선택형 19문항 65점 + 서답형 4문항 35점, 총 23문항 100점. 일차함수와 일차방정식의 관계에서 삼각형의 성질·피타고라스 정리·사각형의 성질까지 네 대단원을 고르게 배치했고, 서답형 35%가 부분점수 서술형으로 구성되어 과정 서술력이 등급을 가르는 구조다.
총 23문항 100점 · 선택형 배점 2~5점, 서답형 배점 7~10점 · 서답형은 모두 부분점수 서술형
4개 대단원 배점 분포 — 도형 3개 단원 합계 69점(69%), 함수 영역 31점(31%)
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(4점)·5번(4점)·17번(4점)·서답형1(10점) — 총 4문항 22점이 같은 발상을 공유한다. 좌표나 각도가 직접 주어지지 않고, 그래프의 절편·교점 또는 도형의 길이 일치에서 먼저 정보를 복원한 뒤 미지수를 구하는 구조다. 4번은 그림의 직선이 (0,4), (2,0)을 지난다는 사실에서 2x+y=4를 복원해야 비로소 b−2=2, −a=4를 얻는다.
13·15·16번과 서답형3까지 외심·내심이 4문항 22점을 차지한다. 특히 16번(5점, 선택형 최고배점)은 ∠IAO를 묻는데, 외심 쪽 ∠OAB=90°−∠C와 내심 쪽 ∠IAB=∠A/2를 각각 구해 차를 취해야 하는 2단 계산이다. 서답형3은 같은 그림에 외접원과 내접원을 함께 그려 두 원의 넓이 차까지 요구한다.
서답형1(10점)은 (1)에서 구한 a=2, b=5를 (2)의 절편 계산에, (2)의 B(−1,0)·C(5,0)을 (3)의 넓이 계산에 넘긴다. 서답형2(7점)는 x=5를 구해야 y=4가 나오고, 서답형3(10점)은 r=3을 구해야 내접원 넓이 9π와 두 원의 넓이 차 189π/4로 이어진다. 서답형 35점 중 27점이 이 연쇄 구조다.
9번(2점)·11번(3점)·12번(3점)·19번(3점) — 총 4문항 11점. 계산량은 적지만 개념이 흐릿하면 전멸한다. 12번은 외심의 성질 5개 중 옳은 것을 고르는 문항인데 ①②는 내심의 성질, ③은 'OA=빗변의 절반'을 '빗변과 같다'로 바꾼 함정, ④는 둔각이등변삼각형이라는 반례가 존재한다. 19번은 평행사변형이 '되지 않는' 조건을 찾는 부정형이다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
x+ky−2=0의 기울기는 −1/k이지 −k가 아니다. 3=−1/k에서 k=−1/3. 계수비 −3/1=1/k로 세우다 부호를 뒤집어 ①(−3)을 고르는 오답이 가장 많다. 구한 뒤 y절편이 다른지(일치 직선이 아닌지)까지 확인해야 완결이다.
AB=AC에서 ∠ACB=∠B=x, ∠DAC=2x(△ABC의 외각), CA=CD에서 ∠ADC=2x, 다시 ∠DCE=∠B+∠BDC=3x=102°. 2x=102°로 처리해 51°를 답하거나, ∠DCE를 △ACD의 외각으로 오인해 4x로 세우는 실수가 나온다.
①'세 변에 이르는 거리가 같다', ②'내각의 이등분선의 교점'은 모두 내심의 성질이다. ③은 직각삼각형에서 OA가 빗변의 절반인데 '빗변과 같다'로 적어둔 함정. 정답 ⑤(세 꼭짓점이 O를 중심으로 하는 원 위)가 외심의 정의 그 자체다.
DE∥BC + 내심 → ∠DBI=∠DIB이므로 DB=DI, EI=EC. 따라서 (△ADE 둘레)=AB+AC=13. 묻는 것은 △ABC의 둘레이므로 13+BC=13+4=17. 13cm(①)를 그대로 답하거나 13+4+4로 이중계산하는 오답이 갈린다.
□OCDE에서 EO∥DC, EO=DC=AB=12이므로 EO는 AD와 만나며 그 교점 F는 AD의 중점이자 EO의 중점이다. 따라서 EF=12÷2=6, DF=AD÷2=BC÷2=16÷2=8, 합 14. F를 OCDE의 대각선 교점으로 잡으면 값이 그림마다 달라져 답이 나오지 않는다.
내접원은 넓이 공식 △=½r(a+b+c)에서 54=18r → r=3, 외접원은 빗변의 절반이므로 R=15/2. 넓이 차는 225π/4−9π=189π/4. 반지름을 길이 그대로 쓰거나 π를 빠뜨린 채 숫자만 적으면 서술 감점이며, (3)은 넓이와 차를 둘 다 서술해야 배점 4점이 채워진다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
시험지에 "서술형 답안은 부분 점수가 배점되어 있으니 풀이 과정을 상세하게 서술하시오"가 명시되어 있다. 서답형1·3은 소문항마다 '~을 구하고, 풀이 과정을 서술하시오'로 되어 있어 답만 쓰면 배점의 절반 이상을 잃는다. 근거 문장(예: "삼각형의 넓이를 두 가지로 표현하면")·식·결론의 3단 형식을 고정해 연습한다.
13·15·16번 + 서답형3의 22점이 이 한 주제에 묶여 있다. 정의(수직이등분선/각의 이등분선), 거리 성질(꼭짓점/변), 각 공식(∠BOC=2∠A / ∠BIC=90°+½∠A), 위치(둔각·직각삼각형에서의 외심), 반지름(외접원 R=빗변÷2 / 내접원 △=½r·둘레)까지 5행 비교표를 백지에서 복원할 수 있어야 한다.
4·5번과 서답형1의 18점은 모두 '그림 → 식' 방향이다. 절편 두 개를 읽어 기울기=(y증가)/(x증가)를 먼저 구하고 y=ax+b로 적은 뒤, 문제의 식과 계수를 나란히 비교하는 순서를 몸에 붙인다. 해가 무수히 많을 조건(계수비 전부 일치)과 해가 없을 조건(상수항만 다름)은 반드시 구분해 외운다.
9·11·12·19번은 계산이 거의 없어 시간당 득점 효율이 가장 높다. 평행사변형이 되기 위한 5가지 조건, 직각삼각형 합동조건(RHA·RHS), 피타고라스 정리의 역을 각각 조건문 형태로 정리하고, 조건마다 성립하지 않는 반례 도형 1개를 함께 외워두면 부정형 문항에서 흔들리지 않는다.
전 23문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수 | 일차방정식을 일차함수 꼴로 변형해 ab 구하기 | 3 | 하 | ④ | −3x+2y−4=0 → y=(3/2)x+2, a=3/2·b=2 → ab=3 |
| 2 | 일차함수 | 축에 평행한 두 직선의 교점 좌표 | 4 | 중 | ② | x축에 평행 → y=−3, x좌표가 같은 두 점 → x=−2 ⇒ (−2, −3) |
| 3 | 일차함수 | 그래프에서 연립방정식의 해 읽기 | 3 | 하 | ① | x+y=−2와 x+2y=0의 교점 = 두 직선의 만난 점 (−4, 2) |
| 4 | 일차함수 | 해가 무수히 많을 조건(두 직선 일치) | 4 | 중 | ⑤ | 그림의 직선 2x+y=4와 일치 ⇒ b−2=2, −a=4 ⇒ b−a=4−(−4)=8 |
| 5 | 일차함수 | 그래프의 교점을 두 식에 대입해 a+b | 4 | 중 | ② | 교점 (5, 4) 대입 → 5a+8=3(a=−1), 5+4b=1(b=−1) ⇒ −2 |
| 6 | 일차함수 | 두 직선이 평행할 조건 | 3 | 하 | ⑤ | 기울기 3 = −1/k ⇒ k=−1/3 (y절편 2/k=−6≠−20이므로 일치 아님) |
| 7 | 삼각형 | 이등변삼각형 두 개가 겹친 외각 추적 | 4 | 상 | ⑤ | ∠B=x → ∠DAC=2x → ∠ADC=2x → ∠DCE=3x=102° ⇒ x=34° |
| 8 | 삼각형 | 두 밑각이 같은 삼각형의 변의 길이 | 2 | 하 | ③ | ∠B=180°−80°−50°=50°=∠C ⇒ 이등변삼각형, AB=AC=6cm |
| 9 | 삼각형 | RHS 합동 설명 과정의 빈칸(옳지 않은 것) | 2 | 하 | ④ | ①180° ②AE ③∠E ⑤△DEF는 맞고, ④는 '밑변'이 아니라 빗변이어야 함 |
| 10 | 피타고라스 | 세 변 위 정사각형 넓이에서 삼각형 넓이 | 4 | 중 | ③ | BC²=81→9, AC²=97−81=16→4 ⇒ 넓이 ½×9×4=18cm² |
| 11 | 피타고라스 | 피타고라스 정리의 역으로 직각삼각형 판정 | 3 | 하 | ④ | 8²+15²=64+225=289=17² ⇒ 직각삼각형 (나머지는 모두 불성립) |
| 12 | 삼각형 | 수직이등분선 작도 결과(외심)의 성질 판별 | 3 | 중 | ⑤ | ①②는 내심 성질, ③은 OA=빗변의 절반, ④는 둔각이등변 반례 ⇒ ⑤만 참 |
| 13 | 삼각형 | 내심의 각 공식 ∠BIC=90°+½∠A | 3 | 하 | ② | 90°+½∠A=132° ⇒ ∠A=84° = ∠x |
| 14 | 삼각형 | 내심을 지나는 평행선과 둘레의 길이 | 4 | 중 | ④ | DB=DI, EI=EC ⇒ (△ADE 둘레)=AB+AC=13 ⇒ (△ABC 둘레)=13+4=17cm |
| 15 | 삼각형 | 외심의 중심각 ∠BOC=2∠A 활용 | 3 | 중 | ① | ∠A=110°÷2=55° → ∠OAB=55°−35°=20°, OA=OB ⇒ ∠x=20° |
| 16 | 삼각형 | 외심·내심 동시 등장, ∠IAO 구하기(최고배점) | 5 | 상 | ③ | ∠A=72°, ∠OAB=90°−∠C=48°, ∠IAB=36° ⇒ ∠IAO=48°−36°=12° |
| 17 | 사각형 | 평행사변형 대각선 이등분 + 이등변삼각형 | 4 | 중 | ③ | OD=½BD=5=AD ⇒ ∠DAO=∠DOA=(180°−40°)÷2=70°, AD∥BC ⇒ ∠ACB=70° |
| 18 | 사각형 | 평행사변형 두 개가 겹친 구조에서 EF+DF | 4 | 상 | ① | EO∥DC·EO=AB=12이고 F는 AD와 EO의 중점 ⇒ EF=6, DF=16÷2=8 ⇒ 14 |
| 19 | 사각형 | 평행사변형이 되기 위한 조건(아닌 것 찾기) | 3 | 중 | ② | ②는 이웃한 두 변이 같고 대각선이 수직 → 연꼴 반례 존재. ①③④⑤는 모두 성립 |
| 서답형1 (1) | 일차함수 | 그래프에서 두 직선의 미지수 a, b 결정 | 4 | 중 | a=2, b=5 | A(1, 4) 대입: a·1+2=4 ⇒ a=2 / 1+4=b ⇒ b=5 |
| 서답형1 (2) | 일차함수 | 두 직선의 x절편 좌표 구하기 | 4 | 중 | B(−1,0) C(5,0) | y=2x+2에서 y=0 ⇒ x=−1 / x+y=5에서 y=0 ⇒ x=5 |
| 서답형1 (3) | 일차함수 | 삼각형 ABC의 넓이와 그 식 서술 | 2 | 중 | 12 | 밑변 BC=5−(−1)=6, 높이=A의 y좌표 4 ⇒ ½×6×4=12 |
| 서답형2 | 피타고라스 | 직각삼각형 2개 연쇄, x·y 구하기 | 7 | 중 | x=5, y=4 | △ABC(∠A=90°): x=√(13²−12²)=5 / △ACD(∠D=90°): y=√(5²−3²)=4 |
| 서답형3 (1) | 삼각형 | 넓이를 이용한 내접원의 반지름 r | 4 | 상 | r=3 | ½×9×12=54=½r(9+12+15)=18r ⇒ r=3cm |
| 서답형3 (2) | 삼각형 | 내접원 I의 넓이 | 2 | 상 | 9π cm² | πr²=π×3²=9π |
| 서답형3 (3) | 삼각형 | 외접원의 넓이와 두 원의 넓이 차 | 4 | 상 | 225π/4 차 189π/4 | ∠C=90° ⇒ 외접원 반지름 R=AB÷2=15/2, 넓이 225π/4 ⇒ 차 225π/4−9π=189π/4 |
| 서답형4 | 사각형 | △OPA와 합동인 삼각형·합동조건 기호 서술 | 8 | 중 | △OQC (ASA) | OA=OC(대각선 이등분), ∠PAO=∠QCO(엇각), ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각) ⇒ ASA 합동 |
학남중학교 2학년 2025학년도 2학기 중간고사 수학은 선택형 19문항 65점과 서답형 4문항 35점을 합해 총 23문항 100점으로 구성되었다. 단원 배점은 삼각형의 성질 36점(9문항), 일차함수와 일차방정식 31점(7문항), 사각형의 성질 19점(4문항), 피타고라스 정리 14점(3문항) 순이며, 도형 세 단원이 69점으로 함수 영역의 두 배가 넘는다. 난이도는 상 4문항 23점, 중 12문항 58점, 하 7문항 19점으로 중난도에 배점이 몰린 밀집형이다. 1~6번에 함수를, 7번 이후에 도형을 배치해 앞부분에서 속도를 확보하고 뒤로 갈수록 그림 해석 부담을 키우는 설계가 뚜렷하다.
이 시험을 관통하는 축은 그림에서 조건을 먼저 복원한 뒤 미지수를 역산하는 역추적형이다. 4번(4점), 5번(4점), 17번(4점), 서답형1(10점)이 여기에 해당해 합계 22점이며, 어느 문항도 식이나 각도를 직접 주지 않고 절편·교점·대각선 이등분에서 정보를 먼저 만들어야 한다. 두 번째 축은 외심과 내심의 동시 처리로, 13·15·16번과 서답형3이 묶여 22점을 이룬다. 선택형 최고배점인 16번(5점)은 ∠OAB=90°−∠C와 ∠IAB=½∠A를 각각 세운 뒤 차를 취하는 2단 구조이고, 전체 최고배점인 서답형1(10점)과 서답형3(10점)은 소문항 세 개가 앞 결과를 뒤 단계로 넘기는 연쇄식이다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기량이 아니라 그림에서 정보를 스스로 생성하고 그 값을 다음 단계로 정확히 전달하는 능력이다.
학부모·학생 관점에서 이 시험은 "많이 풀어본 아이"보다 "풀이를 끝까지 적어본 아이"에게 유리한 시험이다. 시험지에는 "서술형 답안은 부분 점수가 배점되어 있으니 풀이 과정을 상세하게 서술하시오"라는 안내가 명시되어 있는데, 이는 답이 틀려도 논리가 맞으면 점수를 준다는 뜻인 동시에 답만 적으면 배점의 상당 부분을 포기한다는 뜻이기도 하다. 서답형 35점이 모두 이 규정의 적용을 받으므로, 실점이 났다면 원인을 계산 실수보다 먼저 그림 해석력과 서술력에서 찾아야 한다. 특히 서답형1·3처럼 소문항이 이어지는 문항은 앞 단계 한 줄이 비면 뒤 8점까지 함께 흔들리므로, 오답노트는 답을 고쳐 쓰는 것이 아니라 풀이 문장을 다시 쓰는 방식이어야 한다.