신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
매천중학교 3학년 · 수학 2026학년도 1학기 기말고사 문항분석
선택형 18문항 70점 + 서답형 4문항 30점, 총 22문항 100점. 이차방정식(45점)과 이차함수(55점)를 거의 반씩 나눠 배치했고, 「그래프·해에서 계수를 거꾸로 찾는」 역추적형이 8문항 34점으로 시험 전체를 관통한다.
신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
선택형 18문항 70점 + 서답형 4문항 30점, 총 22문항 100점. 이차방정식(45점)과 이차함수(55점)를 거의 반씩 나눠 배치했고, 「그래프·해에서 계수를 거꾸로 찾는」 역추적형이 8문항 34점으로 시험 전체를 관통한다.
서답형 비중 30%, 그 중 서답형4(11점)는 「풀이 방법을 지정한 조건부 서술형」 3문항 묶음이다.
이차방정식 45점(9문항) · 이차함수 55점(13문항) — 후반 단원에 무게를 더 실었다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
1·3·4·11·16·17번과 서답형2·3이 모두 같은 발상이다. 해·그래프·평행이동 결과가 먼저 주어지고 a, b, c, p, q를 되짚는다. 특히 3번은 근의 공식과 주어진 해의 꼴을 항끼리 대응시켜 q=3, 9−8p=17을 동시에 읽어야 한다.
16번은 꼭짓점 (1,4)와 y절편 2에서 y=−2(x−1)²+4를 세운 뒤 4a+2b+c가 곧 x=2일 때의 함숫값임을 알아채야 하고, 18번은 세 식을 모두 (1/2)(x−m)²+n으로 고쳐야 꼭짓점 (1,2)·(3,4)·(−1,4)가 드러난다. 서답형3(7점)도 y=a(x+2)²−6을 전개해 상수항 4a−6=6에서 a를 뽑는 구조다.
(1)은 AB=0 ⟹ A=0 또는 B=0을 명시, (2)는 제곱근을 이용한 단계별 과정, (3)은 근의 공식 자체를 적을 것을 각각 조건으로 못박았다. 세 소문항의 답만 맞혀도 조건을 빠뜨리면 점수가 남지 않는다.
12번은 y=k와 두 포물선의 교점 x좌표 차가 6, 13번은 직사각형 두 변의 비가 2:1, 18번은 세 포물선이 만드는 곡선삼각형의 넓이다. 세 문항 모두 「점의 좌표를 문자로 두고 길이를 식으로 표현」하는 같은 출발점을 갖는다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
D=0에서 (2k²−28)²=100. 여기서 2k²−28=±10 두 갈래를 모두 잡아야 k²=19와 k²=9가 나오고, 다시 각각 ±를 붙여 네 값(±√19, ±3)이 완성된다. ±를 한 번만 쓰면 보기 ㄴ·ㄹ 또는 ㄷ·ㅁ만 골라 ②·③으로 빠진다.
3p²+5p−3=0의 근은 무리수여서 대입으로는 끝나지 않는다. 양변을 p로 나눠 3p+5−3/p=0 ⟹ 3(p−1/p)=−5, 곧 −5/3. 묻는 것이 p가 아니라 p−1/p라는 점을 먼저 읽어야 한다.
네 조건에서 y=−(3/2)(x−2)²+3이 확정된다. x절편이 2±√2로 둘 다 양수이고 y절편이 −3이므로 제2사분면을 지나지 않는다. 축·꼭짓점·y절편만 확인하고 ①을 건너뛰면 정답을 놓친다.
주어진 그래프에서 a<0, p<0, q>0. 구하는 y=p(x+a)²−q는 p<0이라 위로 볼록, 꼭짓점 x=−a>0, 꼭짓점 y=−q<0이다. 즉 x축과 만나지 않고 제4사분면에 꼭짓점이 있는 ③. 「위로 볼록」만 보고 ④·⑤를 고르는 실수가 가장 많다.
정오각형 대각선은 3+3√5이지만 묻는 것은 BP다. △ABP가 ∠PAB=∠PBA=36°인 이등변삼각형임을 이용하면 BP=3√5−3, 즉 −3+3√5. 대각선 전체 길이 ⑤(3+3√5)가 그대로 오답 선지로 놓여 있다.
(1)에서 x=6, −2만 적으면 「AB=0이면 A=0 또는 B=0」 서술이 빠져 감점, (3)에서 x=(−5±√37)/6만 적으면 근의 공식 표기가 빠져 감점된다. 조건 박스는 배점표와 같은 문장으로 읽어야 한다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1·2·8·9·11·14·15번과 서답형2는 개념 한 줄로 끝나는 8문항 29점이다. 중근 판별(2번), |a|와 폭(9번), 평행이동 방향 부호(14번), x축 대칭 시 a의 부호만 바뀐다(15번) — 이 네 문장을 즉답 수준으로 만들어 두면 시험 시간의 3분의 1을 뒤로 넘길 수 있다.
서답형1(7점)·3(7점)·4(11점) 모두 풀이과정이 배점이다. 답을 낸 뒤 조건 박스를 다시 읽고 요구된 표현(AB=0 논리, 제곱근 단계, 근의 공식)이 답안에 실제로 적혀 있는지 눈으로 대조하는 30초 습관을 들인다. 서답형2(5점)는 두 점 대입 한 번이므로 가장 먼저 처리한다.
1·3·4·11·16·17번과 서답형2·3을 한 세트로 반복 훈련한다. 「주어진 결과를 식으로 복원 → 미지 계수를 남긴 같은 꼴로 정리 → 계수비교」 절차를 공책 한 페이지에 고정해 두고, 문제를 볼 때마다 그 절차의 어느 단계인지 표시하며 푼다. 이 34점이 이번 시험 등급의 중심이다.
4·5·6·13·17·18번 6문항 27점 중 13·17번은 절차가 짧아 훈련하면 확보 가능하고, 6·18번은 시간이 많이 든다. 실전에서는 4·5·13·17번(17점)을 먼저 잡고 6·18번(10점)은 남은 시간에 도전하는 순서를 정해 두어야 시간 부족으로 쉬운 문항을 놓치는 사고를 막는다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이차방정식 풀이 | 해를 대입해 계수 a 구하기 | 3 | 하 | ② | ax²−ax+6=0에 x=3 대입 → 6a+6=0 → a=−1 |
| 2 | 이차방정식 풀이 | 중근을 갖는 식 찾기 | 3 | 하 | ③ | (3x+1)²=0만 완전제곱 꼴 → 중근 x=−1/3 |
| 3 | 이차방정식 풀이 | 근의 공식과 주어진 해의 계수비교 | 3 | 중 | ④(=2) | x=(3±√(9−8p))/4와 대응 → q=3, 9−8p=17 → p=−1, p+q=2 |
| 4 | 이차방정식 풀이 | 중근 조건 D=0과 보기 선별 | 4 | 상 | ⑤ | (2k²−28)²=100 → k²=19 또는 9 → k=±√19, ±3 (ㄴ·ㄷ·ㄹ·ㅁ) |
| 5 | 이차방정식 풀이 | 해를 계수에 대입, p−1/p 변형 | 5 | 상 | ① | 3p²+5p−3=0을 p로 나눠 3(p−1/p)=−5 → −5/3 |
| 6 | 이차방정식 활용 | 정오각형 두 대각선의 교점까지 길이 | 5 | 상 | ① | ∠PAB=∠PBA=36° 이등변 → BP=6·sin36°/sin108°=3√5−3 |
| 7 | 이차방정식 활용 | 3살 차 형제의 나이 방정식 | 4 | 중 | ② | x²=2(x−3)²+2 → x²−12x+20=0 → x=2 또는 10, 조건상 10세 |
| 8 | 이차함수 y=ax² | 이차함수가 아닌 것 고르기 | 4 | 하 | ⑤ | y=10x는 일차함수. ①x²+x ②4π(x+1)² ③x(x−3)/2 ④3πx²는 모두 이차 |
| 9 | 이차함수 y=ax² | 폭이 가장 좁은 그래프 | 3 | 하 | ① | |a|가 클수록 폭이 좁다 → |−3|=3이 최대 |
| 10 | 평행이동·일반형 | 네 조건을 만족하는 그래프의 성질 | 4 | 중 | ① | y=−(3/2)(x−2)²+3. x절편 2±√2(모두 양수), y절편 −3 → 제2사분면 미통과 |
| 11 | 이차함수 y=ax² | y축 방향 평행이동 후 점 대입 | 4 | 하 | ④ | y=ax²+3에 (1,4) 대입 → a+3=4 → a=1 |
| 12 | 이차함수 y=ax² | y=k와 두 포물선의 교점 거리 | 4 | 중 | ④ | x=√k/2와 x=2√k → AB=(3/2)√k=6 → √k=4 → k=16 |
| 13 | 이차함수 y=ax² | 포물선 위 두 점으로 만든 직사각형 둘레 | 4 | 상 | ④ | B(b,b²/3), D(2b,4b²/3) → AB=b², BC=b, b²:b=2:1 → b=2, 둘레 12 |
| 14 | 평행이동·일반형 | x축 방향 −7 평행이동 | 3 | 하 | ③ | x 자리에 x+7 대입 → y=(1/2)(x+7)² |
| 15 | 평행이동·일반형 | x축에 대칭인 그래프의 식 | 4 | 하 | ⑤ | y 대신 −y → y=−2(x−3)², 꼭짓점 x좌표는 그대로 3 |
| 16 | 평행이동·일반형 | 그래프에서 4a+2b+c 읽기 | 4 | 중 | ② | 꼭짓점 (1,4)·y절편 2 → y=−2(x−1)²+4, 4a+2b+c=f(2)=2 |
| 17 | 평행이동·일반형 | a·p·q 부호로 새 그래프 개형 추론 | 4 | 상 | ③ | a<0, p<0, q>0 → y=p(x+a)²−q는 위로 볼록, 꼭짓점 (−a>0, −q<0) |
| 18 | 평행이동·일반형 | 세 이차함수로 둘러싸인 도형의 넓이 | 5 | 상 | ② | 교점 (−1,4)(1,6)(3,4). 위·아래 차가 2x+2와 −2x+6인 일차식 → 4+4=8 |
| 서답형1 | 이차방정식 활용 | 두 자리 자연수 조건식 (서술형) | 7 | 중 | 68 | a+b=14, ab=10a+b−20 → a²−5a−6=0 → a=6, b=8 |
| 서답형2 | 이차함수 y=ax² | 두 점을 지나는 y=ax²에서 k | 5 | 하 | k=−18 | (2,−2)에서 a=−1/2 → k=−1/2·(−6)²=−18 |
| 서답형3 | 평행이동·일반형 | 평행이동 결과와 일반형 계수비교 (서술형) | 7 | 중 | a=3, b=12 | y=a(x+2)²−6 전개 → 상수항 4a−6=6 → a=3, b=4a=12 |
| 서답형4 | 이차방정식 풀이 | 지정된 3가지 풀이법 서술 (3+5+3점) | 11 | 중 | (1) x=6 또는 −2 (2) x=2±√10/2 (3) x=(−5±√37)/6 | (1) 인수분해 (x−6)(x+2)=0 · (2) (x−2)²=5/2 제곱근 · (3) 근의 공식 표기 필수 |
매천중학교 3학년 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 18문항 70점과 서답형 4문항 30점, 모두 22문항 100점으로 구성되었다. 단원 배점은 평행이동·대칭과 일반형 31점(7문항), 이차방정식의 풀이 29점(6문항), 이차함수와 그래프 24점(6문항), 이차방정식의 활용 16점(3문항) 순이며, 크게 보면 이차방정식 45점과 이차함수 55점이 거의 반씩 나뉜다. 난이도는 상 6문항 27점, 중 8문항 44점, 하 8문항 29점이다. 1~5번을 방정식 계산으로 채워 초반 흐름을 확보해 주고, 13·17·18번을 후반에 몰아 배치해 시간 압박이 곧 변별로 이어지도록 설계했다.
시험 전체를 관통하는 축은 역추적형 8문항 34점이다. 1·3·4·11·16·17번과 서답형2(5점)·서답형3(7점)이 모두 「결과가 먼저 주어지고 계수를 되짚는」 같은 구조를 공유한다. 3번은 근의 공식과 주어진 해의 꼴을 항끼리 대응시켜 두 등식을 동시에 세워야 하고, 17번은 a·p·q의 부호 세 개를 읽어 새 식의 볼록 방향과 꼭짓점 사분면을 다시 판정하는 2단 추론이다. 최고배점인 서답형4(11점)는 답의 난도가 아니라 (1) AB=0 논리, (2) 제곱근을 이용한 단계별 변형, (3) 근의 공식 표기라는 지정된 서술 형식을 요구하고, 18번(5점)은 세 식을 표준형으로 고쳐야 꼭짓점 세 개가 드러난다. 결국 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 식의 형태를 목적에 맞게 바꿔 쓰는 능력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 「공식을 외웠는가」보다 「식을 자유롭게 갈아입힐 줄 아는가」를 본 시험이다. 같은 이차함수를 꼭짓점 형태로도, 전개된 형태로도 쓸 수 있어야 절반 이상의 문항이 풀린다. 특히 서답형 30점은 답이 맞아도 시험지에 명시된 조건, 즉 지정된 풀이 방법을 답안에 적지 않으면 점수가 남지 않는 구조여서, 서술 훈련이 되어 있지 않은 학생은 정답률과 실제 점수가 크게 벌어진다. 실점이 났다면 원인을 세 갈래로 나눠 확인해야 한다. 하 난이도 29점에서 틀렸다면 개념 정확도, 중 난이도 44점에서 틀렸다면 조건을 식으로 옮기는 독해력, 서답형에서 틀렸다면 서술 형식의 문제다.