선택형 16문항 60점 + 서답형 5문항 40점의 21문항 100점 구성. 1~6번은 일차함수·연립방정식 그래프, 7번부터는 삼각형의 성질과 내심·외심으로 전개된다. 서답형이 총점의 40%를 차지하고 다섯 문항 모두 풀이 과정 서술을 요구해, 정답만으로는 배점을 지킬 수 없는 시험이다.
난이도 '하'가 3문항 9점에 불과해, 기본 문항 방어만으로는 상위권 진입이 불가능한 배점 구조다.
5개 대단원 구성. 도형 3개 단원(이등변·직각삼각형의 합동·내심/외심)이 합계 63점으로 전체의 3분의 2에 육박한다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
네 문항이 "x축과 평행", "교점 (4, 2)", "해가 무수히 많다", "교점이 없다"라는 그래프 언어를 던지고 미지수 a, b를 거꾸로 구하게 한다. 조건을 식으로 옮기는 첫 한 줄에서 승부가 갈린다.
AC=CD=DE=EF=FB라는 다섯 개의 등변이 사슬처럼 이어져, 밑각 β가 2β→3β→4β로 증폭된다. 마지막에 BA=BC를 쓰면 β+4β+4β=180°가 되어 β=20°, ∠A=80°가 나온다.
내심을 ① 세 변까지 거리가 같은 점(ID=IE=IF), ② 세 내각의 이등분선의 교점(∠IBD=∠IBE), ③ 접선 길이가 같은 점(AD=AF, BD=BE, CE=CF)의 세 얼굴로 나눠 묻는다. 16번은 8개 보기를 외심 성질과 섞어 혼동을 유도한다.
서답형2는 <조건>으로 "세 교점 좌표를 모두 구할 것", "좌표평면 위에 도형을 나타내고 넓이를 구할 것"을, 서답형3은 "합동기호로 합동인 삼각형을 나타내고 이유를 쓸 것", "□DBCE의 넓이를 이용할 것"을 지정했다. 정답 수치만 쓰면 배점의 일부만 인정되는 구조다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
a=2까지 구한 뒤 ⑤ y=-⅔x+5와 "기울기가 같으니 일치"로 처리하기 쉽다. 실제 식은 y=-⅔x+5/3이므로 y절편이 다르고, 두 그래프는 평행일 뿐 일치하지 않는다. 일치 판정은 기울기와 y절편을 모두 비교한다.
x축 위의 교점은 y=0을 대입해 (3, 0)을 구한다는 뜻이고, y축과 평행한 직선은 x=(상수) 꼴이다. 두 개념을 바꿔 읽으면 y=3(⑤)이나 x=-3(①)으로 흘러간다.
x-ay=3과 2x+y=b에서 1/2 = -a/1 = 3/b를 세워야 한다. 부호 -a를 a로 쓰면 a=1/2이 되어 합이 13/2(④)로 어긋난다. 정답은 a=-1/2, b=6이므로 합은 11/2.
10번 소윤의 "세 내각의 이등분선이 각각의 대변과 수직"은 꼭지각의 이등분선에만 해당한다. 16번 ㄷ(IA=IB=IC)과 ㅅ(∠BIC=2∠BAC)은 모두 외심 성질로, 내심에 갖다 붙이면 개수가 5개로 부풀어 오답(④)이 된다.
ax-4y=5와 3x-2y=2b가 평행하려면 a/3 = (-4)/(-2) ≠ 5/2b이다. a=6까지는 대부분 도달하지만, b를 "b=5/4"로 쓰면 오히려 두 직선이 일치해 교점이 무수히 많아진다. 정답은 a=6, b≠5/4.
∠BIC=90°+40°=130°이므로 원주각 130°가 가리키는 호는 260°다. 여기서 ∠BOC=2×130°=260°로 답하면 안 된다. 그림에서 O는 BC의 반대편(아래)에 있으므로 구해야 할 각은 360°-260°=100°, 따라서 차는 30°.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형2(10점)·서답형5(10점)·서답형3(8점)·서답형4(6점)가 난이도 '상'이며 합 34점이다. 이 네 문항을 '풀 수 있다'가 아니라 '조건을 빠짐없이 쓴 완성 답안을 25분 안에 만든다' 수준까지 연습한다. 실제 답안지 크기의 백지에 세 번씩 다시 쓰는 훈련이 가장 효율적이다.
4·5·6번과 서답형1(합 18점)은 모두 같은 발상이다. "평행(해 없음): 계수비 같고 상수비 다름 / 일치(해 무수히): 계수비=상수비 / 한 점에서 만남: 계수비 다름"을 세 줄로 써 붙여 두고, 연립방정식 문항을 볼 때마다 어느 줄에 해당하는지부터 판정한다.
'삼각형의 내심과 외심' 단원이 28점으로 최다다. 내심(각의 이등분선·세 변까지 거리·접선 길이·∠BIC=90°+∠A/2)과 외심(수직이등분선·세 꼭짓점까지 거리·∠BOC=2∠A·직각삼각형은 빗변의 중점)을 왼쪽·오른쪽으로 나눈 표를 백지에 재현할 수 있어야 16번 같은 다중 보기 문항이 안정된다.
9번의 β 연쇄, 13번의 4cm/2cm 배치, 15번의 접선 길이 3·4·6은 모두 "그림에 값을 옮겨 적으면 보이고, 눈으로 따라가면 놓치는" 유형이다. 문제를 읽으면서 그림 위에 조건을 표기하는 데 20초를 쓰는 것이 전체 시간을 줄인다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수 | 일차방정식 그래프의 y절편 | 2 | 하 | ④ | 3x−y+2=0 → y=3x+2. x=0 대입해 y절편 2. |
| 2 | 일차함수 | 기울기로 식 복원 후 그래프 성질 판별(옳지 않은 것) | 4 | 중 | ⑤ | −a/3=−2/3 → a=2, y=−⅔x+5/3. ⑤는 y절편이 5로 달라 일치하지 않음. |
| 3 | 일차함수 | x축 위 교점을 지나고 y축에 평행한 직선 | 3 | 중 | ② | y=0 대입 → (3, 0). y축에 평행 ⇒ x=3. |
| 4 | 일차함수 | 두 점을 지나는 직선이 x축과 평행할 조건 | 4 | 중 | ① | x축 평행 ⇔ y좌표 일치. −a=2a−1 → a=1/3. |
| 5 | 연립·그래프 | 두 그래프의 교점 (4, 2)에서 a−2b 구하기 | 4 | 중 | ① | 교점을 두 식에 대입: 4+2a=−4 → a=−4, 4b+4=8 → b=1. a−2b=−6. |
| 6 | 연립·그래프 | 해가 무수히 많을 조건 → a+b | 4 | 중 | ② | 1/2=−a/1=3/b → a=−1/2, b=6. a+b=11/2. |
| 7 | 이등변삼각형 | 외각 정리와 이등변 판정으로 ∠ADC와 x | 3 | 중 | ⑤ | ∠ADC=32°+32°=64°. ∠DAC=∠ADC → CA=CD=DB=5. 64°, 5. |
| 8 | 이등변삼각형 | 두 밑각이 같음의 증명 과정 빈칸(옳지 않은 것) | 4 | 하 | ③ | ③에는 ∠CAD가 들어가야 한다. ∠CAB는 전체 꼭지각이라 오답. |
| 9 | 이등변삼각형 | 다섯 등변의 연쇄 추적으로 ∠A 구하기 | 5 | 상 | ⑤ | ∠B=β로 두고 외각 정리 반복 → ∠A=4β. BA=BC이므로 β+4β+4β=180°, β=20°, ∠A=80°. |
| 10 | 이등변삼각형 | 다섯 학생 대화형 성질 판별(옳지 않은 학생) | 4 | 중 | ③ | 소윤: 대변과 수직인 것은 꼭지각의 이등분선뿐. 세 내각 모두는 성립하지 않는다. |
| 11 | 직각·합동 | 각의 이등분선 위 점의 등거리성으로 △ABD 넓이 | 4 | 중 | ③ | D에서 AB까지 거리 = DC = 3. ½×10×3 = 15cm². |
| 12 | 직각·합동 | 세 변으로 직각삼각형 판별 | 3 | 하 | ⑤ | 8²+15²=289=17². 나머지는 모두 불일치. |
| 13 | 직각·합동 | 정사각형 내부 사각형 EFGH의 넓이 | 4 | 중 | ④ | 한 변=4+2=6 → 36. 네 귀퉁이 합동 직각삼각형 4×(½×4×2)=16. 36−16=20cm². |
| 14 | 내심·외심 | 종이접기 활동으로 정의한 내심, ∠AIB로 ∠ACB | 4 | 중 | ① | 두 번의 접기 = ∠A, ∠B의 이등분선 ⇒ I는 내심. 90°+∠C/2=110° → ∠C=40°. |
| 15 | 내심·외심 | 내접원 접선 길이로 △ABC 둘레 | 4 | 중 | ④ | AD=AF=3 → BD=4=BE, CE=CF=6. 둘레=7+10+9=26cm. |
| 16 | 내심·외심 | 내심 성질 8개 보기 중 옳은 것의 개수 | 4 | 중 | ② | 옳은 것은 ㄴ(BE=BD), ㄹ(ID=IE=IF), ㅂ(∠IBD=∠IBE) 3개. ㄷ·ㅅ은 외심 성질. |
| 서답형1 | 연립·그래프 | 두 그래프의 교점이 없을 조건(a, b) | 6 | 중 | a=6, b≠5/4 | 평행 ⇔ a/3 = (−4)/(−2) ≠ 5/(2b). a=6이고 2b≠5/2이므로 b≠5/4. |
| 서답형2 | 연립·그래프 | 세 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이(조건: 교점 3개·작도) | 10 | 상 | 25/2 | 교점 (3/2, −1/2), (−1, 7), (−1, −3). 밑변 x=−1 위 길이 10, 높이 5/2 → ½×10×5/2=25/2. |
| 서답형3 | 직각·합동 | 직선 l에 내린 두 수선의 발과 RHA 합동, △ABC 넓이 | 8 | 상 | 89/2 | △ABD≡△CAE(RHA) → AD=5, AE=8, DE=13. □DBCE=½(8+5)·13=169/2에서 두 삼각형 40을 빼면 89/2 cm². |
| 서답형4 | 내심·외심 | 내심 I와 △BIC의 외심 O, ∠BIC−∠BOC | 6 | 상 | 30° | ∠BIC=90°+80°/2=130°. 원주각 130°의 호는 260°이고 O는 BC 반대편이므로 ∠BOC=360°−260°=100°. 차 30°. |
| 서답형5 | 내심·외심 | 직각삼각형의 내접원·외접원 둘레의 합 | 10 | 상 | 17π cm | AC=√(13²−5²)=12. r=(5+12−13)/2=2, R=13/2. 2π·2+2π·13/2=4π+13π=17π. |
매천중학교 2학년 2025학년도 2학기 중간고사 수학은 선택형 16문항 60점, 서답형 5문항 40점으로 구성된 총 21문항 100점 시험이다. 단원별 배점은 삼각형의 내심과 외심 28점(5문항), 연립방정식과 그래프 24점(4문항), 직각삼각형의 합동·피타고라스 19점(4문항), 이등변삼각형의 성질 16점(4문항), 일차함수와 일차방정식 13점(4문항) 순이며, 도형 세 단원이 합계 63점으로 시험의 3분의 2를 차지한다. 난이도는 상 5문항 39점, 중 13문항 52점, 하 3문항 9점으로 '하' 배점이 9점에 그친다. 1~6번에 대수를, 7번 이후에 도형을 몰아 배치해 앞에서 시간을 벌고 뒤에서 쓰게 하는 설계다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 조건을 거꾸로 읽어 계수를 복원하는 역추적형이다. 4번(4점) x축 평행, 5번(4점) 교점 대입, 6번(4점) 해가 무수히 많을 조건, 서답형1(6점) 해가 없을 조건이 모두 같은 발상이며 합산 18점이 여기에 걸려 있다. 두 번째 축은 등변의 연쇄 추적으로, 9번(5점)은 다섯 개의 등변을 따라 외각 정리를 네 번 반복해 9β=180°을 세워야 하고, 서답형4(6점)는 내심의 ∠BIC=90°+∠A/2와 △BIC 외심의 중심각을 한 그림에서 분리해 130°−100°=30°를 얻어야 한다. 최고배점은 서답형2와 서답형5(각 10점)로, 전자는 세 교점 좌표를 모두 구해 도형을 작도한 뒤 넓이 25/2를, 후자는 5·12·13 직각삼각형에서 r=2와 R=13/2를 각각 확정해 17π를 만들어야 한다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 계산 속도가 아니라 그림과 조건을 정의로 환원해 필요한 값을 스스로 만들어내는 힘이다.
쉽게 말해 이번 시험은 공식을 외웠는지가 아니라 왜 그렇게 되는지 설명할 수 있는지를 물었다. 서답형 다섯 문항 전부에 "풀이 과정을 반드시 쓰시오"가 붙었고, 서답형2는 <조건>으로 세 교점 좌표를 모두 구하고 좌표평면에 도형을 나타낼 것을, 서답형3은 합동기호로 합동인 삼각형을 나타내고 그 이유를 쓸 것을 명시했다. 답이 맞아도 요구된 서술 단계를 빠뜨리면 배점 일부가 사라진다는 뜻이고, 서답형 40점 중 34점이 이런 조건부 서술 문항이다. 따라서 아이가 점수를 잃었다면 원인은 계산 실수보다 먼저 조건 문장을 놓친 독해력, 그리고 합동 조건과 내심의 정의를 문장으로 적어내지 못한 서술력에서 찾아야 한다.