없이 199 → 198.02 → …로 다섯 번 직접 계산하면 시간도 잃고 반올림 오차까지 겹친다. 4점짜리 마지막 문항에서 가장 흔한 실점 지점이다.
∑ 문제를 보면 치환형(4번) / 유리화형(5번) / 부분분수형(9번) 중 어디인지 3초 안에 판단하는 훈련을 한다. Sn이 주어지면 반드시 n=1을 따로 확인하고, 귀납적 정의는 조건 분기마다 검산하는 습관을 들인다.
문제를 읽자마자 외접원 반지름 R부터 확보하고, a=2R sin A로 변과 각을 잇는다. sin의 비는 즉시 변의 비로 바꾸고, 넓이는 (1/2)bc sin A 하나로 통일해 세 공식이 한 흐름으로 연결되도록 정리해 둔다.
a7+a9=0은 곧 a8=0(12번), 네 수가 등차면 첫항·끝항으로 공차 확보(13번)처럼 대칭적으로 주어진 조건은 중항 성질로 한 번에 접는다. 절댓값이 붙은 조건은 부호로 구간을 나눠 정리한다.
서답형5·6처럼 소문항 배점이 명시된 문제는 배점 옆에 “몇 줄을 써야 하는지”가 적혀 있는 것과 같다. 가정식·더할 항·결론 문장을 빠뜨리지 않고, 막히더라도 앞 단계까지는 반드시 기술해 부분점수를 확보한다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 삼각형활용 | 넓이 9π인 외접원, A=30°일 때 BC | 2.8 | 하 | 원의 넓이에서 R=3을 먼저 구한 뒤 사인법칙 BC=2R sin A에 바로 대입 |
| 2 | 삼각형활용 | sin A:sin B:sin C=2:3:4에서 cos A | 2.8 | 하 | 사인법칙으로 a:b:c=2:3:4로 바꾼 뒤 코사인법칙 공식에 그대로 대입 |
| 3 | 등차등비 | log₂a₅=4인 등비수열의 제10항까지의 합 | 2.8 | 중 | a₅=16=r⁴에서 ‘모든 항이 양수’ 조건으로 r=2를 확정한 뒤 등비수열 합 공식 적용 |
| 4 | 수열의합 | aₙ=n²+n일 때 ∑a₂ₙ | 2.8 | 중 | a₂ₙ=4n²+2n으로 먼저 치환하고 ∑n²·∑n 공식으로 분리해 계산 |
| 5 | 수열의합 | 1/(1+√3)+…+1/(√79+√81)의 값 | 2.8 | 중 | 각 항 분모를 유리화하면 (√(2k+1)-√(2k-1))/2 꼴이 되어 중간항이 모두 소거되는 망원합 |
| 6 | 삼각방정식 | sin(π+x)+cos(π/2+x)=√3의 두 근의 차 | 3.5 | 중 | 각의 변환으로 두 항을 -sin x로 통일해 sin x=-√3/2, 0≤x<2π의 두 해를 찾아 차를 구함 |
| 7 | 등차등비 | aₙ=-4n+33인 등차수열의 Sₙ 최댓값 | 3.5 | 중 | aₙ≥0을 만족하는 마지막 항(n=8)까지 더한 값이 최대임을 이용해 S₈ 계산 |
| 8 | 등차등비 | 3a₃/a₂+2=a₆/a₇에서 가능한 a₄의 곱 | 3.5 | 중 | 식을 공비 r로 정리해 3r²+2r-1=0을 얻고, 두 근을 모두 a₄=6r³에 대입해 곱을 구함 |
| 9 | 수열의합 | ∑1/(a_k a_{k+1})=8/25일 때 자연수 m | 3.5 | 중 | (1/3)(1/a_k-1/a_{k+1})로 부분분수 분해하면 망원합이 되어 m에 대한 일차방정식으로 환원 |
| 10 | 삼각방정식 | y=sin²x-2cos x+3의 M-m | 3.5 | 중 | sin²x=1-cos²x로 통일 후 t=cos x(-1≤t≤1) 치환, 이차함수의 꼭짓점과 구간 끝값을 비교 |
| 11 | 삼각형활용 | 평행사변형 ABCD의 두 대각선 곱 AC×BD | 3.5 | 중 | ∠DAB=120°에서 ∠ABC=60°를 얻어 코사인법칙을 두 번 적용, 곱을 (4-√3)(4+√3)로 묶어 정리 |
| 12 | 등차등비 | a₇+a₉=0, |a₆|+|a₁₀|=8에서 |a_k|=10인 k의 합 | 4 | 중 | a₇+a₉=2a₈=0에서 a₈=0을 잡고 |a₆|+|a₁₀|=4d=8로 d=2, |2(k-8)|=10을 풀어 두 k를 더함 |
| 13 | 등차등비 | 3log₂3, log₂x², log₂xy², 12가 등차수열일 때 x+y | 4 | 상 | 첫항·넷째항으로 공차를 먼저 구하고, 각 항을 log₂(한 덩어리)로 묶어 진수를 비교해 x, y를 순서대로 확정 |
| 14 | 삼각형활용 | 외접원 둘레 4π, 두 조건을 만족하는 삼각형의 넓이 | 4 | 상 | sin A:sin B=1:2와 cos B=cos C(→b=c)로 a:b:c=1:2:2를 얻고, 코사인법칙→sin A→사인법칙으로 실제 변의 길이를 확정 |
| 15 | 등차등비 | 공차 -2, a₄a₅≤0, |a₁-a_k|=4|a_k|에서 a₁+a_k | 4 | 상 | a₄a₅≤0으로 a₁을 6·7·8로 한정한 뒤, 절댓값 조건을 k의 구간별로 나눠 자연수 해가 나오는 경우만 채택 |
| 16 | 수열의합 | 조건부 귀납적 정의, a₄=-2/3일 때 a₁ 값들의 합 | 4.5 | 상 | a₄에서 거꾸로 한 단계씩 두 갈래로 분기시키되, 매 단계 얻은 값이 해당 조건(aₙ>0 / aₙ≤0)을 만족하는지 검산해 가짜 해를 제거 |
| 17 | 삼각형활용 | 원에 내접한 예각삼각형, S₁:S₂=4:3, BC=4에서 AB² | 4.5 | 상 | sin A=BC/2R로 ∠BOC=90°를 확정해 ∠AOB+∠AOC=270°를 세우고, 넓이비=중심각 sin의 비로 각을 역산해 AB²를 계산 |
| 서답형1 | 삼각방정식 | 2x²-ax+1=0의 두 근이 sinθ, cosθ일 때 양수 a (서술) | 6 | 중 | 근과 계수의 관계로 합=a/2, 곱=1/2를 쓰고 (sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ에 대입해 a를 구하는 과정을 서술 |
| 서답형2 | 삼각형활용 | sin B·cos A=cos B·sin A인 삼각형의 모양과 이유 (서술) | 7 | 상 | 사인법칙·코사인법칙을 모두 변 a,b,c로 환원해 정리하면 a²=b², 즉 a=b인 이등변삼각형임을 논증까지 기술 |
| 서답형3 | 수열의합 | Sₙ=n²+3일 때 일반항 aₙ과 a₁+a₃ (서술) | 6 | 중 | n≥2에서 aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n-1, a₁=S₁=4는 공식에서 벗어나므로 반드시 분리해 서술한 뒤 a₁+a₃=9 |
| 서답형4 | 삼각방정식 | sinθ, 1/2, cosθ가 등비수열일 때 tanθ+1/tanθ (서술) | 6 | 중 | 등비중항으로 sinθcosθ=1/4를 얻고, 통분하면 (sin²+cos²)/(sinθcosθ)=1/(sinθcosθ)로 압축 |
| 서답형5 | 수열의합 | 2+4+…+2n=n(n+1)의 수학적 귀납법 증명 (서술) | 7 | 중 | (1)n=1 확인 (2)n=k 가정식 양변에 2(k+1)을 더해 (k+1)(k+2) 꼴로 정리 (3)모든 자연수 n에서 성립한다는 결론 문장까지 단계별로 기술 |
| 서답형6 | 수열의합 | 매년 2% 감소+3만 유입 인구의 점화식과 5년 후 인구 (서술) | 8 | 상 | a₁=200×0.98+3=199, aₙ₊₁=0.98aₙ+3을 세운 뒤 aₙ-150=50×0.98ⁿ 꼴로 변형해 0.98⁵=0.9를 한 번에 대입(195만 명) |
이번 학남고등학교 2학년 대수 2026학년도 1학기 기말고사는 총 23문항 100점(선택형 17문항 60점, 서답형 6문항 40점)으로 구성되었다. 출제 범위는 삼각함수와 수열 두 단원이며, 배점 기준으로 수열 13문항 56.4점, 삼각함수 10문항 43.6점으로 약 56:44의 비율을 보였다. 영역을 더 잘게 나누면 수열의 합·귀납적 정의·수학적 귀납법이 34.6점으로 최대 비중을 차지했고, 사인·코사인법칙을 쓰는 삼각형의 활용이 24.6점, 등차·등비수열이 21.8점, 삼각방정식·최대최소가 19점으로 뒤를 이었다. 난이도는 상 7문항 36점, 중 14문항 58.4점, 하 2문항 5.6점으로, 이른바 ‘버리는 문제’ 없이 중급 이상이 94.4점을 차지하는 구조다. 선택형 배점이 2.8점(5문항)·3.5점(6문항)·4점(4문항)·4.5점(2문항)으로 촘촘하게 차등화되어 있어, 실수 한 문항의 무게가 크지 않은 대신 고배점 후반부와 서답형에서 점수 차가 벌어지도록 설계되었다.
이번 시험의 가장 뚜렷한 특징은 수열 소단원 중 비어 있는 칸이 거의 없다는 점이다. 등차·등비 일반항(7·8번), ∑ 계산의 세 유형인 치환(4번)·유리화(5번)·부분분수(9번), Sn↔an 관계(서답형3), 조건부 귀납적 정의(16번), 수학적 귀납법(서답형5), 실생활 점화식(서답형6)까지 교과서 목차를 그대로 훑어 출제했다. 삼각함수 쪽에서는 외접원 반지름 R이 모든 문제의 출발점으로 반복 등장해(1·14·17번), R을 확보하고 a=2R sin A로 변과 각을 잇는 연결 훈련이 되어 있는지를 묻는다. 실질적인 변별은 13·14·15·16·17번(21점)과 서답형2·6(15점)에서 발생한다. 특히 17번은 넓이의 비를 중심각 sin의 비로 읽고 ∠AOB+∠AOC=270°를 세워야 열리는 고난도 융합형이고, 16번은 역추적 과정에서 조건 검증을 한 번만 빠뜨려도 가짜 해가 섞이도록 설계되었다. 서답형3의 ‘a1=S1=4 분리’와 8번의 ‘두 공비를 모두 취하기’는 중위권이 가장 많이 놓치는 지점이다.
학부모님께는 이번 시험이 특정 유형 몇 개를 반복 연습해 대비할 수 있는 형태가 아니라, 수열 전 소단원과 삼각형의 활용 전반을 빠짐없이 채워야 점수가 나오는 ‘범위 완주형’ 시험이었다는 점을 안내드린다. 또한 서답형이 40점으로 전체의 40%이고, 서답형5·6은 소문항 배점까지 문제지에 명시되어 있어 정답을 몰라도 앞 단계만 정확히 쓰면 절반 이상을 확보할 수 있다는 사실을 학생이 인식하는 것이 중요하다. 학생에게 처방하는 다음 4주 학습 사이클은 다음과 같다. ① 1주차 — 수열의 합 도구 분류: 치환·유리화·부분분수 ∑ 문제 30제를 ‘어떤 도구를 쓸지 3초 판단’ 방식으로 반복하고, Sn↔an 문제는 n=1 분리를 매번 소리 내어 확인한다. ② 2주차 — 귀납적 정의와 귀납법: 조건 분기형 점화식 15제를 역추적으로 풀며 매 단계 조건 검산을 표로 정리하고, 귀납법 증명은 [가정식-더할 항-연산-결론] 4줄 양식을 암기 수준으로 굳힌다. ③ 3주차 — 삼각형의 활용: R을 먼저 구하는 문제 20제로 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 한 흐름으로 연결하고, 서답형2 같은 ‘모양 판정 논증’을 직접 문장으로 써 보는 훈련을 병행한다. ④ 4주차 — 실전 서술 첨삭: 이번 기출 서답형 6문항을 시간을 재고 다시 푼 뒤, 배점 조각별로 자기 답안을 채점해 보는 부분점수 자가진단을 실시한다. 특히 서답형6 유형(고정점을 찾아 등비형으로 변형하는 실생활 점화식)은 다음 시험에도 재출제 가능성이 높아 별도 집중 지도가 필요하다.