선택형 12문항 56점 + 서답형 7문항 44점, 총 19문항 100점. 도형의 방정식 전 영역(평면좌표·직선·원·도형의 이동)이 72.4점을 차지하고 집합이 27.6점으로 뒤를 받치는 구성으로, 최고배점 9점짜리 서답형 두 문항이 실질 등급을 가른다.
선택형은 3.8점부터 5.5점까지 6단계로 세분되어 있고, 서답형은 5점·6점·9점 세 등급으로 나뉜다. 서답형 1~5는 서술형(풀이과정 필수), 서답형 6~7은 단답형이다.
원의 방정식이 30.2점(6문항)으로 최대 비중이고, 집합 27.6점, 평면좌표와 도형의 이동 25.7점, 직선의 방정식 16.5점이 뒤를 잇는다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
3번(4.2점)은 x축 대칭 후 y=x 대칭이라는 2단 합성을 좌표 규칙으로 처리하면 끝나지만, 서답형4(6점)는 직선을 y=x에 대해 대칭이동해야 하고, 서답형5(9점)는 대칭이동을 최단경로를 펴는 수단으로 역이용해야 한다. 같은 개념이 점 → 직선 → 경로 설계로 세 단계 확장된다.
네 문항 모두 '원이 주어지고 무엇을 구하라'가 아니라, 조건이 먼저 주어지고 원을 확정하는 구조다. 6번(4.5점)은 평행이동 결과로부터 a·b·k를 역산하고, 10번(5.2점)·12번(5.5점)은 중심과 직선 사이의 거리 d를 반지름 r과 비교해 정수 범위를 센다. 서답형7(5점)은 접선 조건 세 개로 두 원의 중심과 반지름을 동시에 결정한다.
5번(4.5점)은 (5−a)²=25에서 a=0, 10을 모두 살려 합 10을 답해야 하고, 서답형4(6점)는 |19+k|=39에서 k=20과 k=−58 두 값을 모두 구해 합 −38을 써야 한다. 한쪽 해만 쓰면 두 문항 모두 0점이 되는 전부 아니면 전무 구조다.
8번(4.8점)은 x³−7x²+14x−8=0의 근 1, 2, 4를 먼저 구해야 집합 A가 정해지고, 그 뒤에야 조건에 자유로운 원소 4개(5, 7, 8, 10)를 찾아 2⁴=16을 센다. 9번(5.2점)은 합집합의 크기가 21 이상 30 이하라는 범위에서 교집합의 최대 18·최소 9를 뽑는다. 서답형3(9점)은 같은 원리를 서술로 요구한다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
x축 대칭 먼저, y=x 대칭 나중이다. (−3,4)→(−3,−4)→(−4,−3). 순서를 뒤집으면 (4,−3)이 나와 ⑤를 고르게 된다. 합성 이동은 문장에 적힌 순서를 그대로 따라야 한다.
(5−a)²=25에서 a=0과 a=10 두 값이 나온다. a=10만 쓰면 ⑤(15)나 오답으로 흐른다. '모든 실수 a의 값의 합'이므로 두 근의 합 10이 정답이다.
(A₄∪A₁₈)∩(A₆∪A₁₈)=(A₄∩A₆)∪A₁₈=A₁₂∪A₁₈이다. 6은 A₆에 속하지만 A₁₂∪A₁₈에는 없으므로 ㄷ은 거짓. lcm(4,6)=12를 맞혔다고 ㄷ까지 참으로 밀면 ⑤를 고른다.
B∩X={3, 6}은 3과 6이 반드시 들어가고 9는 반드시 빠져야 한다는 뜻이다. 9를 자유롭게 두면 2⁵=32(⑤)가 되고, 1·2·4를 제외하지 않으면 개수가 더 커진다. 자유 원소는 5, 7, 8, 10 네 개뿐이다.
서로 다른 두 점에서 만나는 조건 −1<k<9만 풀어도 자연수는 1~8로 같지만, 중심 (−1, 4)와 반지름 √(17−k)를 먼저 확정하지 않으면 부등식 자체를 세울 수 없다. (k−9)(k+1)<0의 방향을 놓치면 ⑤(11)로 빠진다.
두 직선이 A에서 수직으로 만나므로 삼각형 ABC는 A가 직각인 직각삼각형이고, 외심은 빗변 BC의 중점이다. 이를 모르면 연립방정식을 두 번 더 풀어야 해 시간을 크게 잃는다. B(1, 0), C(−7, −2)의 중점 (−3, −1)이 답이다.
P(k)는 2점(k=3,4,5), 1점(k=6), 0점으로 나뉜다. 접하는 경우를 세지 않으면 합이 6(③)이 되고, 경계 k=6을 두 점으로 오인하면 8(⑤)이 된다. d와 r이 같은 경계값을 반드시 따로 검사해야 한다.
원 밖의 점 (3, −6)에서 그은 접선은 두 개인데, 그중 하나는 기울기가 정의되지 않는 x=3이다. y+6=m(x−3)만 놓고 풀면 m=−3/4 하나만 나와 p를 구하지 못한다. p=3을 먼저 확보한 뒤 3x+4y=−15를 mx+ny=45 꼴로 맞추면 m=−9, n=−12다.
제4사분면 원의 반지름은 s=2/5와 s=3 두 값이 나온다. 문제의 단서 "C₁의 반지름이 C₂의 반지름보다 작다"에 따라 C₁의 반지름 2보다 큰 s=3만 채택해야 한다. s=2/5를 쓰면 중심거리부터 달라진다.
시험지에 "서술형이므로 서답형 답란에 풀이과정과 답을 반드시 서술"이라 명시돼 있다. 서답형1~5는 총 34점 분량이며 부분 점수가 있으므로, 완답하지 못해도 중심·반지름·식 세우기까지는 반드시 적어 부분점수를 확보해야 한다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1번(3.8점) 무게중심, 2번(3.8점) 부분집합 개수, 3번(4.2점) 대칭이동, 4번(4.2점) 내분점, 서답형1(5점) 지름 양 끝점, 서답형3(9점) 원소 개수까지 여섯 문항이 공식 직접 적용형이다. 이 30점은 계산 실수 외에 실점 사유가 없어야 하며, 특히 서답형3은 9점짜리 '하' 문항이므로 벤다이어그램과 n(A∩Bᶜ)=n(A)−n(A∩B) 식을 함께 적는 습관만 들이면 만점이 가능하다.
6번(4.5점)·10번(5.2점)·12번(5.5점)·서답형6(5점)·서답형7(5점)까지 25.2점이 모두 중심과 반지름을 먼저 확정하는 문항이다. 일반형 x²+y²+Ax+By+C=0을 완전제곱으로 고쳐 중심 (−A/2, −B/2), 반지름 √(A²/4+B²/4−C)를 뽑는 절차를 손이 기억할 때까지 반복하고, 교점 개수·접선·공통접원을 모두 같은 비교식으로 환원해 푸는 훈련을 한다.
서답형1~5는 모두 부분 점수가 명시돼 있고 합계 34점이다. 서답형5(9점)처럼 (1)의 최솟값 3√13을 못 구해도 A′(−3,5), B′(6,−1)로 대칭시킨 근거만 적으면 배점을 일부 회수할 수 있다. 답만 적어 0점 처리되는 사태를 막기 위해, 평소 연습에서도 마지막 줄에 '따라서 ~이다'를 반드시 쓰는 형식을 몸에 붙인다.
11번(5.5점)은 직각삼각형의 외심=빗변의 중점, 12번(5.5점)은 경계 k=6의 별도 처리, 서답형4(6점)는 y=x 대칭 후 절댓값 두 해, 서답형5(9점)는 두 번의 대칭으로 경로 펴기, 서답형7(5점)은 중심을 (r, r)·(s, −s)로 두기 — 이 다섯 개의 '첫 한 수'만 카드로 만들어 반복한다. 전체 풀이를 다시 쓰는 것보다 진입 발상을 고정하는 편이 재출제 대응력이 훨씬 높다.
전 19문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 평면좌표·이동 | 삼각형의 무게중심 좌표 | 3.8 | 하 | ② | 세 꼭짓점 좌표의 평균. ((−1+0+7)/3, (2+3+1)/3)=(2, 2). |
| 2 | 집합 | 부분집합의 개수 | 3.8 | 하 | ① | 원소가 3개이므로 2³=8. 공집합과 자기 자신 포함. |
| 3 | 평면좌표·이동 | 점의 2단 대칭이동(x축 → y=x) | 4.2 | 하 | ① | (−3,4)→x축 대칭→(−3,−4)→y=x 대칭→(−4,−3). 순서를 그대로 따른다. |
| 4 | 평면좌표·이동 | 선분의 3:1 내분점과 좌표의 곱 | 4.2 | 하 | ⑤ | ((3·8+1·(−4))/4, (3·6+1·2)/4)=(5, 5). ab=25. |
| 5 | 평면좌표·이동 | 두 점 사이의 거리 조건과 두 해의 합 | 4.5 | 중 | ④ | 9+(5−a)²=34 → (5−a)²=25 → a=0 또는 10. 두 해의 합 10. |
| 6 | 원의 방정식 | 원의 평행이동량 역산 | 4.5 | 중 | ⑤ | (x−2)²+(y+3)²=4. 중심 (2,−3)이 원점으로 가려면 a=−2, b=3, k=4. 합 5. |
| 7 | 집합 | 배수집합의 포함관계·분배법칙 <보기> | 4.8 | 중 | ③ | ㄱ 참, ㄴ A₄∩A₆=A₁₂ 참, ㄷ 결과는 A₁₂∪A₁₈이어서 A₆이 아님(6이 빠짐). |
| 8 | 집합 | 삼차방정식의 근과 조건을 만족하는 집합의 개수 | 4.8 | 중 | ④ | A={1,2,4}. X는 1·2·4·9 제외, 3·6 필수. 자유 원소 5,7,8,10 → 2⁴=16. |
| 9 | 집합 | 교집합 원소 개수의 최대·최소 | 5.2 | 중 | ⑤ | n(A∩B)=39−n(A∪B), 21≤n(A∪B)≤30 → 최대 18·최소 9. 합 27. |
| 10 | 원의 방정식 | 원과 직선이 두 점에서 만날 자연수 k의 개수 | 5.2 | 중 | ② | 중심 (−1,4), r²=17−k. |k−5|/√2 < √(17−k) → −1<k<9 → k=1~8, 8개. |
| 11 | 직선의 방정식 | 수직조건·세 교점·직각삼각형의 외심 | 5.5 | 상 | ③ | 수직조건에서 a=1 → A(−2,3), B(1,0), C(−7,−2). A가 직각이므로 외심은 빗변 BC의 중점 (−3,−1). |
| 12 | 원의 방정식 | 교점 개수 함수 P(k)의 합 | 5.5 | 상 | ④ | d=|3k−13|/5. k=3,4,5는 2점, k=6은 접하여 1점, 나머지는 0. 합 7. |
| 서답형1 | 원의 방정식 | 지름의 양 끝점으로 정해지는 원의 방정식(서술형) | 5 | 하 | (x−1)² +(y+2)²=32 |
중심은 AB의 중점 (1,−2), 반지름은 AB/2=4√2. r²=32를 반드시 계산해 적는다. |
| 서답형2 | 직선의 방정식 | 평행한 두 직선 사이의 거리(서술형) | 5 | 중 | √10⁄5 | 한 직선 위의 점 (0,5)를 잡아 다른 직선까지의 거리 |0−5+3|/√10=2/√10=√10/5. 유리화까지 완료해야 한다. |
| 서답형3 | 집합 | 여집합·교집합의 원소 개수 2문항(서술형) | 9 (4+5) |
하 | (1) 18 (2) 7 |
(1) n(A∩Bᶜ)=n(A)−n(A∩B)=28−10. (2) n(Aᶜ∩Bᶜ)=n(U)−n(A∪B)=50−43. |
| 서답형4 | 직선의 방정식 | 직선의 y=x 대칭이동과 점과 직선 사이의 거리(서술형) | 6 | 상 | −38 | 5x+12y+k=0 → 12x+5y+k=0. |24−5+k|/13=3 → k=20, −58. 두 값의 합 −38. |
| 서답형5 | 평면좌표·이동 | 두 번의 대칭이동을 이용한 최단경로와 상수 결정(서술형) | 9 (4+5) |
상 | (1) 3√13 (2) a=3, b=9/2 |
A를 y축에, B를 x축에 대칭시켜 A′(−3,5), B′(6,−1). 최솟값은 A′B′=√117=3√13. 직선 A′B′: y=3−(2/3)x가 y축·x축과 만나는 점에서 a, b를 읽는다. |
| 서답형6 | 원의 방정식 | 원 밖의 점에서 그은 두 접선(단답형) | 5 (2+3) |
중 | (1) p=3 (2) m=−9, n=−12 |
수직접선 x=3이 먼저 존재. 나머지는 기울기 −3/4인 3x+4y+15=0이고, mx+ny=45 꼴로 맞추려 −3배 하면 −9x−12y=45. |
| 서답형7 | 원의 방정식 | 두 축과 한 직선에 동시에 접하는 두 원 · 선분 길이의 최댓값(단답형) | 5 | 상 | 5+√26 | 중심을 (r, r)·(s, −s)로 두면 r=2, s=3(반지름 대소 조건). 중심거리 √26에 두 반지름을 더해 √26+5. |
매천고 1학년 2025학년도 2학기 중간고사 공통수학2는 총 19문항 100점으로, 선택형 12문항 56점과 서답형 7문항 44점이 대략 6:4로 나뉜다. 단원별로는 원의 방정식이 6문항 30.2점으로 가장 크고 집합 5문항 27.6점, 평면좌표와 도형의 이동 5문항 25.7점, 직선의 방정식 3문항 16.5점 순이다. 난이도는 상 5문항 31점, 중 8문항 39점, 하 6문항 30점으로 거의 삼등분됐지만, 상 5문항 중 3문항이 서답형에 몰려 있어 선택형만 방어하면 상한이 70점대에 걸린다. 선택형 배점을 3.8점에서 5.5점까지 여섯 단계로 쪼갠 것도 중위권 점수대를 촘촘히 벌리려는 설계다.
문항 번호는 흩어져 있지만 발상은 두 갈래로 수렴한다. 하나는 대칭이동을 계산 도구로 쓰는 계열로 3번(4.2점)·서답형4(6점)·서답형5(9점) 합계 19.2점이며, 점의 대칭에서 직선의 대칭, 다시 꺾인 경로를 직선으로 펴는 최단거리 설계로 단계가 올라간다. 다른 하나는 조건에서 원을 거꾸로 확정하는 계열로 6번(4.5점)·10번(5.2점)·12번(5.5점)·서답형7(5점) 합계 20.2점이며, 넷 모두 중심과 반지름을 먼저 세운 뒤 중심과 직선 사이의 거리를 반지름과 비교하는 동일한 틀을 쓴다. 최고배점인 서답형3(9점)과 서답형5(9점)는 성격이 정반대다. 앞은 공식 두 줄로 끝나는 대신 서술 형식을 요구하고, 뒤는 대칭 두 번·직선의 방정식·두 축과의 교점까지 조건이 3단으로 중첩된다. 결국 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라, 주어진 조건을 어떤 표준 도구로 환원할지 고르는 판단력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 "공식을 외웠는가"보다 "문제를 도구로 번역할 줄 아는가"를 묻는 시험이다. 시험지에는 서답형 1~5가 서술형이므로 풀이과정과 답을 반드시 서술하라고 명시돼 있고 부분 점수가 있다고 적혀 있다. 이는 34점 분량에서 답만 적으면 0점, 도중까지만 적어도 점수가 남는다는 뜻이므로, 완답 실패가 곧 실점은 아니라는 점을 아이에게 알려줄 필요가 있다. 실점 원인을 찾을 때는 세 곳을 보면 된다. 5번·서답형4처럼 절댓값의 두 해 중 하나만 쓴 경우는 조건 독해력, 12번처럼 접하는 경계값을 빠뜨린 경우는 경우 분류의 꼼꼼함, 서답형에서 답은 맞았는데 점수가 깎인 경우는 서술력이다. 세 원인은 처방이 전혀 다르므로, 답안지를 함께 보며 어느 쪽인지부터 가려내는 것이 다음 시험 대비의 출발점이다.