20문항 100점 중 이산확률분포가 35.6점으로 가장 크고, 경우의 수(순열과 조합·이항정리)가 32.5점으로 뒤를 잇는다. 선택형은 번호 순으로 배점이 올라가며 상 문항이 11·13·14·15번과 서답형5에 몰려 있고, 서답형 5문항은 모두 부분 점수가 있는 서술형이다.
선택형 15문항(3.2~4.8점) + 서답형 5문항(4~10점) · 서답형은 전 문항 부분 점수 채점
확률분포(이산 35.6점 + 연속 17.2점)가 절반을 넘고, 경우의 수 영역(순열과 조합·이항정리)이 32.5점을 차지한다.
계산이 43.8%로 가장 크다(대표: 5·7번·서답형4). 문제해결 27.3%는 13·15번과 서답형3·서답형5의 상황 모델링에 걸려 있다.
이번 시험의 출제 축
5번은 확률분포표에서 $a$를 구한 뒤 $\mathrm{V}(X)$를, 6번은 $Y=aX+b$의 평균·표준편차를, 7번은 이항분포에서 $\mathrm{E}(X^2)$를 묻는다. 서답형4(10점)는 확률질량함수의 상수 $k$부터 평균·분산·표준편차까지 한 줄기로 서술하게 한다.
14번 감소하지 않는 함수의 개수와 서답형3 최소 개수 조건이 붙은 과일 분배가 모두 중복조합으로 귀결되고, 1번은 그 기호 $_{6}\mathrm{H}_{3}$의 값을 먼저 확인한다. 14번은 치역에 4가 반드시 들어가는 조건 때문에 경우를 나눠야 한다.
8번은 처음부터 주어진 정규분포를 표준화하는 문항이고, 15번은 주사위 이동 규칙을 이항분포로 옮긴 뒤 정규근사하며, 서답형5(2)는 $n=100$일 때 같은 근사 과정을 서술하게 한다. 세 문항 모두 시험지에 표준정규분포표가 주어진다.
10번은 $x=5$에 대한 대칭으로 $\mathrm{P}(8\le X\le10)=\mathrm{P}(0\le X\le2)$를 끌어내고, 11번은 확률이 최대가 되는 구간에서 평균 $m=12$를 찾은 뒤 $g(x)=f(x+5)$의 대칭축 7을 이용한다.
계산·해석 과정에서 감점이 생기기 쉬운 지점
분자(2400 미만 225개)는 맞게 세고 분모만 0으로 시작하는 경우까지 넣어 $5^4=625$로 두면 $\dfrac{225}{625}=\dfrac{9}{25}$로 ②를 고르게 된다. 네 자리 자연수이므로 전체는 $4\times5^3=500$, 답은 $\dfrac{225}{500}=\dfrac{9}{20}$(③).
평균 6을 제곱한 36(④)에서 멈추기 쉽다. $p=\dfrac13$이므로 $\mathrm{V}(X)=4$를 더해 $\mathrm{E}(X^2)=4+36=40$(⑤).
$|X-1|<1$은 $0<X<2$, 즉 $X=1$뿐이다. $\le$로 읽어 $X=2$까지 더하면 $\dfrac{3}{10}+\dfrac{6}{10}=\dfrac{9}{10}$(⑤)이 된다.
$\mathrm{P}(0\le X\le2)=p$, $\mathrm{P}(2\le X\le5)=q$로 두면 $q=\dfrac15$(③)이 먼저 나온다. 묻는 것은 $p=\dfrac{3}{10}$(④)이다. 대칭이므로 $[0,5]$의 넓이가 $\dfrac12$, 즉 $p+q=\dfrac12$로 둔다($p+q=1$로 두면 안 된다).
1을 소수에 넣으면 (2)의 답이 $\dfrac{3}{10}$으로 바뀐다. (1)은 "교집합이 공집합인가"를 원소로 보여 주면 근거가 분명해진다: $A\cap B=\{3\}$, $A\cap C=\{2,5\}$, $B\cap C=\varnothing$.
사과·자몽은 따로 세어 곱한다(더하면 36). 최소 개수를 먼저 담아 사과 4개는 $_{3}\mathrm{H}_{4}=15$, 자몽 5개는 $_{3}\mathrm{H}_{5}=21$ → $315$. C 장바구니에는 자몽 최소 조건이 없다.
난이도 상 5문항 중 배점 상위 4문항(13·14·15번, 서답형5)
출제 축별 학습 처방
5·6·7번과 서답형4가 같은 공식 묶음을 쓴다. 확률 합 = 1 → 평균 → $\mathrm{E}(X^2)$ → 분산 → 표준편차 순서를 매번 같은 양식으로 적는 연습을 한다.
14번·서답형3(1번은 기호 값 확인). "최소 개수 먼저 배분 → 남은 것 $_{n}\mathrm{H}_{r}$", "감소하지 않는 함수 = 값 고르기"를 유형별로 3문항씩 묶어 풀고, 14번처럼 치역 조건이 붙으면 경우 분류표를 먼저 그린다.
8·15번·서답형5. (이항분포면 정규분포로 근사) → 평균·표준편차 → 표준화 → $0.5$ 기준 덧셈·뺄셈을 한 줄씩 적는다. 그림(정규곡선에 구간 색칠)을 함께 그리면 0.5 처리 실수가 줄어든다.
서답형 5문항 모두 "부분 점수 있음"이다. 사건 정의, 분포 선언($X\sim\mathrm{B}(n,p)$), 공식, 대입, 답을 단계별로 분리해 쓰고, 배반사건처럼 이유를 묻는 문항은 원소(교집합)로 근거를 보인다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 경우의 수 | 중복조합·중복순열의 값 | 3.2 | 하 | 계산 | ⑤ | $_{6}\mathrm{H}_{3}={}_{8}\mathrm{C}_{3}=56$, $_{3}\Pi_{6}=3^6=729$ |
| 2 | 확률 | 도수분포표와 확률 | 3.2 | 하 | 계산 | ④ | $\dfrac{35}{150}=\dfrac{7}{30}$ |
| 3 | 경우의 수 | 같은 것이 있는 순열(CHEESECAKE) | 3.5 | 하 | 계산 | ② | E 4개·C 2개 → $\dfrac{10!}{4!\,2!}=105\times6!$ |
| 4 | 확률 | 중복순열로 만든 네 자리 수 | 3.5 | 중 | 추론 | ③ | 전체 $4\times5^3=500$, 2400 미만 $125+100=225$ |
| 5 | 이산확률분포 | 확률분포표와 평균·분산 | 3.8 | 하 | 계산 | ① | $b=\dfrac12$, $\mathrm{E}(X)=3\Rightarrow a=7$, $\mathrm{V}=15-9=6$ |
| 6 | 이산확률분포 | $aX+b$의 평균·표준편차 | 3.8 | 하 | 계산 | ① | $4a=1$, $10a+b=0$ → $a-b=\dfrac{11}{4}$ |
| 7 | 이산확률분포 | 이항분포에서 $\mathrm{E}(X^2)$ | 3.8 | 하 | 계산 | ⑤ | $\mathrm{V}(X)+\{\mathrm{E}(X)\}^2=4+36=40$ |
| 8 | 연속확률분포 | 정규분포 표준화(복숭아 무게) | 4 | 하 | 계산 | ③ | $\mathrm{P}(-0.5\le Z\le2)=0.1915+0.4772$ |
| 9 | 이산확률분포 | 절댓값 조건의 확률(공 꺼내기) | 4.2 | 중 | 이해 | ② | $|X-1|<1\iff X=1$, $\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{3}}$ |
| 10 | 연속확률분포 | 대칭인 확률밀도함수 | 4.2 | 중 | 추론 | ④ | $p+q=\dfrac12$, $3q=2p$ → $p=\dfrac{3}{10}$ |
| 11 | 연속확률분포 | 정규곡선의 평행이동과 대칭 | 4.2 | 상 | 추론 | ② | $m=12$, $g$의 대칭축 7 → $\alpha=5,\ \beta=9$ |
| 12 | 경우의 수 | 두 식의 곱에서 $x^{12}$의 계수 | 4.5 | 중 | 계산 | ⑤ | 지수 조건 3쌍: $240-192+24=72$ |
| 13 | 경우의 수 | 연못 도로망에서 두 사람이 만나는 경우 | 4.5 | 상 | 문제해결 | ① | $x+y=5$ 지점별 (경로 수)²의 합 |
| 14 | 경우의 수 | 치역 3개인 감소하지 않는 함수 | 4.8 | 상 | 추론 | ④ | 4를 경계로 3가지 경우: $9+36+144$ |
| 15 | 연속확률분포 | 주사위 이동 → 정규근사 | 4.8 | 상 | 문제해결 | ③ | $Y\ge28$, $\mathrm{N}(24,\ 4^2)$ → $\mathrm{P}(Z\ge1)$ |
| 서답형1 | 경우의 수 | $(2x-y)^4$ 전개 서술 | 4 | 하 | 계산 | 16x⁴−32x³y+24x²y² −8xy³+y⁴ |
$_{4}\mathrm{C}_{r}(2x)^{4-r}(-y)^r$ |
| 서답형2 | 확률 | 배반사건 판단과 여사건 확률 | 8 | 중 | 이해 | (1) A·B 배반 아님, A·C 배반 아님, B·C 배반 / (2) 2/5 |
교집합 원소 확인, $1-\dfrac{6}{10}$ |
| 서답형3 | 경우의 수 | 최소 개수 조건의 과일 분배 | 8 | 중 | 문제해결 | 315 | $_{3}\mathrm{H}_{4}\times{}_{3}\mathrm{H}_{5}=15\times21$ |
| 서답형4 | 이산확률분포 | 확률질량함수의 상수와 평균·분산 | 10 | 중 | 계산 | (1) k=1/2 / (2) E(X)=1, V(X)=1, σ(X)=1 |
확률 합 $\dfrac{2k+4}{5}=1$, $\mathrm{E}(X^2)=2$ |
| 서답형5 | 이산확률분포 | 이항분포 확률질량함수와 정규근사 | 10 | 상 | 문제해결 | (1) 11/64 / (2) 0.0228 |
$\mathrm{B}(10,\tfrac12)$ 4항 합, $\mathrm{N}(50,\ 5^2)$ |
이번 시험을 가정에서 어떻게 읽으면 좋은지 정리했습니다.
경우의 수·확률·확률분포(이산·연속 두 단원) 영역에서 20문항 100점으로 출제되었습니다. 그중 확률분포(평균·분산, 이항분포, 정규분포) 문항이 이산확률분포 6문항 35.6점, 연속확률분포 4문항 17.2점으로 절반을 넘습니다. 공식을 그대로 적용하는 계산 문항의 비중이 가장 크고, 문장 속 상황을 식으로 옮기는 문항은 후반부에 배치되었습니다.
틀린 문항이 "공식을 잘못 적용한 것"인지 "문장을 식으로 옮기지 못한 것"인지 먼저 나눠 보세요. 서답형 5문항 40점은 모두 부분 점수가 있어, 풀이를 어디까지 썼는지가 점수에 반영됩니다. 채점된 서답형 답안에서 감점된 단계를 확인하면 어디를 보완할지 구체적으로 알 수 있습니다.
틀린 문항 하나를 골라 자녀에게 "어떤 순서로 풀었는지" 말로 설명해 달라고 해 보세요. 설명이 막히는 단계가 다음 시험에서 보완할 지점입니다. 정답을 알려 주기보다 설명을 끝까지 들어 주는 것이 도움이 됩니다.
이번 시험 구성에 비추어 보면 ① 평균·분산 공식의 정확한 적용, ② 정규분포표 활용, ③ 경우의 수 조건을 중복조합·최단 경로로 바꾸기, ④ 서답형 풀이 과정 쓰기 네 가지가 준비의 중심입니다. 학원에서는 이 분석을 바탕으로 학생별 오답 유형을 확인해 지도합니다.
학남고 2학년 확률과 통계 2학기 중간고사는 선택형 15문항 60점과 서답형 5문항 40점, 총 20문항 100점으로 구성되었다. 단원별 배점은 이산확률분포가 35.6점으로 가장 크고, 경우의 수 32.5점, 연속확률분포 17.2점, 확률의 뜻과 활용 14.7점 순이다. 난이도는 하 8문항 29.3점, 중 7문항 42.4점, 상 5문항 28.3점으로 중 문항 비중이 가장 크다. 선택형은 3.2점에서 4.8점까지 번호 순으로 배점이 올라가고, 상 문항이 11번과 13~15번, 서답형5에 모여 있어 상 문항과 고배점 문항을 시험 후반부에 배치한 구성이다.
이 시험을 관통하는 축은 두 가지다. 첫째는 중복조합 계열로, 14번(4.8점)의 감소하지 않는 함수 개수와 서답형3(8점)의 최소 개수 조건 분배가 같은 발상을 쓰고, 1번(3.2점)이 그 기호의 값을 먼저 확인한다. 둘째는 표준정규분포표 계열로, 8번(4점)은 주어진 정규분포의 표준화를, 15번(4.8점)과 서답형5의 (2)는 이항분포를 정규분포로 근사하는 과정을 요구한다. 최고배점 문항 중 서답형4(10점)는 평균·분산·표준편차를, 서답형5(10점)는 이항분포의 확률질량함수와 정규근사를 풀이 과정으로 쓰게 한다. 결국 이 시험은 경우의 수 영역에서는 조건을 중복조합·최단 경로 같은 세기 구조로 바꾸는 능력을, 확률분포 영역에서는 평균·분산과 표준화를 정확히 운용하는 능력을 측정한다.
학부모 입장에서 보면 이번 시험은 공식을 정확히 적용하는 힘에 가장 많은 배점을 두었다. 평균·분산 공식 등을 그대로 쓰는 계산 영역이 10문항 43.8점으로 가장 크다. 다만 주사위로 점이 움직이는 문제, 과일을 장바구니에 나누는 문제처럼 문장 속 규칙을 식으로 옮기는 문제해결 영역 4문항 27.3점은 시험 후반부와 서답형에 놓였다. 또 서답형 5문항 40점이 모두 부분 점수로 채점되므로, 답만 맞히기보다 풀이 과정을 단계별로 적는 습관이 점수에 그대로 반영되는 구성이다.