선택형 18문항 65점 + 서답형 7문항 35점, 총 25문항 100점. 집합 28.4점 · 도형의 이동 26.0점 · 원의 방정식 24.8점 · 평면좌표와 직선의 방정식 20.8점으로 네 단원이 고르게 분산되었고, 대칭이동을 이용한 최단경로와 조건의 범위 번역이 상위권 변별을 만든다.
1~6번을 3.2~3.4점 기본 문항으로 깔고 16번(4점)부터 배점과 사고량을 동시에 올린 계단식 구성. 서답형 7문항이 35점을 차지해 서술 완성도가 곧 점수다.
네 단원이 20.8~28.4점 구간에 고르게 걸쳐 있어 특정 단원만 버리는 전략이 통하지 않는다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
4번(3.4점)·11번(3.6점)·서답형3(5점)이 대칭이동을 기본 조작으로 예고한 뒤, 18번(4.2점)은 x축 대칭 1회, 서답형6(6점)은 y=x 대칭과 y축 대칭을 연달아 요구한다. 같은 발상이 난도만 달리해 반복된다.
17번(4점)은 '적어도 한 직선과 만난다'를 두 부등식의 합집합 −5≤a≤11로, 서답형5(5점)는 A⊂B를 −2≤a<2로, 서답형7(6점)은 수선 길이 3√2≤PH≤5√2를 넓이 9≤S≤15로 번역해야 끝난다.
서답형2(4점)의 두 점 교차, 13번(3.8점)의 접선, 17번(4점)의 만남 여부, 서답형7(6점)의 수선 길이 범위가 전부 같은 비교식 위에 서 있다. 판별식 대신 거리 공식으로 통일하면 계산량이 절반으로 줄어든다.
14번(3.8점)은 두 등식을 A∩B⊆X⊆A∪B라는 포함관계 한 줄로 압축해야 2⁶=64가 나오고, 16번(4점)은 '곱이 홀수'로 원소를 홀수로 한정한 뒤 '합이 짝수'로 원소 개수를 짝수로 제한해야 15가 나온다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
a²=9에서 a=±3이 나오지만 a=−3이면 y=9x−6과 완전히 같은 직선이 되어 '평행'이 아니다. a=3만 살아남고, 이후 수직 조건 9·(b/3)=−1로 b=−1/3, ab=−1이 된다.
2x+4y+1=0을 x+2y+1/2=0으로 먼저 정규화해야 한다. 거리는 7√5/10이므로 p=7, q=10, p+q=17. 서로소 조건을 확인하지 않고 14/20로 두면 답이 34로 어긋난다.
Aᶜ−A=Aᶜ={2,4,5}이므로 ④는 참이지만, ⑤는 3−2=1이라 거짓이다. 집합의 차와 원소 개수의 차를 같은 것으로 읽으면 정답 ⑤를 놓친다.
7m²−6m−1=0에서 m=1과 m=−1/7이 나오는데 '기울기가 양수'는 m=1뿐이다. y절편 1−3m을 구할 때 m=−1/7을 쓰면 10/7이 되어 선택지에 없는 값이 나온다.
홀수 집합 {1,3,5,7,9}의 짝수 크기 부분집합은 공집합(0개)·2개·4개인데, n(X)≥2 때문에 공집합을 제외해야 한다. 16(=2⁴)으로 답하면 ⑤로 틀린다. 정답은 10+5=15.
A=[2,7), B=(a,2a+11]이므로 a<2(열림)와 2a+11≥7(닫힘)이 서로 다른 등호를 갖는다. 양쪽에 같은 부등호를 쓰면 a=2나 a=−3까지 포함해 정수 개수가 달라진다. 정답은 −2, −1, 0, 1.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1~6번(19.8점)과 서답형1(4점)·서답형3(5점)·서답형4(5점)은 거리·무게중심·대칭이동·약수 집합처럼 공식 한 줄로 끝나는 문항이다. 이 9문항을 시험지 앞 12분 안에 끝내고 검산까지 마쳐야 뒤쪽 상 난이도 24.2점에 쓸 시간이 확보된다.
원의 방정식 24.8점 중 서답형2(4점)·13번(3.8점)·17번(4점)·서답형7(6점) 17.8점이 중심과 직선의 거리 비교로 풀린다. 판별식 풀이와 거리 풀이를 같은 문제에 두 번 적용해 보고, 거리 풀이가 더 짧아지는 지점을 몸에 익힌다.
18번(4.2점)과 서답형6(6점) 10.2점이 이 유형이다. 특히 서답형6은 두 번 대칭해야 하므로, 답만 맞히지 말고 "A를 y=x에 대칭해 A'(7,4)" "B를 y축에 대칭해 B'(−3,−1)" "직선 A'B': y=x/2+1/2" "교점 P(1,1), Q(0,1/2)"의 네 줄을 반드시 쓰는 연습을 한다.
시험지에 "풀이 과정 없이 답만 있는 경우 0점", "알아볼 수 없는 문자나 숫자는 틀린 것으로 간주"가 명시되어 있다. 서답형7(6점)처럼 (1)~(5) 소문항이 연쇄되는 문항은 앞 소문항에서 막혀도 그 값을 문자로 두고 뒤 단계를 서술하면 부분점수를 챙길 수 있으므로, 빈칸을 남기지 않는 훈련이 필요하다.
전 25문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 평면좌표·직선 | 두 점 사이의 거리 | 3.2 | 하 | ⑤ | √{3²+(−4)²}=5 |
| 2 | 집합 | 두 집합의 상등 | 3.2 | 하 | ③ | a−2=2 ⟹ a=4, 이때 A=B={2,4,5} |
| 3 | 평면좌표·직선 | 삼각형의 무게중심 | 3.2 | 하 | ② | ((0−2+5)/3,(4+0+2)/3)=(1,2), a+b=3 |
| 4 | 도형의 이동 | 원의 x축 대칭이동 | 3.4 | 하 | ② | y→−y 대입, 중심 (2,−3)→(2,3) |
| 5 | 평면좌표·직선 | 평행한 직선의 방정식 | 3.4 | 하 | ③ | y=2x−3에 x=3 대입, a=3 |
| 6 | 원의 방정식 | 일반형 → 표준형 · 넓이 | 3.4 | 하 | ③ | (x+2)²+(y−3)²=4, (−2)+3+4=5 |
| 7 | 평면좌표·직선 | 평행·수직 조건 결합 | 3.4 | 중 | ② | a²=9에서 일치하는 a=−3 제외 ⟹ a=3, 9·b/3=−1 |
| 8 | 원의 방정식 | 세 점을 지나는 원의 넓이 | 3.6 | 중 | ④ | 일반형 F=0, D=−4·E=−2 ⟹ r²=5, 넓이 5π |
| 9 | 평면좌표·직선 | 평행한 두 직선 사이의 거리 | 3.6 | 중 | ① | 계수 정규화 후 (7/2)/√5=7√5/10, 7+10=17 |
| 10 | 집합 | 집합 기호의 참·거짓 | 3.6 | 중 | ⑤ | n(Aᶜ)−n(A)=3−2=1≠3 |
| 11 | 도형의 이동 | y=x 대칭 + 원의 넓이 이등분 | 3.6 | 중 | ④ | x+3y−1=0이 중심 (−a,a) 통과 ⟹ 2a=1 |
| 12 | 집합 | 원소의 개수 · 드모르간 | 3.8 | 중 | ① | n(A∩B)=25−17=8, 50−8=42 |
| 13 | 원의 방정식 | 원 밖의 점에서 그은 접선 | 3.8 | 중 | ① | 7m²−6m−1=0에서 양수 m=1, y절편 1−3m=−2 |
| 14 | 집합 | 포함관계를 만족하는 집합의 개수 | 3.8 | 중 | ⑤ | A∩B⊆X⊆A∪B, 2⁸⁻²=64 |
| 15 | 도형의 이동 | 규칙에 따른 반복 이동 | 3.8 | 중 | ② | (1,2)→(−1,−2)→(−2,0)→(2,0)→(1,2)→(−1,−2) |
| 16 | 집합 | 조건을 만족하는 부분집합의 개수 | 4 | 상 | ④ | 곱 홀수⟹{1,3,5,7,9}, 합 짝수⟹크기 2·4, 10+5=15 |
| 17 | 원의 방정식 | 두 평행 직선에 접하는 원 · 만남 범위 | 4 | 상 | ⑤ | 중점선 x−y+3=0 ⟹ k=3, 합집합 −5≤a≤11, 11+5+3=19 |
| 18 | 도형의 이동 | 대칭이동 + 곡선까지의 최단거리 | 4.2 | 상 | ⑤ | A′(7,−2), 2x³+5x−7=0 ⟹ x=1, B(1,1), 3√5 |
| 서답형1 | 평면좌표·직선 | 내분점과 중점 사이의 거리 | 4 | 하 | √2 | P(6,1), M(5,2) ⟹ PM=√(1+1) |
| 서답형2 | 원의 방정식 | 원과 직선이 두 점에서 만날 조건 | 4 | 중 | −2√2<k<2√2 | |k|/√2<2, 등호 제외에 유의 |
| 서답형3 | 도형의 이동 | 평행이동·대칭이동 3단 소문항 | 5 | 하 | (4,3) / (5,3) / y축 대칭 | (1)(3+1,5−2) (2)x↔y (3)(3,5)→(−3,5)는 y축 대칭 |
| 서답형4 | 집합 | 약수 집합의 원소나열·교집합·합집합 | 5 | 하 | {1,2,3,4,6,12} / {3,4,6} / 8 | n(A∪B)=6+5−3=8 |
| 서답형5 | 집합 | A⊂B를 만족하는 정수 a | 5 | 중 | −2, −1, 0, 1 | a<2, 2a+11≥7 ⟹ −2≤a<2 |
| 서답형6 | 도형의 이동 | 이중 대칭이동 최단경로 | 6 | 상 | P(1,1), Q(0,1/2) | A′(7,4)·B′(−3,−1), 직선 y=x/2+1/2와의 교점 |
| 서답형7 | 원의 방정식 | 원 위의 점과 삼각형 넓이의 범위 | 6 | 상 | 3√2 / 4√2 / 3√2≤PH≤5√2 / 9≤S≤15 / 12개 | S=12+3sinθ로 정리, 끝값 9·15는 1개씩·중간 5개 값은 2개씩 |
함지고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 선택형 18문항 65점과 서답형 7문항 35점, 모두 25문항 100점으로 출제되었다. 서답형이 배점의 35%를 차지하며 그중 서답형6(6점)과 서답형7(6점)이 최고배점으로 끝자리에 놓여, 마지막 두 문항이 상위 등급을 가르는 구조다. 단원별 배점은 집합 28.4점(7문항), 도형의 이동 26.0점(6문항), 원의 방정식 24.8점(6문항), 평면좌표와 직선의 방정식 20.8점(6문항) 순으로 네 단원이 모두 20점대에 걸쳐 있어 한 단원을 버리는 선택이 불가능하다. 난이도는 하 9문항 33.8점, 중 11문항 42.0점, 상 5문항 24.2점이며, 1~6번을 3.2~3.4점 기본 문항으로 깔아 출발선을 낮춘 뒤 16번(4점)부터 배점과 사고량을 함께 올리는 계단식 배치를 택했다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 대칭이동으로 꺾인 경로를 직선으로 펴는 발상이다. 18번(4.2점)과 서답형6(6점)이 이 발상을 직접 요구하고, 4번(3.4점)·11번(3.6점)·서답형3(5점)이 같은 조작을 기초 형태로 미리 깔아 둔다 — 다섯 문항 합계 22.8점이 하나의 아이디어로 묶여 있다. 두 번째 축은 조건을 부등식 범위로 번역하는 능력으로, 17번(4점)의 '적어도 한 직선과 만난다'를 −5≤a≤11로, 서답형5(5점)의 A⊂B를 −2≤a<2로, 서답형7(6점)의 수선 길이를 9≤S≤15로 옮기는 세 문항 15점이 여기에 속한다. 최고배점 서답형7(6점)은 선분 길이·점과 직선의 거리·수선 길이의 범위·넓이의 범위·자연수의 개수까지 다섯 단계를 연쇄로 요구해, 한 단계만 끊겨도 뒤가 모두 막힌다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기가 아니라 조건을 범위로 바꾸고 그 범위의 끝값을 세는 힘이다.
학부모 관점에서 보면 이 시험은 '얼마나 빨리 푸는가'가 아니라 '어떤 순서로 정리하는가'를 본 시험이다. 앞 6문항 19.8점은 교과서 예제 수준이라 성실히 공부한 학생이면 대부분 확보하고, 실제 점수 차이는 서답형 35점 구간에서 벌어진다. 시험지에는 "풀이 과정 없이 답만 있는 경우 0점", "알아볼 수 없는 문자나 숫자는 틀린 것으로 간주"가 명시되어 있어, 답을 맞히고도 과정을 생략하면 배점 전체를 잃는다는 뜻이다. 따라서 실점의 원인은 계산력보다 조건 독해력과 서술력에서 찾아야 한다. 16번(4점)의 '합은 짝수, 곱은 홀수'처럼 두 조건을 동시에 만족시켜야 하는 문장, 서답형5(5점)의 등호 포함 여부, 7번(3.4점)에서 평행 조건의 해 하나를 걸러 내는 판단이 대표적인 감점 지점이다.