선택형 18문항과 서답형 7문항, 100점 만점. 도함수의 활용이 31.5점으로 가장 크고, 연속·극한 존재·미분가능 조건으로 미정계수를 정하는 문항이 6개나 반복됩니다. 서답형 35점은 모두 풀이 과정까지 채점합니다. (시험지에는 '학교 시험'으로만 표기되어 있어, 시행 시기와 출제 범위로 2학기 중간고사로 판단했습니다.)
선택형은 1번 3점에서 18번 5점까지 번호 순으로 배점이 올라가며, 서답형 7문항은 전부 부분 점수가 있는 풀이형입니다.
극한·연속 단원이 12문항, 미분 단원이 13문항으로 거의 반반이며, 배점은 도함수의 활용이 가장 큽니다.
계산 9문항 35점이 가장 크지만 추론 8문항 34.5점이 거의 같은 비중입니다. 계산의 대표는 서답형7(6점), 추론의 대표는 17번(5점)·18번(5점)입니다.
이번 시험에서 반복되는 출제 축
6번(3점)·7번(3.5점)·9번(3.5점)·13번(3.5점)·18번(5점)·서답형1(4점)이 모두 "연속이다", "극한값이 존재한다", "미분가능하다"는 말을 식으로 바꿔 상수를 구하는 구조입니다. 번호가 떨어져 있어도 같은 발상이 반복됩니다.
12번(3.5점)은 $\dfrac{f(a+\square)-f(a)}{\square}$ 꼴 맞추기, 17번(5점)은 함수방정식에서 도함수 만들기, 서답형4(5점)는 $|x|$의 미분가능성을 정의로 서술하기입니다. 공식이 아니라 정의식 자체를 다룰 수 있는지 봅니다.
14번(4점)은 평균값 정리·롤의 정리로 접선의 존재를, 16번(4.5점)은 $y=k$를 움직이며 교점 개수의 변화를, 서답형3(5점)은 증가함수라서 교점이 항상 하나라는 사실을 이용합니다.
시험지 주의 사항에 "풀이 과정 없이 답만 있는 경우 0점 처리"가 명시되어 있고, 서답형 7문항 모두 부분 점수가 있습니다. 서답형7(6점)은 도함수, 증감표와 극값, $y$축 교점, 개형의 네 항목을 지정했습니다.
문항 구조상 실수하기 쉬운 함정
$x=-1$의 채워진 점 $(-1,-1)$은 함숫값이고, 오른쪽 극한은 열린 점 쪽 선분이 가리키는 $1$입니다. 함숫값 $-1$을 쓰면 $-1+1=0$으로 ③을 고르게 됩니다. 정답은 $1+1=2$, ⑤.
$x=-2$에서 분모가 $0$이므로 분자 $\sqrt{4}+a=0$, $a=-2$. 이어서 유리화해 $b=\lim_{x\to-2}\dfrac{1}{\sqrt{x+6}+2}=\dfrac14$를 구해야 합니다. $2ab=-1$, ①.
$f'(x)=3x(x+2)$에서 극대가 되는 점은 $x=-2$이지만 이 점은 구간 $[-1,2]$ 밖입니다. 구간 최댓값은 끝값 $f(2)=20+b=15$에서 $b=-5$를 얻고, 묻는 극댓값은 $f(-2)=-1$, ②.
ㄴ은 $4f'(1)=16$이라 거짓, ㄹ은 $\dfrac{f(x^2)-f(4)}{x^2-4}\cdot(x+2)\to f'(4)\cdot4=8$이라 거짓입니다. ㄹ에서 $f'(x^2)$ 자리에 $f'(2)$를 넣으면 $4f'(2)=12$가 되어 ㄹ을 참으로 착각하고 ⑤를 고르기 쉽고, ㄴ도 $4$를 곱하지 않고 나누면 보기 값 $1$이 나옵니다. 정답 ㄱ, ㄷ ①.
$(-1,2)$와 $(1,-2)$를 잇는 평균 기울기 $-2$는 두 점 "사이 어딘가"의 접선 기울기가 있다는 것만 알려 줄 뿐, 점 $(-1,2)$에서의 기울기가 아닙니다. 평균값 정리는 존재만 알려 줍니다. 정답 ㄱ, ㄴ, ㄹ ④.
$f'(x)=3(x-1)(x-3)$과 $f'(x)=0$의 해, 증감표와 극값($f(1)=2$, $f(3)=-2$), $y$축 교점 $(0,-2)$, 개형까지 네 항목을 모두 써야 합니다. 개형만 그리거나 증감표를 생략하면 부분 점수 구조상 감점될 수 있습니다.
난이도 상 6문항 중 배점 상위 5문항(14번은 오답 유발 포인트에서 다룸) · 모든 중간값은 Python으로 재계산
배점 방어 우선순위별 학습 처방
6·7·9·13·18번과 서답형1을 모아 "연속 / 극한 존재 / 미분가능"을 보는 즉시 두 개의 등식으로 적는 연습을 합니다. 같은 발상이 6문항 22.5점에 걸려 있습니다.
12번 보기 ㄱ~ㄹ을 증분과 분모를 맞춰 다시 쓰고, 17번처럼 특수값($x=y=0$)을 넣어 $f(0)$을 먼저 구하는 습관을 들입니다. 서답형4는 좌·우 미분계수를 따로 써서 비교하는 서술까지 연습합니다.
16번·서답형3·서답형7처럼 개형이 답을 정하는 문항이 많습니다. $f'(x)=0$ → 증감표 → 개형 순서를 손에 익히고, 교점 개수 문항은 경계값에서 개수가 바뀌는지 따로 확인합니다.
서답형 35점은 풀이 과정까지 채점됩니다. 서답형7처럼 지정 항목이 있으면 항목 번호를 붙여 빠짐없이 쓰고, 마지막 줄에 답을 따로 적어 문항 번호와 함께 확인합니다.
전 25문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 함수의 극한 | 극한값의 존재 판정 | 3 | 하 | 이해 | ③ | 좌·우극한 비교, 발산 구분 |
| 2 | 함수의 극한 | 그래프에서 좌·우극한 읽기 | 3 | 하 | 이해 | ⑤ | 열린 점·닫힌 점 구분 |
| 3 | 함수의 극한 | 극한의 대소 관계 | 3 | 하 | 이해 | ① | 각 변을 $x^2$으로 나누어 양쪽 극한 $2$ |
| 4 | 함수의 연속 | 연속함수의 사칙연산 | 3 | 하 | 이해 | ⑤ | 분모 $f(x)=0$인 $x=-3$ 확인 |
| 5 | 미분계수·도함수 | 도함수로 미정계수 결정 | 3 | 하 | 계산 | ③ | $f(0)=b=4$, $f'(1)=4+a=5$ |
| 6 | 함수의 연속 | 무리식 함수의 연속 조건 | 3 | 중 | 계산 | ① | 분자 $\to0$으로 $a=-2$, 유리화로 $b=\frac14$ |
| 7 | 함수의 연속 | 연속 조건과 구간 최대·최소 | 3.5 | 중 | 계산 | ④ | $a=5$, $b=2$ → $M=6$, $m=3$ |
| 8 | 함수의 극한 | 극한 조건으로 다항함수 결정 | 3.5 | 중 | 추론 | ⑤ | $f(x)=2x^3+3x^2+4x$ |
| 9 | 함수의 극한 | 극한값 존재 조건 | 3.5 | 하 | 계산 | ③ | 좌극한 $13+3a$ = 우극한 $7$ → $a=-2$ |
| 10 | 미분계수·도함수 | 평균변화율과 순간변화율 | 3.5 | 하 | 계산 | ④ | 평균변화율 $1=2a-3$ |
| 11 | 도함수의 활용 | 극값과 닫힌구간 최댓값 | 3.5 | 중 | 계산 | ② | $a=3$, 끝값 $f(2)=15$로 $b=-5$, 극댓값 $f(-2)$ |
| 12 | 미분계수·도함수 | 미분계수 정의의 변형 | 3.5 | 중 | 이해 | ① | 증분 맞추기, $f(x^2)$ 꼴은 $(x+2)$ 곱하기 |
| 13 | 미분계수·도함수 | 구간별 함수의 미분가능성 | 3.5 | 중 | 추론 | ② | 연속 $c=0$, 좌·우 미분계수 $a=b=3$ |
| 14 | 도함수의 활용 | 평균값 정리·롤의 정리 | 4 | 상 | 추론 | ④ | 두 점 기울기 $-2$, $0$, $-\frac23$으로 존재 판정 |
| 15 | 도함수의 활용 | 삼각형 넓이의 최댓값 | 4 | 중 | 문제해결 | ③ | $S(t)=\frac12t^2(t-4)^2$, $t=2$에서 최대 $8$ |
| 16 | 함수의 연속 | 교점 개수 함수의 불연속 | 4.5 | 상 | 추론 | ② | $k=0$, $k=3$에서 개수 변화 → $m+n=5$ |
| 17 | 미분계수·도함수 | 함수방정식과 도함수 | 5 | 상 | 추론 | ① | $f(0)=2$ → 정의로 $f'(x)=ax^2+bx+f'(0)$ |
| 18 | 함수의 연속 | 절댓값 함수의 연속과 최댓값 | 5 | 상 | 추론 | ④ | 경계 절댓값 조건 4경우 → 정수·최댓값 조건 |
| 서답형1 | 함수의 극한 | 극한 등식의 미정계수 | 4 | 하 | 계산 | a=3, b=-2 | 분모 $\to0$이면 분자 $\to0$, 약분 후 대입 |
| 서답형2 | 도함수의 활용 | 삼차함수가 극값을 가질 조건 | 4 | 중 | 추론 | 5 | $f'(x)=0$의 판별식 $4a^2-72\gt0$ |
| 서답형3 | 도함수의 활용 | 교점 $x$좌표 범위와 정수 $k$ | 5 | 상 | 추론 | 17 | $k=x^3+3x$ 증가함수 → $-4\lt k\lt14$ |
| 서답형4 | 미분계수·도함수 | 연속과 미분가능성의 정의 | 5 | 중 | 이해 | 연속, 미분 불가 | 극한값 $=f(0)=0$, 좌·우 미분계수 $-1\ne1$ |
| 서답형5 | 도함수의 활용 | 수직인 접선의 방정식 | 5 | 중 | 계산 | y=-x/2+3/4 | 기울기 $2$에 수직 → $-\frac12$, 접점 $\left(-1,\frac54\right)$ |
| 서답형6 | 함수의 극한 | 도형 길이 제곱비의 극한 | 6 | 상 | 문제해결 | 1/4 | 수직이등분선 → $\overline{PQ}=\overline{OQ}$ |
| 서답형7 | 도함수의 활용 | 삼차함수 그래프 개형 | 6 | 중 | 계산 | 극대 2, 극소 -2 | $f'(x)=3(x-1)(x-3)$, 증감표, $y$절편 $-2$ |
이번 시험을 가정에서 어떻게 읽으면 좋은지 정리했습니다.
미적분Ⅰ의 앞부분인 함수의 극한과 연속, 미분을 다뤘습니다. 계산 문제도 많지만, "이 함수가 연속이다", "미분가능하다"는 말을 식으로 바꿔 숫자를 찾는 문항이 여러 번 반복된 것이 특징입니다. 서답형 7문항(35점)은 모두 풀이 과정까지 채점합니다.
틀린 문항이 쉬운 쪽(하·중)인지 어려운 쪽(상)인지를 먼저 확인해 주세요. 하·중 19문항(70.5점)을 모두 맞히는 것이 첫 목표입니다. 서답형은 답이 틀렸는지, 과정이 빠졌는지를 나눠 보면 다음에 고칠 점이 분명해집니다.
시험지에서 틀린 문제 하나를 골라 "어떤 조건을 어떤 식으로 바꿨는지" 말로 설명해 보게 해 주세요. 설명이 막히는 지점이 바로 다음 공부를 시작할 곳입니다. 정답을 알려 주기보다 끝까지 들어 주시는 것이 도움이 됩니다.
기말 범위 학습과 함께 이번 시험의 연속·미분가능 조건 문항과 서답형 풀이 서술을 다시 점검하기를 권합니다. 특히 서답형은 지정된 항목을 빠짐없이 쓰는 습관이 점수와 직결되는 구조입니다.
함지고 2학년 미적분Ⅰ 2026학년도 2학기 중간고사는 선택형 18문항 65점과 서답형 7문항 35점, 총 25문항 100점으로 구성되었다. 단원별 배점은 도함수의 활용 31.5점, 함수의 극한 26점, 미분계수와 도함수 23.5점, 함수의 연속 19점 순이다. 난이도는 하 8문항 26점, 중 11문항 44.5점, 상 6문항 29.5점으로 중 비중이 가장 크다. 선택형은 번호가 커질수록 배점이 3점에서 5점으로 올라가며, 상 문항은 선택형 14·16·17·18번과 서답형3·서답형6에 배치되었다.
이 시험을 관통하는 축은 두 가지다. 첫째는 연속·극한 존재·미분가능 조건을 등식으로 바꿔 미정계수를 정하는 계열로, 6번(3점), 7번(3.5점), 9번(3.5점), 13번(3.5점), 18번(5점), 서답형1(4점)의 6문항 22.5점이다. 둘째는 미분계수의 정의로 돌아가 식을 다시 세우는 계열로, 12번(3.5점), 17번(5점), 서답형4(5점)의 3문항 13.5점이다. 선택형 최고배점인 18번과 17번은 각각 두 계열의 선택형 문항 중 가장 높은 단계에 놓여, 경계 조건에서 생기는 네 경우를 걸러내거나 식이 없는 함수의 도함수를 정의로 직접 만들게 한다. 서답형 최고배점 문항 중 서답형6(6점)은 도형 조건을 좌표로 옮겨 극한을 구하게 한다. 종합하면 이 시험은 공식 대입보다 조건과 정의를 식으로 옮기는 힘을 반복해서 요구하도록 짜여 있다.
학부모와 학생의 눈으로 풀어 보면, 이 시험은 절차대로 계산하는 계산 9문항 35점 못지않게 조건을 해석해 관계를 찾는 추론 8문항 34.5점에 배점이 걸려 있다. 또한 시험지 주의 사항에 "풀이 과정 없이 답만 있는 경우 0점"이 명시되어 있어, 서답형 35점은 답이 맞아도 과정이 빠지면 점수로 이어지지 않는 구조다. 서답형7(6점)은 도함수, 증감표와 극값, y축 교점, 개형의 네 항목을 지정했다. 따라서 이번 시험은 계산의 정확도와 함께 조건을 읽어 내는 독해력과 과정을 빠짐없이 쓰는 서술력에 큰 배점이 걸린 시험이다.