삼각비 64점 · 원의 성질 36점. 기본형 위주의 구성이지만, 보조선으로 직각삼각형을 만드는 5문항(31점)과 서술 조건이 붙은 서답형 4문항(34점)에서 점수 차이가 난다.
2장(4면) 21문항 100점 · 선택형은 3점 6문항, 4점 8문항, 5점 2문항 · 서답형은 6~10점(서술 조건 4문항) · 시행 2026.9.22.
삼각비 3개 단원 64점(13문항), 원의 성질 2개 단원 36점(8문항). 단원별 배점은 삼각비의 활용 26점이 가장 많다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
7번(4점)은 A에서 (나) 건물에 수선을 그어야 하고, 9번(5점)은 정사각형에서 세 직각삼각형을 빼 △ODE의 넓이를 구한 뒤 sin x를 거꾸로 구한다. 10번(5점)은 D에서 AB에 수선을 내려 y를 품은 직각삼각형을 새로 만들어야 풀린다. 서답형2(10점)는 대각선 AC로 사각형을 나누고, 서답형3(7점)은 공통 높이 AB로 두 직각삼각형을 연결한다.
15번(3점) 외접사각형, 16번(4점) 직사각형 속 내접원과 접선 DE, 서답형5(9점) 세 접선 PA·PB·CD가 모두 “원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다” 하나로 풀린다. 16번은 여기에 피타고라스 방정식이 붙어 원 단원에서 유일하게 난이도 상이다.
5번은 사분원에서 AB=sin, CD=tan임을 알아야 0.4848로 29°를 찾을 수 있다. 7번 표에는 44°·62° 외에 28°·46°가 함께 있어, 수선 AH를 기준으로 한 각(28°=90°−62°, 46°=90°−44°)의 tan을 골라 써야 한다.
서답형1(8점) “AB의 길이를 구하는 과정”, 서답형2(10점) “삼각형의 넓이를 구하는 과정”, 서답형3(7점) “삼각비를 활용하여”, 서답형5(9점) “접선의 성질을 문장으로 서술”이 명시되어 있다. 서답형4(6점)도 풀이란이 있어 OM=ON에서 AB=AC가 되는 근거를 써야 한다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
cos 0°=1, cos 90°=0, tan 0°=0이다. ④는 √2·sin45°=1에 cos0°=1을 더해 2이고, ⑤는 0이다. 0°·90°의 값을 거꾸로 외우면 ④와 ⑤의 순위가 뒤바뀐다.
0.4848은 sin29°(=AB)이다. 묻는 것은 x=1에서 세운 CD=tan29°=0.5543이다. 표의 같은 행에서 칸만 잘못 읽으면 ②를 고르게 된다.
100×(tan62°+tan44°)=284.64가 ⑤로 들어 있다. 수평거리 100m에 곱할 tan은 A에서의 각 28°·46°의 값이다. 정답은 53.17+103.55=156.72m이다.
ㄱ은 현의 수선이 아니라 수직이등분선이어야 참이다. ㄴ에서 원 밖의 한 점에서 그을 수 있는 접선은 2개다. 용어를 한 글자만 바꾼 진술에 주의한다.
DE=DS+SE로 나누어야 DS=DP=5, SE=RE를 쓸 수 있다. BR=3(반지름)을 놓치거나 DE를 미지수로 따로 두면 식이 풀리지 않는다.
서답형3은 30°-60°-90° 변의 비만 쓰고 삼각비 식(tan·sin)을 쓰지 않으면 조건 위반이 될 수 있다. 서답형5는 PA=PB라고 식만 쓰고 접선의 성질을 문장으로 쓰지 않으면 감점된다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
0°·30°·45°·60°·90°의 sin·cos·tan 표를 10초 안에 쓸 수 있게 만든다. 사분원에서 sin·cos·tan이 각각 어느 선분인지 그림으로 외운다(1·2·4·5·11·12·15번, 서답형1·4).
수선 내리기(7·10번), 넓이 역산(9번), 도형 분할(서답형2), 공통 변 연결(서답형3)을 유형별로 2~3문제씩 묶어 푼다. 문제를 받으면 “x를 품은 직각삼각형이 있는가?”부터 확인한다.
접점마다 같은 길이의 접선 쌍을 같은 기호로 표시하고, 접선⊥반지름을 직각 표시로 그림에 먼저 적는다. 16번 같은 “접선 + 피타고라스 방정식” 결합형을 집중 연습한다.
조건 문구 인용 → 식 → 단위가 붙은 답의 3줄 틀로 쓴다. 수정테이프를 쓸 수 없으므로 연습장에서 먼저 풀고 답안지에는 한 번에 옮기는 연습을 시험 전 2~3회 한다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 삼각비의 값 | 특수각(0°·30°·45°·60°·90°) 삼각비 식의 값 비교 | 3 | 하 | ④ | ①1 ②√3 ③1 ④√2·(√2/2)+1=2 ⑤(√3/2)·0+0=0 → 최댓값 2 |
| 2 | 삼각비의 값 | 두 직각삼각형 연결, 특수각으로 변의 길이 | 4 | 하 | ② | AC=3/cos30°=2√3 → △ACD에서 AD=AC/sin45°=2√6 |
| 3 | 삼각비의 뜻 | 빗변에 내린 수선이 만든 각 x, y의 cos 합 | 4 | 중 | ⑤ | AC=13, 닮음으로 x=∠C·y=∠A → cos x+cos y=12/13+5/13=17/13 |
| 4 | 삼각비의 뜻 | tan A로 sin A 구하기 | 3 | 하 | ③ | 밑변 3·높이 4인 직각삼각형 → 빗변 5 → sin A=4/5 |
| 5 | 삼각비의 값 | 사분원(반지름 1)과 삼각비의 표 | 3 | 하 | ⑤ | AB=sin x=0.4848 → 표에서 x=29° → CD=tan29°=0.5543 |
| 6 | 삼각비의 값 | 직육면체 대각선과 60° → 부피 | 4 | 중 | ② | FH=√(5+4)=3 → BF=3·tan60°=3√3 → V=√5×2×3√3=6√15 |
| 7 | 삼각비의 활용 | 두 건물 사이 높이(실생활, 삼각비의 표) | 4 | 중 | ① | A에서 BC에 수선 AH(=100m) → BH=100·tan28°=53.17, CH=100·tan46°=103.55 → 156.72m |
| 8 | 삼각비의 뜻 | 직선이 x축과 이루는 각, 기울기=tan a | 4 | 중 | ① | sin a=√6/3 → cos a=√3/3, tan a=√2 → y절편=4·tan a=4√2 |
| 9 | 삼각비의 활용 | 정사각형 3등분·4등분점과 sin(∠DOE) | 5 | 상 | ③ | 한 변 12로 두면 D(4,12)·E(12,9), OD=4√10·OE=15; △ODE=144−24−12−54=54=½·OD·OE·sin x → 9√10/50 |
| 10 | 삼각비의 뜻 | 중점 D로 나뉜 각 y의 tan (보조선) | 5 | 상 | ⑤ | sin x=1/3 → AD=9, AC=6√2, AB=6√3; △ABD=9√2 → D에서 AB에 수선 DH=√6, AH=5√3 → tan y=√6/(5√3)=√2/5 |
| 11 | 원과 현 | 현·접선 성질 참/거짓(보기) | 3 | 하 | ③ | ㄱ ✗ 중심을 지나는 것은 현의 “수직이등분선” / ㄴ ✗ 접선은 2개 / ㄷ ○ / ㄹ ○ |
| 12 | 원과 현 | 중심에서 같은 거리의 두 현 → 반지름 | 3 | 하 | ⑤ | OM=ON=4, AM=AB/2=6 → r=√(6²+4²)=2√13cm |
| 13 | 원과 현 | 동심원: 작은 원에 접하는 큰 원의 현 | 4 | 중 | ④ | 접점 H에서 OH⊥AB, OH=3 → AH=√(4²−3²)=√7 → AB=2√7 |
| 14 | 원의 접선 | 접는 자로 원의 반지름 구하기(탐구형) | 4 | 중 | ④ | AB=18(접선), 이등분선이 중심을 지나므로 AO=r+6, ∠ABO=90° → (r+6)²=r²+18² → r=24cm |
| 15 | 원의 접선 | 원에 외접하는 사각형 대변의 합 | 3 | 하 | ④ | AD=4+3=7 → AB+CD=AD+BC → 10+x=7+11 → x=8 |
| 16 | 원의 접선 | 직사각형 속 내접원과 접선 DE, △DEC 넓이 | 4 | 상 | ② | r=3, DS=DP=5, ES=ER; BE=a → DE=a+2, EC=8−a → (a+2)²=6²+(8−a)² → a=24/5, EC=16/5 → 48/5cm² |
| 서답형1 | 삼각비의 뜻 | ∠A의 삼각비 세 값(과정 서술) | 8 | 하 | sin A=2/3 cos A=√5/3 tan A=2√5/5 |
[채점] AB=√(3²−2²)=√5 과정(조건) → sin·cos·tan 각각 기재, tan은 2/√5=2√5/5로 유리화 |
| 서답형2 | 삼각비의 활용 | 사각형 넓이 = 두 삼각형 넓이의 합 | 10 | 상 | (32+8√6)cm² | [채점] △ABC: AB=8·tan45°=8 → 32 / AC=8√2 → △ACD=½·8√2·4·sin60°=8√6 → 합 32+8√6 |
| 서답형3 | 삼각비의 활용 | 두 지점에서 올려본각 → 타워 높이 | 7 | 중 | 15√3 m | [채점] BC=AB/tan60°, BD=AB/tan30° → BD−BC=30 → AB=15√3 (또는 ∠DAC=30°로 AC=30 → AB=30·sin60°) |
| 서답형4 | 원과 현 | 중심에서 같은 거리의 두 현 → 각의 크기 | 6 | 하 | 40° | [채점] OM=ON ⇒ AB=AC(근거 명시) ⇒ ∠ACB=∠ABC=70° ⇒ ∠BAC=180°−140°=40° |
| 서답형5 | 원의 접선 | 두 접선과 제3의 접선 CD의 길이 | 9 | 중 | 7 cm | [채점] “원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다” 문장(조건) → PA=PB=14 → CE=CA=5, DE=DB=2 → CD=7 |
매천중학교 3학년 2026학년도 2학기 중간고사는 선택형 16문항(60점)과 서답형 5문항(40점), 총 21문항 100점으로 구성되었다. 영역별로는 삼각비 13문항 64점, 원의 성질 8문항 36점이며, 세부 단원 배점은 삼각비의 활용 26점, 삼각비의 뜻 24점, 원의 접선 20점, 원과 현 16점, 삼각비의 값 14점 순이다. 난이도는 하 9문항(36점)·중 8문항(40점)·상 4문항(24점)이다. 선택형은 1~10번 삼각비, 11~16번 원의 성질로 교과서 순서를 따르고, 5점 문항인 9·10번을 삼각비 파트 끝에 두어 단원마다 뒤로 갈수록 난도가 오르도록 설계했다.
이번 시험을 관통하는 축은 직각이 아닌 곳의 각과 길이를 직각삼각형으로 바꾸는 보조선이다. 7번(4점)의 수선, 9번(5점)의 넓이 역산, 10번(5점)의 꼭짓점 수선, 서답형2(10점, 최고배점)의 대각선 분할, 서답형3(7점)의 공통 높이까지 5문항 31점이 같은 발상을 요구한다. 두 번째 축은 접선의 길이 분배로, 15번(3점)·16번(4점)·서답형5(9점) 3문항 16점이 “한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다”를 반복 적용하게 한다. 최고배점인 서답형2는 45°로 AB와 AC를 먼저 구한 뒤 60°를 낀 삼각형에 넓이 공식을 적용해야 한다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기가 아니라 그림 속에서 계산 가능한 삼각형을 찾아내는 능력이다.
학부모님 입장에서 보면 이번 시험은 낯선 고난도 문항보다 익숙한 유형을 끝까지 정확하게 푸는지를 확인한 시험이다. 하·중 난이도가 76점이어서 기본 문항에서 실점하면 만회하기 어렵다. 서답형 5문항 중 4문항(34점)에는 “AB의 길이를 구하는 과정”, “삼각비를 활용하여”, “접선의 성질을 문장으로” 같은 조건이 붙어 있어, 답이 맞아도 과정이 빠지면 감점된다. 서답형은 검정색 필기구로 쓰고 수정테이프를 쓸 수 없다고 명시되어 있으므로, 실점 원인은 계산력보다 풀이를 조건에 맞춰 문장으로 옮기는 서술력에서 먼저 찾아야 한다.