신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
학남중 3학년 · 수학 2026학년도 1학기 기말고사 문항분석
선택형 18문항(70점) + 서·논술형 4문항(30점), 총 22문항 100점. 이차방정식 46점 · 이차함수 54점으로 두 대단원을 거의 반씩 가르고, 「조건을 주고 계수를 거꾸로 찾게 하는」 역추적형이 28점을 차지하는 설계형 시험지입니다.
신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
선택형 18문항(70점) + 서·논술형 4문항(30점), 총 22문항 100점. 이차방정식 46점 · 이차함수 54점으로 두 대단원을 거의 반씩 가르고, 「조건을 주고 계수를 거꾸로 찾게 하는」 역추적형이 28점을 차지하는 설계형 시험지입니다.
서·논술형 4문항에 30점이 몰려 있고, 개별 배점이 7~8점으로 커 서술 완성도가 등급을 가르는 구조입니다.
이차방정식 계열 50점(11문항), 이차함수 계열 50점(11문항)으로 정확히 반반. 다만 이차함수 쪽은 표준형·일반형 한 단원에 36점이 집중돼 있습니다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(4점·중근에서 k), 5번(4점·근의 공식 꼴에서 p,q), 18번(5점·넓이 30에서 a), 서답형3(8점·꼭짓점과 한 점에서 식), 서답형4(7점·꼭짓점이 직선 위에서 a,b) — 번호는 흩어져 있지만 전부 「결과가 주어지고 계수를 구하라」는 같은 발상입니다. 합산 28점, 전체의 28%.
7번(4점)은 a²−4b²+a+6b를 묻습니다. 근을 실제로 구해 4가지 조합을 대입해도 답은 −8로 같지만, 의도는 2a²+2a−4=0에서 a²+a=2, 2b²−3b−5=0에서 −4b²+6b=−10을 뽑아내 덩어리째 대입하는 것입니다.
12번(4점·보기 6개), 14번(4점·선지 5개), 16번(4점·선지 5개), 17번(4점·보기 6개) 총 16점이 「옳은/옳지 않은 것」 형식입니다. 한 선지만 흘려봐도 실점하며, 특히 17번은 6개 그래프 각각에 대해 네 사분면 통과 여부를 따져야 합니다.
15번(4점)과 18번(5점)은 그림만 주고 좌표를 주지 않습니다. 15번은 −x²+2x+15=0에서 B(−3,0)·C(5,0), 꼭짓점 A(1,16)을 얻어 밑변 8·높이 16으로 넓이 64를 만듭니다. 18번은 B(1,−3)에서 대칭점 A(−1,−3), CD=2AB에서 D(−2,4a)·C(2,4a)를 잡아야 합니다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
①②는 등식이 아니라 이차«식»이므로 방정식 자체가 아닙니다. ③⑤는 전개하면 x²항이 소거돼 일차방정식이 됩니다. 정답은 x²−3=0이 되는 ④. 반드시 전개해 우변을 0으로 이항한 뒤 차수를 확인하세요.
판별식 144−16k=0에서 k=9까지는 대부분 갑니다. 그러나 문제는 «두 수 k와 a의 합»이므로 중근 a=12/8=3/2를 더해 21/2가 답입니다. k=9를 답으로 고르는 오답이 가장 많은 유형입니다.
(a−2,0) 대입으로 a²−2a−3=0 → a=3 또는 −1이 나오지만 두 값 모두 답이 아닙니다. y절편이 −3(<0)이므로 기울기 a>0이면 반드시 제1사분면을 지납니다. 조건을 만족하는 것은 a=−1뿐.
286=2·11·13이므로 p=1이면 두 근의 곱이 286이 되는데, 286을 두 자리 소수 둘의 곱으로 쓸 수 없습니다. p=2일 때만 곱 143=11×13이 성립해 q=2(11+13)=48, p+q=50. 이차항 계수를 1로 가정하면 오답입니다.
③은 (−5,0)으로 적혀 있습니다. y절편의 «값»은 −5가 맞지만 «점»의 좌표는 (0,−5)이므로 이 선지가 옳지 않은 것입니다. x절편과 y절편의 좌표 순서를 뒤집는 감점이 반복됩니다.
(400+x)(1200−2x)=480000을 정리하면 2x(200−x)=0으로 x=0 또는 200. 「x그램씩 «더» 넣는다」는 조건에서 x>0이므로 x=200만 답입니다. 서술형이므로 해의 적합성 판단 문장을 반드시 쓰고 마쳐야 감점이 없습니다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형1(8점)·3(8점)·2(7점)·4(7점) 모두 「풀이 과정을 자세하게 서술하시오」가 명시돼 있습니다. 답만 맞혀도 배점의 상당 부분을 잃습니다. 완전제곱 변형(서1), 총량 일정 방정식 세우기(서2), 꼭짓점형→일반형 전개(서3), 두 조건 연립(서4)을 각각 답안지 한 칸 분량으로 직접 써 보는 연습이 30점을 지킵니다.
14·15·16·17·18번과 서답형3·4가 모두 이 단원입니다. y=ax²+bx+c → y=a(x−p)²+q 변환을 10문제 연속 무실수로 통과한 뒤, 꼭짓점·축·볼록 방향·y절편 4종 세트를 자동으로 적는 루틴을 만드세요. 이 단원만 완벽하면 36점이 확보됩니다.
4·5·18번과 서답형3·4가 같은 발상입니다. 「중근 → D=0」, 「근이 (q±√37)/6 → 근의 공식과 계수 대응」, 「꼭짓점 (p,q) → y=a(x−p)²+q로 시작」, 「점을 지난다 → 대입」 네 문장을 카드로 만들어 조건을 보면 등식이 바로 나오도록 반사 훈련하세요.
12·14·16·17번 16점은 선지를 하나씩 검증해야 합니다. 맞는 선지는 √, 틀린 선지는 왜 틀렸는지 한 단어(예: 「축은 x=−5」, 「점은 (0,−5)」)를 옆에 적는 습관이 검토 시간을 반으로 줄이고 착각을 막습니다. 특히 17번은 「꼭짓점 좌표 → 최댓값·최솟값의 부호」만 보면 3초 안에 걸러집니다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차방정식 풀이 | 이차방정식의 정의 판별 | 3 | 하 | ④ | 전개·이항 후 차수 확인. ④는 x²−3=0 |
| 2 | 이차방정식 풀이 | 주어진 수가 해인지 확인 | 3 | 하 | ⑤ | ⑤에 x=−2 대입 시 (−3)(−4)=12≠0 |
| 3 | 이차방정식 풀이 | 분수·소수 계수 방정식 풀이 | 4 | 중 | ① | 양변×10 → 2x²−5x+3=0 → x=1, 3/2 |
| 4 | 이차방정식 풀이 | 중근 조건과 근의 값 | 4 | 중 | ③ | D=0 → k=9, 중근 a=3/2 → 합 21/2 |
| 5 | 이차방정식 풀이 | 근의 공식 꼴에서 계수 역추적 | 4 | 중 | ④ | √ 앞 −5=q, 25−12p=37 → p=−1 |
| 6 | 이차방정식 활용 | 일차함수 사분면 조건 융합 | 4 | 상 | ① | a²−2a−3=0 → 3 또는 −1, y절편<0이므로 a<0 |
| 7 | 이차방정식 활용 | 근의 관계식 덩어리 대입 | 4 | 상 | ① | a²+a=2, −4b²+6b=−10 → 합 −8 |
| 8 | 이차방정식 활용 | 비스킷 분배 문장제 | 4 | 중 | ② | x(x−25)=150 → x=30, 한 마리당 5개 |
| 9 | 이차방정식 활용 | 두 자리 소수근·소인수분해 | 5 | 상 | ⑤ | 286=2·11·13 → p=2, 근 11·13, q=48 |
| 10 | 이차함수 y=ax² | 이차함수 판별(도형 공식) | 3 | 하 | ⑤ | 사다리꼴 넓이 ½(x+2x)·5=15x/2 → 일차 |
| 11 | 이차함수 y=ax² | 그래프 폭 비교로 a 범위 | 3 | 중 | ② | −2<a<−2/3 즉 2/3<|a|<2 → −3/4 |
| 12 | 이차함수 y=ax² | y=ax² 그래프 성질 진위 | 4 | 중 | ③ | ㉠㉡㉤은 a>0 → 아래로 볼록. ③이 오류 |
| 13 | 이차함수 y=ax² | 함숫값 계산 3f(−2)−2f(3) | 4 | 하 | ② | f(−2)=−11, f(3)=−16 → −33+32=−1 |
| 14 | 이차함수 표준형·일반형 | y=a(x−p)²+q 성질 진위 | 4 | 중 | ④ | 꼭짓점(−5,−6)·최댓값 −6<0 → 제3·4사분면만 통과 |
| 15 | 이차함수 표준형·일반형 | x절편·꼭짓점과 삼각형 넓이 | 4 | 중 | ⑤ | B(−3,0)·C(5,0)·A(1,16) → ½·8·16=64 |
| 16 | 이차함수 표준형·일반형 | 일반형→표준형 변환 후 진위 | 4 | 중 | ③ | −2(x−1)²−3, y축 교점은 (0,−5) |
| 17 | 이차함수 표준형·일반형 | 모든 사분면을 지나는 그래프 | 4 | 상 | ③ | ㉠(꼭짓점 y<0)·㉤·㉥(최댓값>0, 축≠y축) |
| 18 | 이차함수 표준형·일반형 | 사다리꼴 넓이 조건에서 a 역추적 | 5 | 상 | ② | A(−1,−3)·B(1,−3)·C(2,4a)·D(−2,4a), ½·6·(4a+3)=30 |
| 서답형1 | 이차방정식 풀이 | 완전제곱식 변형 후 a+b (서술) | 8 | 중 | 29/16 | (x−3/4)²=41/16 → a=−3/4, b=41/16 |
| 서답형2 | 이차방정식 활용 | 딸기 상자 포장 문장제 (서술) | 7 | 상 | x=200 | (400+x)(1200−2x)=480000 → 2x(200−x)=0, x>0 |
| 서답형3 | 이차함수 표준형·일반형 | 꼭짓점·한 점으로 식 결정, a+b−c (서술) | 8 | 중 | y=3x²+12x+9 a+b−c=6 | y=a(x+2)²−3에 (0,9) 대입 → a=3 후 전개 |
| 서답형4 | 이차함수 표준형·일반형 | 꼭짓점이 직선 위 조건 연립 (서술) | 7 | 상 | a=−5, b=−3 | 꼭짓점(−1,−a−b), 3a−b=−12와 a+b=−8 연립 |
학남중 3학년 2026학년도 1학기 기말고사는 총 22문항 100점으로, 선택형 18문항 70점과 서·논술형 4문항 30점으로 구성됩니다. 단원 배점은 이차함수 표준형·일반형 36점(7문항)이 최다이고 이차방정식의 뜻과 풀이 26점(6문항), 이차방정식의 활용 24점(5문항), 이차함수와 y=ax²의 그래프 14점(4문항) 순입니다. 난이도는 상 7문항 36점, 중 11문항 51점, 하 4문항 13점으로, 단순 대입으로 끝나는 문항이 1·2·10·13번 넷뿐입니다. 앞번호에 3점 기본형을 배치하고 5점 문항을 9번과 18번 두 곳에만 놓은 배치는, 각 대단원의 마지막 지점에서 변별을 걸겠다는 설계 의도를 보여 줍니다.
이 시험을 관통하는 축은 「결과를 주고 계수를 거꾸로 찾게 하는」 역추적형입니다. 4번(4점·중근에서 k), 5번(4점·근의 공식 꼴에서 p,q), 18번(5점·넓이 30에서 a), 서답형3(8점·꼭짓점과 한 점에서 식), 서답형4(7점·꼭짓점이 직선 위) 다섯 문항이 합쳐 28점, 전체의 28%를 차지합니다. 최고배점인 서답형1(8점)과 서답형3(8점)은 각각 완전제곱 변형과 표준형 전개라는 «식을 다른 꼴로 바꾸는 힘»을 요구하고, 5점 문항 중 18번은 그림에 좌표가 하나도 주어지지 않아 대칭성으로 네 점을 스스로 놓아야 하며, 9번은 286을 2·11·13으로 분해해 이차항 계수가 1이 아님을 밝혀야 합니다. 결국 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 주어진 조건을 등식으로 번역하는 능력입니다.
학부모 관점에서 말하면 이 시험은 「공식을 외웠는가」가 아니라 「문제의 말을 식으로 옮길 수 있는가」를 물었습니다. 서·논술형 4문항 모두에 「풀이 과정을 자세하게 서술하시오」가 명시돼 있어, 답을 맞혀도 과정이 없으면 30점 중 상당 부분이 날아갑니다. 따라서 점수가 기대에 못 미쳤다면 원인을 세 곳에서 찾아야 합니다. 3번처럼 분수·소수 계수를 정리하다 틀렸다면 계산력, 4번에서 k만 구하고 멈추거나 6번에서 사분면 조건을 놓쳤다면 독해력, 서답형2에서 x=0을 버리는 근거를 쓰지 않았다면 서술력이 문제입니다. 세 원인은 처방이 전혀 다르므로 오답지를 이 기준으로 먼저 분류하는 것이 다음 시험의 출발점입니다.