명제(37.4점)와 함수(31.4점)가 배점의 3분의 2 이상을 차지하고, 난이도 상 4문항(17.3점)은 모두 조건을 집합이나 그래프로 바꿔 읽어야 풀리는 추론형입니다.
선택형 18문항·서답형 7문항, 선택형 배점은 번호 순으로 3점에서 4.3점까지 0.2~0.3점 단위로 높아집니다.
명제와 함수 두 단원에 18문항이 몰렸고, 유리식·유리함수와 무리식·무리함수 단원은 문항 수는 적지만 6점짜리 서답형 2문항을 품고 있습니다.
배점 기준으로 추론 9문항(38.1점)이 가장 크고 문항 수는 이해와 같습니다 — 추론의 대표 문항은 15·16·18번과 서답형 4·7로, 조건을 집합·그래프로 바꿔 판단하게 합니다.
이 시험의 출제 포인트 — 문항 구성 기준
필요·충분조건을 묻는 문항이 선택형과 서답형에 걸쳐 4문항 출제되었습니다. 16번은 '모든 실수 $x$에 대하여 $p$'가 $P$를 실수 전체로 만든다는 점을 둘째 조건에 연결해야 하고, 서답형 4는 $\ne$의 부정이 $=$라는 것에서 출발합니다.
15번은 꺾은선 그래프에서 $f(f(a))=4$의 해를 두 단계로 거슬러 찾고, 18번은 절댓값으로 접힌 유리함수와 수평선의 교점을 셉니다. 17번과 서답형 7은 무리함수 그래프와 다른 곡선·직선이 만나는 위치를 다룹니다.
5번은 대응 그림에서 역함숫값을, 7번과 서답형 5는 합성함수의 값과 순서를 계산하는 문항이고, 14번과 서답형 6은 역함수가 존재할 조건(일대일대응)과 역함수식의 계수 비교를 묻습니다. 14번은 공역이 $a\le y\le 3$으로 주어져 치역과 공역이 같아야 한다는 조건을 써야 합니다.
명제의 뜻(1번), '또는'의 부정(2번), 분수식(3번), 일대일대응(4번), 대응 그림의 역함숫값(5번), 귀류법(11번), 진리집합·조건의 부정(서답형 1), 가정·결론·대우(서답형 2)처럼 교과서 정의 문장을 그대로 확인하는 문항과, 합성함수의 값(7번, 서답형 5)·평행이동(12·13번)·치역(서답형 3)처럼 기본 계산을 묻는 문항으로 이루어져 있습니다.
풀이 과정에서 실수하기 쉬운 지점 — 문항 구성 기준이며 실제 오답 통계가 아닙니다
$\sim(p \text{ 또는 } q) \equiv \sim p \text{ 그리고 } \sim q$. 각 부분만 부정하고 '또는'을 그대로 둔 ⑤(홀수이거나 소수가 아니다)로 착각할 수 있습니다.
④ $\dfrac{2x+4}{x+2}$는 분모에 $x$가 있지만 약분하면 2(단, $x\ne-2$)가 됩니다. 첨부 정답표는 ⑤만 정답으로 표기했으므로, 분수식을 식의 꼴로 판정하는지 약분한 결과로 판정하는지를 수업에서 함께 짚어 두는 것이 좋습니다.
$a=4$를 둘째·셋째 구간에서 두 번 세거나, $2a=\dfrac{14}{3}$에서 나온 $a=\dfrac{7}{3}$(첫 구간 $0\le x\le2$ 밖)을 포함하면 ④ 4가 됩니다.
$x>2$ 부분을 절댓값으로 접지 않으면 $t=4,5$에서 교점이 하나씩 빠져 ③ 5가 됩니다. 접힌 뒤 점근선은 $y=3$이며, $t=3$에서는 오른쪽 가지와 만나지 않습니다.
$\sim p$는 $x^2-2x-24=0$, 즉 $x=-4,\ 6$입니다. 6만 보고 $k\ge2$로 끝내면 오답이고, 중심 4에서 더 먼 $-4$가 기준이 되어 $k\ge8$입니다.
$k=5$이면 직선 $y=-2x+5$가 그래프의 시작점 $(2,\ 1)$을 지나므로 만납니다. $k>5$로 쓰면 등호 누락으로 감점될 수 있습니다.
난이도 상 4문항(15·16·18번, 서답형 4) 전부 — 4문항 모두 조건을 집합이나 그래프로 바꾸는 단계를 거쳐야 풀립니다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
명제의 뜻, '또는/그리고'의 부정, 분수식, 일대일대응, 귀류법의 흐름, 가정·결론·대우를 교과서 문장 그대로 말하고 쓰는 연습과, 합성·평행이동 계산을 끝까지 정확히 마치는 연습을 합니다. 하 서답형 4문항(서답형 1·2·3·5)은 답이 쉬워도 과정 없이 답만 쓰면 0점이라는 채점 규정이 있으니 근거 한 줄을 반드시 붙입니다.
16번과 서답형 4는 $p\Rightarrow q$를 $P\subset Q$로 바꿔 진리집합을 수직선에 그리고, 6·9번은 포함 관계와 대우로 정리합니다. 15·18번과 서답형 7은 식을 풀기 전에 개형(증가·감소, 점근선, 시작점)부터 그립니다. 상 4문항이 모두 이 변환을 요구합니다.
12·13·17번, 서답형 6·7은 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$, $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ 꼴로 바꾸는 순간 대부분 풀립니다. 평행이동 방향의 부호와 정의역·치역 표기($\{x \mid x\ge2\}$ 형식)를 함께 연습합니다.
서답형 6·7은 (1)·(2) 각 3점으로 나뉘고, 서답형 6은 (1)의 $a$ 값이 (2)의 점근선으로 이어집니다. 앞 소문항의 결과를 다음 소문항에 쓸 때 그 값을 다시 적고, 범위 답에는 등호 포함 여부를 분명히 씁니다.
전 25문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 명제 | 명제의 뜻 | 3 | 하 | 이해 | ③ | 참·거짓을 판별할 수 없는 문장 찾기 — '큰'은 기준이 모호 |
| 2 | 명제 | '$p$ 또는 $q$'의 부정 | 3 | 하 | 이해 | ③ | $\sim p$ 그리고 $\sim q$ → 홀수이고 소수가 아니다 |
| 3 | 유리식·유리함수 | 다항식이 아닌 유리식(분수식) | 3 | 하 | 이해 | ⑤ | ⑤는 약분해도 분모에 $x$가 남음 / ④는 약분하면 2(단, $x\ne-2$) — 첨부 정답표 기준 ⑤ |
| 4 | 함수 | 일대일대응 판별 | 3.2 | 하 | 이해 | ③ | 기울기가 0이 아닌 일차함수 $y=3x+1$만 일대일대응 — ①은 상수함수, ②④⑤는 서로 다른 두 $x$에서 같은 값 |
| 5 | 함수 | 대응 그림에서 역함수값 | 3.2 | 하 | 이해 | ⑤ | $f(9)=c,\ f(5)=a$ → $9+5=14$ |
| 6 | 명제 | 필요조건·충분조건 판정 | 3.4 | 중 | 이해 | ④ | $q\Rightarrow p$ 참, $p\Rightarrow q$ 거짓 — 8의 배수는 4의 배수 |
| 7 | 함수 | 합성함수의 함숫값 | 3.4 | 하 | 계산 | ⑤ | 안쪽부터 계산 — $(g\circ g)(3)=g(3)=3$ |
| 8 | 명제 | 산술·기하평균 부등식 최솟값 | 3.6 | 중 | 추론 | ④ | $\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)(x+3y)=4+\dfrac{3y}{x}+\dfrac{x}{y}\ge4+2\sqrt{3}$ |
| 9 | 명제 | 조건 사이의 함의 관계 | 3.6 | 중 | 추론 | ③ | $s\Rightarrow p,\ q\Rightarrow s,\ r\iff s$ 연결 후 대우로 판정 |
| 10 | 함수 | 항등함수가 되는 정의역 | 3.6 | 중 | 추론 | ② | $2x^2-x=x$ → $x=0,1$, 공집합 제외 부분집합 3개 |
| 11 | 명제 | 귀류법 증명 빈칸 | 3.8 | 하 | 이해 | ③ | $n$이 2의 배수이므로 $n=2k$로 놓는다($4k$ 아님) |
| 12 | 유리식·유리함수 | 유리함수의 평행이동 | 3.8 | 하 | 계산 | ④ | $y=\dfrac{2}{x+1}+3=\dfrac{3x+5}{x+1}$ → $a+b=8$ |
| 13 | 무리식·무리함수 | 무리함수의 평행이동 | 3.8 | 하 | 계산 | ② | $y=\sqrt{3(x+2)}+k$에 $(1,5)$ 대입 → $3+k=5$ |
| 14 | 함수 | 역함수 존재 조건(일대일대응) | 4 | 중 | 추론 | ① | 증가함수 → $f(1)=a,\ f(4)=3$ → $a=-3,\ b=-5$ |
| 15 | 함수 | 그래프로 주어진 합성함수 방정식 | 4 | 상 | 추론 | ⑤ | $f(t)=4$ → $t=2,\dfrac{14}{3}$ → $a=1,\ 4,\ \dfrac{44}{9}$ |
| 16 | 명제 | '모든'과 충분조건이 결합된 정수쌍 | 4 | 상 | 추론 | ① | $P$=실수 전체 → $Q=\varnothing$ : $a^2\le4,\ b^2<9$ → $5\times5$ |
| 17 | 무리식·무리함수 | 두 무리함수의 교점과 삼각형 넓이 | 4.3 | 중 | 문제해결 | ② | $A(2,\sqrt{10}),\ B(-8,0),\ C(4,0)$ → $\dfrac12\times12\times\sqrt{10}$ |
| 18 | 유리식·유리함수 | 절댓값 유리함수와 직선의 교점 개수 | 4.3 | 상 | 추론 | ① | $0\le x<2$ 증가($0\to\infty$), $x>2$ 감소($\infty\to3$) → $1+1+1+2+2$ |
| 서답형1 | 명제 | 진리집합과 조건의 부정 | 4 | 하 | 이해 | (1){2,3,4} (2)3x-7≥8 | $x<5$인 원소 / 부정은 '$<$'를 '$\ge$'로 바꿔(등호 포함) $3x-7\ge8$ |
| 서답형2 | 명제 | 가정·결론·대우와 참거짓 | 4 | 하 | 이해 | (1) a,b 모두 홀수 (2) a+b는 짝수 (3) a+b가 홀수이면 a 또는 b가 짝수 · 참 | 대우는 가정·결론을 부정하고 바꾼다 — '모두'의 부정은 '적어도 하나' |
| 서답형3 | 함수 | 일대일함수의 치역 | 5 | 하 | 계산 | {0,1,2} | $f(1)=1+a=0$ → $f(x)=x-1$ |
| 서답형4 | 명제 | 충분조건과 진리집합의 포함 | 5 | 상 | 추론 | 8 | $\sim p: x=-4,6$ / $\{-4,6\}\subset\{x \mid 4-k\le x\le 4+k\}$ → $k\ge8$ |
| 서답형5 | 함수 | 합성함수와 교환법칙 | 5 | 하 | 계산 | f∘g≠g∘f | $(f\circ g)(x)=3x+1,\ (g\circ f)(x)=3x-1$ |
| 서답형6 | 유리식·유리함수 | 유리함수의 역함수와 점근선 | 6 | 중 | 계산 | (1)a=2,b=1 (2)x=-2,y=-1 | $f^{-1}(x)=\dfrac{-ax+1}{x+1}$ 계수 비교 / $f(x)=-1+\dfrac{3}{x+2}$ |
| 서답형7 | 무리식·무리함수 | 정의역·치역과 직선의 위치 관계 | 6 | 중 | 추론 | (1){x|x≥2},{y|y≥1} (2)k≥5 | 감소하는 직선이 시작점 $(2,1)$ 또는 그 위를 지나야 함 → $-4+k\ge1$ |
이 기출(2025학년도)을 가정에서 어떻게 읽고 활용하면 좋은지 정리했습니다.
25문항 100점 중 하 13문항 48.2점이 교과서 정의와 기본 계산을 확인하는 문항이라, 개념을 정확히 아는지가 점수의 바탕이 됩니다. 반면 상 4문항(17.3점)은 모두 조건을 집합이나 그래프로 바꿔 생각해야 풀리는 문항이어서, 높은 점수대는 이 문항들에서 나뉠 수 있는 구성입니다.
이 기출을 자녀가 직접 풀어 본 뒤, 틀린 문항이 하 문항인지 중·상 문항인지 먼저 나눠 보세요. 하 문항에서 놓친 부분은 개념 문장과 기본 계산을 다시 확인하는 것으로, 중·상 문항에서 놓친 부분은 대부분 조건을 그림이나 집합으로 옮겨 보는 연습으로(8번·서답형 6처럼 식 변형·계산이 중심인 문항은 계산 과정 점검으로) 보완 방향이 달라집니다.
시험지에는 서답형에 대해 '풀이 과정 없이 답만 있으면 0점'이라는 채점 규정이 적혀 있습니다. 서답형 7문항 35점이 걸려 있으므로, 집에서 문제를 풀 때 답 옆에 근거 한 줄을 함께 쓰는지 봐 주시는 것만으로도 도움이 됩니다.
이 시험지는 2025학년도 기출이므로, 올해 2학기 기말고사를 준비하는 1학년 학생에게 실전 연습 자료로 쓰기 좋습니다. 풀어 본 뒤 ① 정의·기본 계산 확인(하 문항) ② 조건을 집합·그래프로 옮기는 연습(중·상 문항, 8번·서답형 6은 계산 점검) ③ 서답형 근거 쓰기의 순서로 점검하기를 권합니다. 오답을 계산 실수와 조건 해석 문제로 나눠 기록해 두면 기말 대비의 출발점이 됩니다.
함지고 1학년 2025학년도 2학기 기말고사 공통수학2는 선택형 18문항 65점과 서답형 7문항 35점, 총 25문항 100점으로 구성되었다. 단원별 배점은 명제 37.4점, 함수 31.4점, 유리식과 유리함수 17.1점, 무리식과 무리함수 14.1점 순으로, 명제와 함수 두 단원이 전체의 3분의 2 이상을 차지한다. 난이도는 하 13문항 48.2점, 중 8문항 34.5점, 상 4문항 17.3점이며, 상 문항은 선택형 후반의 15·16·18번과 서답형 4번에 배치되었다. 선택형 배점은 번호 순으로 3점에서 4.3점까지 조금씩 높아진다.
이 시험을 관통하는 축은 두 가지다. 첫째는 조건을 진리집합의 포함 관계로 옮기는 문항으로 6번(3.4점), 9번(3.6점), 16번(4점), 서답형 4(5점)가 여기에 속한다. 둘째는 그래프 개형에서 교점이나 해를 찾는 문항으로 15번(4점), 17번(4.3점), 18번(4.3점)이 해당하며 서답형 7의 (2)도 같은 발상을 쓴다. 상 4문항이 모두 이 두 축 위에 있다는 점에서, 이 시험은 공식을 대입하는 힘보다 주어진 조건을 집합이나 그림으로 바꿔 읽는 힘을 상위 문항에서 요구하는 시험으로 볼 수 있다.
쉽게 말해 이 시험은 하 13문항으로 개념과 기본 계산을 정확히 아는지를 확인하고, 상 4문항으로 조건을 그림이나 집합으로 바꿔 생각할 수 있는지를 묻는다. 시험지에는 서답형에 대해 풀이 과정 없이 답만 쓰면 0점, 알아볼 수 없는 글자는 틀린 것으로 본다는 규정이 명시되어 있어 서답형 35점은 답이 맞아도 과정 서술에 따라 점수가 달라질 수 있다. 행동영역으로 보면 계산(27점)보다 이해와 추론에 더 큰 배점이 걸려 있으므로, 오답을 계산 실수와 조건 해석 문제로 나눠 보는 것이 다음 준비의 출발점이 된다.