₅P₃(1번), ₇C₃(2번), (x−3)³=0(3번), 행렬의 덧셈(4번), 주사위 두 눈의 곱이 홀수(5번), 행렬의 상등(6번), 연립일차부등식(7번), (x−3)²>0(8번)까지 여덟 문항이 모두 1~2단계 계산이다. 배점이 3.3~3.5점으로 균일해 여기서 한 문항만 놓쳐도 곧바로 3점 이상의 손실이 된다.
9번은 AB=BA(교환법칙 성립 조건)를 성분별로 연립해야 하고, 13번은 aij=3i+j로 행렬을 구성한 뒤 단위행렬 E의 성질(AE=A), 영행렬 O, 그리고 XA−E=O를 만족하는 역행렬까지 다섯 보기에서 순차적으로 검증하게 만든다. 서답형4는 A+2B와 2A+B를 변끼리 더해 3(A+B)로 묶는 착안 하나로 끝나는 문항이다.
14번(둘레 24π를 나눠 만든 두 원, 넓이 합 80π → 반지름의 차), 15번(직육면체 두 상자, 부피가 8배 → x의 값), 16번(정삼각형·정사각형 겹침 → a에 대한 이차방정식의 두 근의 합)이 모두 상황을 읽고 방정식을 직접 세워야 하는 활용형이다. 서답형2는 x³+1=0의 허근 ω로 ω²−ω+1과 ω+1/ω를 묻는 정통 복소수 문항이다.
17번(홀수 비이웃 + 같은 열의 합이 3의 배수), 18번(f(x)≥4의 해 조건과 f(x)≤−4의 해가 1개 → f(9)), 서답형5(연립부등식의 해가 없을 조건 → k의 범위), 서답형7(A·B·C 중 적어도 두 명이 이웃)이 이에 해당한다. 네 문항 모두 “구하라”가 아니라 “그렇게 되도록 하는 조건을 찾아라”는 형태다.
x²−6x+9=(x−3)²이므로 좌변은 항상 0 이상이다. 그러나 부등호가 ≥가 아니라 >이므로 x=3일 때는 성립하지 않는다. 정답은 “모든 실수”가 아니라 x≠3인 모든 실수. 3.5점짜리 기본 문항에 배치된 가장 저렴한 함정으로, 매년 반복되는 실수 유형이다.
aij=3i+j로 A=(4 5; 7 8)을 구한 뒤 ①·②·③이 모두 맞아떨어지면 “이 중 하나가 맞겠지”라고 넘겨짚기 쉽다. 실제 오답은 ④ EA−BE=A−B로, 정확히 계산하면 (2 6; 7 4)인데 보기는 (3 6; 7 5)이다. EA와 BE가 각각 A, B와 같다는 단위행렬의 성질을 모르면 이 보기부터 손도 못 댄다.
그림은 3행 2열이므로 “같은 열”은 세로 3칸을 뜻한다. 이를 가로 2칸으로 읽으면 조건 자체가 달라진다. 또 홀수 1·3·5를 서로 이웃하지 않게 놓는 배치가 체스판 색칠 기준 두 가지뿐이라는 점을 못 찾으면 6!=720가지를 일일이 검토하다 시간이 증발한다. 답은 24가지다.
구해야 할 것은 두 부등식의 공통해(교집합)가 공집합이 되는 조건이다. x²−3x−4<0의 해 −1<x<4가 두 번째 부등식 (x−k)²>16의 해가 아닌 구간 k−4≤x≤k+4에 완전히 포함되어야 하므로 k−4≤−1 이면서 4≤k+4, 즉 0≤k≤3이다. 한쪽 부등호만 세우면 범위의 절반을 잃는다.
반원 위 10개의 점 중 지름 위의 6개 점은 한 직선 위에 있어 삼각형을 만들 수 없다. ₁₀C₃=120에서 ₆C₃=20을 반드시 빼야 하며 정답은 100이다. “일직선 위의 점을 제외한다”는 문장이 문제에 쓰여 있지 않고 그림으로만 제시되어 있어 놓치기 쉽다.
14번처럼 합·곱이 주어지는 문항은 (a+b)²=a²+b²+2ab를 반사적으로 꺼내 쓰고, 15·16번 활용형은 미지수를 무엇으로 잡을지부터 문장으로 정한 뒤 식을 세운다. 허근 문제(서답형2)는 x³±1의 인수분해와 ω³=∓1을 암기 수준으로 유지한다.
1·2·5·12번은 30초 안에 끝내는 속도가 목표이고, 17번·서답형7은 “적어도”·“이웃하지 않게”를 만나면 여사건과 사이 자리(₄P₃) 배치법을 즉시 떠올리는 훈련이 필요하다. 서답형6처럼 일직선 위의 점을 빼는 보정도 같은 계열로 묶어 연습한다.
행렬은 이번 시험에서 고난도 문항이 하나도 없는 “안전 단원”이다. 4·6·9번을 무실점으로 가져오고, 13번의 다섯 보기를 전부 계산해 검증하는 연습만 해 두면 22.8점 전부를 확보할 수 있는 가장 효율 높은 투자처다.
8번의 >와 ≥ 구분, 10번 절댓값 부등식의 구간 분할(x<0 / 0≤x<1 / x≥1), 18번의 최솟값=−4 조건, 서답형5의 포함 관계 부등호 두 개까지 모두 “경계에서 등호가 성립하는가”를 매번 말로 확인하는 습관이 핵심이다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 경우의수 | 순열 ₅P₃의 값 | 3.3 | 하 | ₅P₃=5·4·3 공식에 그대로 대입 |
| 2 | 경우의수 | 7명 중 3명의 대표를 뽑는 경우의 수 | 3.3 | 하 | 순서 무관임을 확인하고 ₇C₃ 적용 |
| 3 | 방정식 | 삼차방정식 x³−9x²+27x−27=0의 해 | 3.3 | 하 | 좌변이 완전세제곱 (x−3)³임을 알아보고 삼중근을 확인 |
| 4 | 행렬 | 두 2×2 행렬의 합 A+B | 3.3 | 하 | 대응하는 성분끼리 더하고, 결과가 2×2 꼴인 보기만 남겨 비교 |
| 5 | 경우의수 | 주사위 2개의 눈의 곱이 홀수인 경우의 수 | 3.3 | 하 | 곱이 홀수 ⇔ 두 눈이 모두 홀수임을 파악해 3×3으로 계산 |
| 6 | 행렬 | 행렬의 상등으로부터 a+b+c 구하기 | 3.3 | 하 | 네 성분을 각각 등식으로 놓고 4+c=3에서 c, 나머지 두 식을 연립해 a,b |
| 7 | 부등식 | 연립일차부등식 −5≤x−4≤−x+2 | 3.5 | 하 | 양쪽 부등식을 분리해 각각 풀고 두 해의 공통 범위를 취함 |
| 8 | 부등식 | 이차부등식 x²−6x+9>0 | 3.5 | 하 | (x−3)²>0으로 인수분해 후 등호가 빠져 있음을 확인해 x=3을 제외 |
| 9 | 행렬 | AB=BA를 만족할 때 x−y의 값 | 3.5 | 중 | AB와 BA를 각각 성분으로 계산해 네 성분을 등식으로 연립(먼저 y, 이어서 x) |
| 10 | 부등식 | 절댓값 부등식 |x|+|x−1|≤3 | 3.7 | 중 | x=0, x=1을 기준으로 세 구간으로 나눠 절댓값을 풀고 해의 합집합을 취함 |
| 11 | 방정식 | 연립이차방정식의 자연수 해, α+β | 3.7 | 중 | x²−y²=0을 (x−y)(x+y)=0으로 인수분해, 자연수 조건에서 x=y만 채택 후 대입 |
| 12 | 경우의수 | 2100의 양의 약수 중 14의 배수의 개수 | 3.7 | 중 | 2100=2²·3·5²·7로 소인수분해 후 2와 7을 하나씩 고정하고 나머지 지수 경우의 수를 곱함 |
| 13 | 행렬 | aij=3i+j인 행렬의 성분·E·O·역행렬 종합(옳지 않은 것) | 3.7 | 중 | A=(4 5; 7 8)을 먼저 확정하고 다섯 보기를 하나씩 계산 검증(④ EA−BE=A−B에서 불일치) |
| 14 | 방정식 | 둘레 24π를 나눈 두 원, 넓이 합 80π → 반지름의 차 | 3.9 | 중 | r₁+r₂=12, r₁²+r₂²=80에서 곱을 구하고 (r₁−r₂)²=r₁²+r₂²−2r₁r₂로 처리 |
| 15 | 방정식 | 직육면체 두 상자의 부피 관계로 x 구하기 | 3.9 | 중 | 9600=8·(30−x)(20−x)(16−x)로 놓고 정수 후보를 대입해 인수를 찾아 삼차식을 낮춤 |
| 16 | 방정식 | 정삼각형·정사각형 겹침, 넓이 조건 → a의 값의 합 | 3.9 | 상 | AD=16−a에서 b=a−8을 유도, 직선 CB의 기울기로 H의 높이 √3b를 구해 a의 이차방정식 5a²−96a+460=0으로 정리 후 근과 계수의 관계 |
| 17 | 경우의수 | 3행 2열 칸에 1~6 배열(홀수 비이웃 + 같은 열의 합이 3의 배수) | 4.1 | 상 | 체스판처럼 칸을 두 색으로 나눠 홀수 3개의 배치가 2가지뿐임을 확정한 뒤, 열의 합을 3으로 나눈 나머지로 짝수를 매칭 |
| 18 | 부등식 | f(x)≥4의 해 조건과 f(x)≤−4의 해가 1개 → f(9) | 4.1 | 상 | f(x)−4=a(x+3)(x−5)로 놓고, 해가 1개라는 조건을 “최솟값이 정확히 −4”로 번역해 꼭짓점 x=1에서 a를 결정 |
| 서답형1 | 행렬 | 이차방정식의 두 근으로 만든 두 행렬의 곱, 모든 성분의 합 (서술형) | 4 | 중 | 곱을 성분으로 전개하면 합이 α²+β²+3αβ 꼴이 되므로 근과 계수의 관계(α+β=4, αβ=−2)로 대칭식 변형 |
| 서답형2 | 방정식 | x³+1=0의 허근 ω에 대해 ω²−ω+1(3점), ω+1/ω(2점) (서술형) | 5 | 중 | x³+1=(x+1)(x²−x+1)에서 (1)은 즉시 0, (2)는 ω³=−1로 1/ω=−ω²로 바꾼 뒤 ω²=ω−1을 대입 |
| 서답형3 | 방정식 | 연립이차방정식 2x−y=1, x²−y²=−5 (서술형) | 5 | 중 | 일차식을 y=2x−1로 정리해 대입, 3x²−4x−4=0을 인수분해해 두 쌍의 해를 모두 제시 |
| 서답형4 | 행렬 | A+2B, 2A+B가 주어질 때 A+B 구하기 (서술형) | 5 | 중 | 두 식을 변끼리 더해 3(A+B)를 만든 뒤 3으로 나눔(A, B를 따로 구할 필요 없음) |
| 서답형5 | 부등식 | 연립부등식의 해가 없을 때 실수 k의 범위 (서술형) | 5 | 상 | −1<x<4가 (x−k)²>16의 해가 아닌 구간 k−4≤x≤k+4에 포함되도록 부등호 두 개를 동시에 세움 |
| 서답형6 | 경우의수 | 반원 위 10개의 점으로 만드는 삼각형의 개수 (서술형) | 5 | 중 | ₁₀C₃에서 지름 위 6개 점이 이루는 ₆C₃(일직선)을 빼는 보정 |
| 서답형7 | 경우의수 | 8명 중 A,B,C 포함 6명을 일렬 배열, 적어도 둘이 이웃 (서술형) | 6 | 상 | 나머지 5명 중 3명 선택(₅C₃)×{6!−(나머지 3명 배열 3!×사이 4자리에 ₄P₃)}로 여사건 처리 |
이번 함지고등학교 1학년 공통수학1 2026학년도 1학기 기말고사는 총 25문항 100점(선택형 18문항 65점, 서답형 7문항 35점)으로 구성되었다. 단원별 배점은 방정식 28.7점(7문항), 경우의 수 28.7점(7문항), 행렬 22.8점(6문항), 부등식 19.8점(5문항)으로, 네 단원이 19.8~28.7점 구간에 거의 균등하게 배분된 것이 가장 큰 구조적 특징이다. 특정 단원에 배점이 몰려 있지 않기 때문에 “한 단원을 버리고 나머지에 집중한다”는 전략이 원천적으로 통하지 않는다. 난이도 분포는 하 8문항 26.8점, 중 12문항 50.1점, 상 5문항 23.1점으로, 중 난이도가 배점의 절반을 차지하는 전형적인 “표준 유형 중심” 출제다. 배점은 선택형이 3.3점에서 4.1점까지 여섯 단계로 세분화되어 있어 한 문항의 실점이 곧바로 등급 차이로 이어지는 구조다.
출제 특징을 보면, 1번부터 8번까지 여덟 문항(26.8점)이 모두 1~2단계 계산의 기본 유형으로 배치되어 시험 초반의 체감 난이도는 낮다. 그러나 실제 변별은 16·17·18번과 서답형5·7, 단 다섯 문항 23.1점에서 발생하며, 이 다섯 문항은 예외 없이 “조건의 역방향 해석”을 요구한다. 16번은 도형 상황을 읽어 a에 대한 이차방정식 5a²−96a+460=0을 스스로 세운 뒤 두 근의 합을 구해야 하고, 17번은 홀수 세 개를 이웃하지 않게 놓는 배치가 체스판 색칠 기준 두 가지뿐임을 발견해야 계산량이 통제된다. 18번은 “f(x)≤−4의 해의 개수가 1”이라는 문장을 “최솟값이 정확히 −4”로 번역하는 순간 풀리고, 서답형5는 “해가 없다”를 구간의 포함 관계로, 서답형7은 “적어도 둘이 이웃”을 여사건으로 바꾸는 것이 유일한 경로다. 반대로 8번의 (x−3)²>0에서 “모든 실수”를 고르는 실수, 서답형6에서 지름 위 6개 점의 ₆C₃를 빼지 않는 누락, 13번 보기 ④를 끝까지 계산하지 않는 습관은 실력과 무관하게 점수를 흘리는 대표적 지점이다.
학부모님께는 이번 시험이 고난도 문항으로 승부를 가르는 시험이라기보다 중간 난이도 12문항 50.1점에서 실수를 얼마나 줄였는가가 등급을 결정한 시험이었음을 말씀드린다. 특히 행렬 단원은 상 난이도 문항이 하나도 없는 22.8점으로, 정의와 성질만 정확히 익히면 전량 확보가 가능한 가장 효율 높은 구간이다. 학생들에게는 ① 1~8번 구간을 시험 시간의 25% 이내에 검산까지 끝내는 속도 훈련, ② 행렬 문항을 (i,j) 성분 문자식으로 바꿔 쓰는 습관, ③ “해가 없다·적어도·해가 1개”를 만나면 즉시 여사건·포함 관계·최솟값 조건으로 번역하는 절차화가 필요하다고 처방한다. 다음 학습 사이클은 4주 커리큘럼으로 1주차 행렬 전 범위(덧셈·상등·곱의 교환·E/O·역행렬) 정의 정리 및 “옳지 않은 것” 보기 전수 검증 훈련, 2주차 고차·연립이차방정식 활용형 20문제(도형·입체 부피·대칭식 변형 중심)와 허근 ω 유형 집중, 3주차 부등식 역산형(해 조건→계수, 해가 없을 조건) 및 절댓값 구간 분할 표준화, 4주차 경우의 수 여사건·이웃 조건·일직선 보정 유형 집중과 서답형 실전 서술 첨삭으로 편성할 것을 권장한다. 서답형 35점은 “알아볼 수 없는 문자는 틀린 것으로 간주”가 명시된 만큼, 답만 맞히는 연습이 아니라 중간 과정을 논리적으로 기술하는 훈련을 반드시 병행해야 한다.