삼각형의 외심·내심이 36점으로 최대 비중을 차지하고, 서답형 40점 중 26점이 판단·방법·증명 서술로 채워진 ‘합동 논증형’ 시험입니다. 5점 3문항(7·8·13번)과 서답형5(7점)가 상위권 변별을 맡습니다.
선택형 15문항 60점 + 서답형 5문항 40점 = 20문항 100점 · 2장(4면) · 선택형 배점 3점 3문항 / 4점 9문항 / 5점 3문항
삼각형의 성질 3개 단원 59점(11문항) : 사각형의 성질 2개 단원 41점(9문항) — 외심·내심 한 단원이 36점으로 전체의 3분의 1을 넘습니다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
5번(4점)은 외심이 삼각형 안에 있는 기본형이지만, 7번(5점)은 외심이 변 BC 아래 삼각형 밖에 놓인 둔각삼각형이고, 8번(5점)은 외심과 내심을 한 그림에 겹쳐 ∠A → ∠B → ∠C를 차례로 복원해야 합니다. 6번(4점)의 직각삼각형(외심=빗변의 중점), 서답형2(6점)의 원의 중심 찾기, 서답형3(12점)의 내심 증명·넓이까지 합치면 이 단원에서만 36점입니다.
문제에 ‘이등변’이라는 말이 없는데 같은 두 각을 스스로 찾아야 풀리는 문항이 네 개입니다. 2번(4점)은 연쇄 이등변과 외각, 10번(4점)은 정사각형 한 변과 같은 AE, 서답형1(8점)은 엇각+접은 각, 서답형5(7점)는 엇각+맞꼭지각으로 △DFC가 이등변임을 발견해야 합니다.
3번(4점)은 증명 빈칸의 합동 조건(ASA), 4번(4점)은 RHS, 12번(4점)은 중점에서 ASA 합동으로 CF=AD를 얻고, 서답형3-(1)(5점)은 RHA·RHS 두 번, 서답형4(7점)는 ASA로 평행사변형의 대각선 성질을 증명합니다. 선택형과 서답형을 가로질러 ‘합동으로 성질을 끌어내는 힘’을 반복 확인합니다.
11번(4점)은 5개 조건 중 평행사변형이 되는 것, 13번(5점)은 네 내각의 이등분선이 만드는 직사각형의 성질 〈보기〉 판단, 15번(4점)은 사다리꼴→평행사변형→직사각형·마름모→정사각형 관계도의 조건을 묻습니다. ‘성질’과 ‘조건’을 구분하지 못하면 모두 흔들리는 구성입니다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
같은 것이 ∠BAD=∠CAD, 공통변 AD, ∠ADB=∠ADC로 ‘각-변-각’입니다. 증명 첫 줄의 “AD는 공통”에 끌려 SAS라고 생각하면 옳은 보기로 착각합니다. 합동 조건은 같은 요소 3개의 종류와 위치(끼인변·끼인각)로 판정합니다.
∠BOC=128°를 보고 ∠A=½·128°=64°로 쓰면 오답입니다. 그림에서 O가 BC 아래에 있어 ∠A는 둔각이므로 ∠A=180°−64°=116°입니다. ∠ABO=31°+26°=57°로 이등변삼각형을 하나씩 확인하면 실수를 막을 수 있습니다.
11번 ②(한 쌍 평행+다른 쌍 길이)·①③은 등변사다리꼴, ⑤는 이웃한 변끼리 같은 연꼴이 반례입니다. 15번 ③ AC=BD는 마름모가 아니라 직사각형의 조건이고, ④⑤는 직사각형·마름모가 이미 가진 성질이라 새 조건이 되지 못합니다.
EFGH는 직사각형일 뿐 정사각형이 아니므로 EF=FG는 거짓이고, △AFD는 ∠AFD=90°인 직각삼각형일 뿐 이등변삼각형이 아닙니다(평행사변형이 직사각형일 때만 성립). 그림이 정사각형처럼 보여도 일반적인 경우로 판단해야 합니다.
같은 두 각은 ∠ABC와 ∠ACB이므로 같은 변은 그 대변인 AB와 AC입니다. BC=7cm와 짝을 지으면 판단이 뒤집힙니다. 또 ‘엇각’과 ‘접은 각’ 두 근거 중 하나라도 빠지면 판단이 맞아도 근거 점수가 깎입니다.
BE=BF=9cm까지만 구하고 멈추거나, 한 변을 14cm로 잡지 못하는 경우가 많습니다. 맞꼭지각과 엇각으로 △DFC가 이등변(DF=DC=14cm)임을 보여야 BD=9+14=23cm가 완성되며, 풀이를 ‘구체적으로’ 쓰라는 조건이 붙어 있습니다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
외심의 ∠x+∠y+∠z=90°, ∠BOC=2∠A(둔각이면 ∠A=180°−½∠BOC), 직각삼각형의 외심=빗변의 중점, 내심의 ∠BIC=90°+½∠A와 넓이=½·r·(세 변의 합)을 한 장에 정리합니다. 외심이 내부·외부·빗변 위에 오는 세 그림을 직접 그려 7번 같은 둔각 함정을 몸에 익힙니다.
서답형1·2·3-(1)·4는 계산 답이 아니라 판단·방법·증명 서술입니다. 이등변삼각형의 성질, 내심이 각의 이등분선 위에 있는 이유, 평행사변형 대각선 성질, 원의 중심 찾기를 ‘가정 → 합동(조건명) → 결론’ 틀로 매일 한 개씩 써 봅니다. 서답형은 수정테이프를 쓸 수 없으므로 시험지 여백에 초안을 쓰고 옮겨 적는 습관이 필요합니다.
그림을 받으면 평행선(엇각)·접은 선(접은 각)·교차점(맞꼭지각)을 먼저 표시하고 같은 각 두 개를 찾아 대변을 같게 놓는 3단 루틴을 반복합니다. 2·10번형 각도 문제와 서답형1·5형 길이 문제를 섞어 20문항 정도 연습하면 발견 속도가 올라갑니다.
평행사변형이 되는 5가지 조건, 평행사변형 → 직사각형·마름모 → 정사각형의 전환 조건을 표로 외우고, 조건마다 등변사다리꼴·연꼴 반례를 짝지어 둡니다. 14번(3점)처럼 평행선 사이에서 밑변을 공유하는 삼각형은 넓이가 같다는 등적변형도 함께 점검합니다.
전 20문항(서답형3 소문항 분리 21행) 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리 · 선택형 정답 분포 ①3 ②3 ③3 ④4 ⑤2
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이등변삼각형 | 이등변삼각형의 밑각과 외각 | 3 | 하 | ④ 130° | 밑각 (180°−80°)÷2=50° → 평각에서 ∠ACD=180°−50°=130° |
| 2 | 이등변삼각형 | 연쇄 이등변삼각형과 외각 | 4 | 중 | ① 25° | ∠ACE=∠x → △BCD 외각 ∠ABD=2∠x → △DAB에서 ∠DAB=2∠x → △ACD 외각 ∠ADE=∠x+2∠x=3∠x=75° → ∠x=25° |
| 3 | 이등변삼각형 | 이등변삼각형이 되는 조건 증명(빈칸) | 4 | 하 | ④ | ∠BAD=∠CAD, 끼인변 AD 공통, ∠ADB=∠ADC → 한 변과 그 양 끝 각이 같으므로 SAS가 아니라 ASA 합동(①②③⑤는 옳음) |
| 4 | 직각삼각형의 합동 | RHS 합동 → 사각형 내각의 합 | 4 | 중 | ② 154° | 빗변 AB=DE, BC=EC → △ACB≡△DCE(RHS) → ∠CED=∠CBA=58° → □CEFB에서 ∠BFE=360°−(90°+58°+58°)=154° |
| 5 | 삼각형의 외심·내심 | 외심과 세 이등변삼각형 | 4 | 하 | ⑤ 26° | OA=OC → ∠OAC=(180°−100°)÷2=40° → 외심 각의 합 24°+40°+∠OBC=90° → ∠OBC=26° |
| 6 | 삼각형의 외심·내심 | 직각삼각형의 외접원·내접원 | 4 | 하 | ② 29π cm² | 직각삼각형 외심=빗변 중점 → R=5 / 넓이 24=½·r·(6+8+10) → r=2 → 25π+4π=29π cm² |
| 7 | 삼각형의 외심·내심 | 둔각삼각형의 외심(외부) | 5 | 상 | ③ 116° | 그림 판독: O가 BC 아래, 삼각형 밖 → ∠A는 둔각. OB=OC → ∠BOC=180°−52°=128° → ∠A=180°−½·128°=116° (검산: ∠OAB=57°, ∠OAC=59°) |
| 8 | 삼각형의 외심·내심 | 외심·내심 동시 활용 | 5 | 상 | ① 126° | 그림 판독: y=∠ADB, x=∠AEB. AD 이등분 → ∠A=84°, OA=OC → ∠OCA=24°, ∠AOC=132° → ∠B=66°, ∠C=30° → y=72°, x=24°+30°=54° → 126° |
| 9 | 여러 가지 사각형·넓이 | 직사각형의 대각선 성질 | 3 | 하 | ① 8, 35 | 그림 판독: 16cm는 대각선 BD. 두 대각선은 길이가 같고 서로 이등분 → x=8, OA=OB → ∠OBA=55° → y=90−55=35 |
| 10 | 여러 가지 사각형·넓이 | 정사각형 + 이등변삼각형 | 4 | 중 | ④ 77° | 그림 판독: x=∠ADE. AB=AD=AE → △ABE에서 ∠BAE=180°−2·32°=116° → ∠DAE=26° → △ADE에서 ∠x=(180°−26°)÷2=77° |
| 11 | 평행사변형 | 평행사변형이 되는 조건 판별 | 4 | 중 | ④ | ∠ACB=∠DAC(엇각) → AD∥BC, ∠BAC=∠ACD(엇각) → AB∥DC → 두 쌍의 대변 평행. ①②③은 등변사다리꼴, ⑤는 연꼴이 반례 |
| 12 | 평행사변형 | 중점·합동 → 넓이 | 4 | 중 | ③ 40 cm² | E가 CD 중점 → △AED≡△FEC(ASA) → CF=AD=8cm, BF=16cm → △ABF=½·16·5=40cm² |
| 13 | 평행사변형 | 네 내각의 이등분선이 만드는 사각형 | 5 | 상 | ③ ㄱ, ㄷ, ㄹ | 그림 판독: E(A·B), F(A·D), G(C·D), H(B·C 이등분선의 교점). ∠A+∠B=180° → 이웃 이등분선은 90°로 만남 → EFGH는 직사각형 → ㄱ·ㄷ 참, ∠A=∠C → ㄹ 참 / ㄴ(정사각형 아님)·ㅁ(△AFD는 직각삼각형) 거짓 |
| 14 | 여러 가지 사각형·넓이 | 평행선과 넓이 | 3 | 하 | ⑤ 45 cm² | AD∥EC → △ADE와 △ADC는 밑변 AD 공통·높이 같음 → △ADE=△ADC=½·9·10=45cm² |
| 15 | 여러 가지 사각형·넓이 | 여러 가지 사각형 사이의 관계 | 4 | 중 | ② | 평행사변형은 ∠A+∠B=180° → ∠A=∠B이면 90° → 직사각형(②). ①은 AB∥DC, ③은 마름모가 아닌 직사각형 조건, ④⑤는 이미 가진 성질 |
| 서답형1 | 이등변삼각형 | 종이 접기 → 이등변삼각형 판단·근거 | 8 | 중 | 타당함 (AB=AC=5cm) |
∠ACB=∠CBD(AC∥BD 엇각), ∠ABC=∠CBD(접은 각) → ∠ABC=∠ACB → 두 각의 대변 AB=AC=5cm. [채점] 엇각·접은 각 근거 2개 + 이등변 판정 + 결론 |
| 서답형2 | 삼각형의 외심·내심 | 깨진 접시로 원의 중심 찾기(실생활) | 6 | 중 | 두 현의 수직이등분선의 교점 | 호 위에 세 점 A, B, C → 현 AB·BC의 수직이등분선 교점 O. 수직이등분선 위의 점은 양 끝점에서 거리가 같음 → OA=OB=OC → O는 △ABC의 외심 = 원의 중심. [채점] 방법 + 등거리 이유 |
| 서답형3-(1) | 삼각형의 외심·내심 | 내심 성질의 합동 증명 | 5 | 중 | ∠ICE=∠ICF (RHA→RHS) |
△ADI≡△AFI, △BDI≡△BEI(RHA) → ID=IE=IF → △IEC≡△IFC(RHS: 빗변 IC 공통, IE=IF) → ∠ICE=∠ICF. [채점] 합동 조건명·대응 순서 |
| 서답형3-(2) | 삼각형의 외심·내심 | 내접원 반지름과 넓이 | 7 | 중 | 51 cm² | IE=r → ½·12·r=18, r=3 → △ABC=½·3·(13+12+9)=51cm². ※ 세 변 길이로 역산하면 넓이 약 52.2cm²로 수치가 미세하게 어긋남(중2 범위 밖 검증) — 출제 의도대로 51cm² 채택 |
| 서답형4 | 평행사변형 | 평행사변형 대각선 성질 증명 | 7 | 중 | △OAB≡△OCD (ASA) |
△OAB와 △OCD: AB=CD(대변의 길이 성질), ∠OAB=∠OCD·∠OBA=∠ODC(AB∥DC 엇각) → ASA 합동 → OA=OC, OB=OD. [채점] 〈조건〉 두 가지 포함 |
| 서답형5 | 여러 가지 사각형·넓이 | 마름모 + 숨은 이등변삼각형 | 7 | 상 | 23 cm | 한 변 14 → BE=14−5=9=BF. ∠DFC=∠BFE(맞꼭지각)=∠BEF=∠DCF(AB∥DC 엇각) → △DFC 이등변 → DF=DC=14 → BD=9+14=23cm |
매천중학교 2학년 2026학년도 2학기 중간고사는 20문항·100점으로, 선택형 15문항 60점과 서답형 5문항 40점으로 짜였다. 단원별 배점은 삼각형의 외심·내심 36점, 여러 가지 사각형·넓이 21점, 평행사변형 20점, 이등변삼각형 19점, 직각삼각형의 합동 4점 순이며, 삼각형의 성질이 59점으로 사각형의 성질(41점)보다 무겁다. 난이도는 상 4문항(22점), 중 10문항(57점), 하 6문항(21점)이고, 5점 3문항(7·8·13번)이 모두 난이도 상에 놓여 배점과 변별 구간이 정확히 겹치도록 설계되었다.
번호를 가로지르는 축은 둘이다. 첫째는 삼각형 합동 논증으로, 3번(4점)·4번(4점)·12번(4점)·서답형3-(1)(5점)·서답형4(7점)가 모두 합동 조건을 근거로 성질을 끌어내며 24점에 이른다. 둘째는 숨은 이등변삼각형 발견으로, 2번(4점)·10번(4점)·서답형1(8점)·서답형5(7점)의 23점이 엇각·접은 각·맞꼭지각에서 같은 두 각을 스스로 찾아야 풀린다. 최고배점 서답형3(12점)은 내심이 세 변에서 같은 거리에 있음을 RHA·RHS로 증명한 뒤 그 거리를 넓이 계산에 다시 쓰게 해 증명과 계산을 한 줄로 잇는다. 결국 이 시험은 도형의 성질을 근거와 함께 설명하는 논증력을 측정했다.
쉽게 말해 공식을 외워 숫자만 넣는 시험이 아니라 ‘왜 그런지’를 글로 써야 점수가 나는 시험이다. 서답형 40점 중 26점(서답형1·2·3-(1)·4)이 판단·방법·증명 서술이고, 서답형1은 답란이 (판단)과 (근거)로 나뉘며 서답형4는 〈조건〉의 내용을 포함하도록, 서답형5는 풀이 과정을 구체적으로 쓰도록 명시했다. 답이 맞아도 근거 문장이 빠지면 감점된다는 뜻이며, 서답형은 수정테이프도 쓸 수 없다. 따라서 실점 원인은 계산력보다 서술력과 그림 독해력에서 먼저 찾아야 한다.