선택형 18 + 서답형 4, 총 22문항(시험지 배점 합 87점). 함수와 그래프 단원이 14문항 58점으로 배점의 3분의 2를 차지하고, 행동영역상 추론 문항(10문항 45.5점)에 배점의 절반 이상이 걸려 있다.
선택형 18문항(60점)과 서답형 4문항(27점). 시험지에 총점 표기가 없어, 표기된 배점의 합 87점을 총점으로 본다. 서답형 4문항은 모두 풀이 과정을 쓰는 서술형이며 부분점수가 있다.
함수와 그래프 단원(함수와 합성함수·역함수·유리함수와 무리함수)이 14문항 58점이고, 명제가 8문항 29점이다. 이 리포트의 4개 단원 분류 중에서는 명제의 배점이 가장 크다.
추론이 10문항 45.5점(52.3%)으로 절반을 넘는다(대표: 17·18번, 서답형2·3·4). 계산과 이해는 각각 5문항 15.5점이다.
문항 구성상 변별을 의도한 것으로 보이는 축
8번(3점)·10번(3.5점)·17번(4점)·서답형4(6점)는 모두 "$p$이면 $q$" 꼴의 문장을 $P\subset Q$로 바꾸는 순간 풀린다. 8번은 벤 다이어그램에서 $P\subset R \Leftrightarrow R^C\subset P^C$를, 10번은 $P^C\subset Q\subset R$을, 17번은 $P=\mathbb{R}$이므로 $Q=\varnothing$을, 서답형4는 $Q\subsetneq P$를 끌어내야 한다.
5번은 점근선의 교점 $(-1,-3)\to(1,2)$, 9번은 무리함수의 시작점 $(2,9)$, 18번은 $f(x)=\tfrac32$가 되는 $x$, 서답형1은 직선이 늘 지나는 점 $(1,0)$이 풀이의 출발점이다. 식 전체를 다루기보다 기준점 하나를 먼저 찾는 문항이 함수 단원 곳곳에 놓여 있다.
3·13·18번은 합성의 순서와 반복을, 2·15번과 서답형3은 역함수의 정의($f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow f(a)=b$)와 일대일대응 조건을, 서답형2는 일대일함수가 될 조건을 묻는다. 정의를 정확히 옮기는지가 관건이다.
시험지는 "모든 문제의 풀이과정을 상세하게 서술"하라고 명시했고, 서답형 4문항 모두 부분점수가 있다. 서답형1의 무연근 확인, 서답형3의 $y=x$ 위 교점 근거, 서답형4의 포함 관계 서술처럼 중간 근거가 채점 대상이 될 수 있다.
문항 구조상 실수하기 쉬운 지점
"$\pi$는 유리수이다"는 거짓이지만 참·거짓을 판별할 수 있으므로 명제다. 참인 문장만 명제로 고르면 ㄴ을 빠뜨리게 된다. 답은 ㄴ, ㄹ(④)이다.
부정은 "모든 실수 $x$에 대하여 $x^2-4x+a\ge0$"이다. 부등호를 그대로 두거나 등호를 빼면 조건이 달라진다. $\dfrac{D}{4}=4-a\le0$에서 $a\ge4$이므로 최솟값은 4(①).
$\sqrt{4-x}$가 분모에 있으므로 $4-x>0$이다. $x=4$까지 포함하면 3개(④)로 세게 되지만, 실제로는 $x=2,3$의 2개(③)다.
$3\to4\to1\to5\to6\to0\to3$으로 주기가 6이다. $50=6\times8+2$, $59=6\times9+5$로 나눈 나머지만큼 따라가야 하며, $f^{59}(1)$은 1에서 5번 이동한 4다.
$y=(x-1)^2+a-1$은 정의역 $[0,3]$에서 $x=3$일 때 최댓값 $a+3$을 갖는다. $x=0$의 값 $a$를 최댓값으로 두면 $2\le a\le10$이 되어 9개(⑤)로 세게 된다. 답은 $2\le a\le7$의 6개(②).
$\sqrt{10x+30}=6-x$처럼 양변을 제곱한 뒤에는 우변이 음이 아닌지 확인해야 한다. $k=1$에서 $x=11+\sqrt{115}$, $k=-2$에서 $x=\dfrac{-1-\sqrt{85}}{4}$는 버려야 한다.
서답형 7점 문항 중 난이도 상 2문항과 선택형 상 2문항 — 서답형3 → 서답형1 → 17번 → 14번
배점 방어 우선순위별 학습 처방
8·10·17번과 서답형4는 문장을 집합의 포함 관계로 바꾸면 풀린다. 충분·필요조건, 대우, '모든'·'어떤'의 부정을 한 장에 정리하고, 문제마다 벤 다이어그램을 직접 그리는 연습을 한다.
5·9·18번과 서답형1은 점근선·시작점·꺾이는 점·정점을 먼저 찾으면 나머지가 따라온다. 유리·무리함수 문제를 풀 때 기준점을 그래프 위에 먼저 표시하는 습관을 들인다.
2·15번과 서답형3은 $f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow f(a)=b$와 일대일대응의 조건을, 서답형2는 일대일함수의 뜻을 정확히 쓰면 풀린다. 13번처럼 합성이 반복되는 문항은 값을 차례로 따라가 주기를 찾는다. 역함수 조건은 모두 $f$의 조건으로 바꿔 적는 연습을 한다.
무연근 확인(서답형1), $y=x$ 위 교점의 근거(서답형3), 포함 관계의 방향(서답형4)처럼 중간 근거를 한 줄씩 남기는 답안 쓰기를 반복한다. 부분점수가 있는 문항이므로 풀이를 멈추지 않고 끝까지 쓴다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 명제 | 명제의 뜻 | 3 | 하 | 이해 | ④ | 참·거짓을 판별할 수 있는 문장만 명제 |
| 2 | 역함수 | 일차함수의 역함수 값 | 3 | 하 | 계산 | ① | $f^{-1}(-7)=\tfrac14 \Leftrightarrow f(\tfrac14)=-7$ |
| 3 | 함수·합성함수 | 합성함수의 값 | 3 | 하 | 계산 | ③ | $f(f(3))=-9,\ f(g(2))=-17$ |
| 4 | 명제 | '어떤'의 부정과 이차부등식 | 3 | 중 | 이해 | ① | 모든 $x$에 대하여 $x^2-4x+a\ge0$ → $D\le0$ |
| 5 | 유리·무리함수 | 유리함수의 평행이동 | 3 | 하 | 계산 | ③ | 점근선 교점 $(-1,-3)\to(1,2)$ |
| 6 | 유리·무리함수 | 무리식이 실수가 될 조건 | 3 | 하 | 계산 | ③ | $2x-3\ge0,\ 4-x>0$ |
| 7 | 명제 | 명제의 참·거짓 | 3 | 하 | 이해 | ⑤ | 반례 찾기, '어떤'은 하나만 성립하면 참 |
| 8 | 명제 | 벤 다이어그램과 필요·충분조건 | 3 | 중 | 이해 | ⑤ | $P\subset R \Leftrightarrow R^C\subset P^C$ |
| 9 | 유리·무리함수 | 무리함수의 성질 | 3.5 | 중 | 이해 | ④ | $y=\sqrt{-3(x-2)}+9$, 시작점 $(2,9)$ |
| 10 | 명제 | 진리집합의 포함 관계 | 3.5 | 중 | 추론 | ⑤ | $P^C\subset Q\subset R$ |
| 11 | 함수·합성함수 | 서로 같은 함수 | 3.5 | 중 | 계산 | ② | $(x-1)^2(x-2)=0$ → 정의역 $\{1,2\}$ |
| 12 | 유리·무리함수 | 유리함수의 역함수와 평행이동 | 3.5 | 상 | 추론 | ② | $f^{-1}$의 점근선 교점 $(2,-a)$와 $y=f(x-5)-5$의 점근선 교점 $(5-a,-3)$이 일치 |
| 13 | 함수·합성함수 | 합성함수의 반복(주기) | 3.5 | 중 | 추론 | ② | $3\to4\to1\to5\to6\to0\to3$ 주기 6 |
| 14 | 명제 | 산술·기하평균 부등식 | 3.5 | 상 | 추론 | ① | 식 $=s+(x-2)^2-5+\dfrac{36}{s}$, $s=x^2+2y^2+1$ |
| 15 | 역함수 | 일대일대응과 역함수 조건 | 3.5 | 중 | 추론 | ④ | $(f^{-1}(4),f^{-1}(6))=(6,3)$만 가능 |
| 16 | 함수·합성함수 | 함수가 되기 위한 치역 조건 | 3.5 | 중 | 문제해결 | ② | $[0,3]$에서 최솟값 $a-1$, 최댓값 $a+3$ |
| 17 | 명제 | 조건과 충분조건 + 판별식 | 4 | 상 | 추론 | ⑤ | $P=\mathbb{R}$ → $Q=\varnothing$ |
| 18 | 함수·합성함수 | 합성함수의 그래프 | 4 | 상 | 추론 | ② | $f(x)=\tfrac32$인 $x=\tfrac34,\tfrac52$에서 꺾임 |
| 서답형1 | 유리·무리함수 | 무리함수와 정점을 지나는 직선의 교점 개수 | 7 | 상 | 문제해결 | 5 | 직선은 $(1,0)$을 지남, $k=-2,-1,0,1$ 각각 판정 |
| 서답형2 | 함수·합성함수 | 일대일함수가 될 조건 | 7 | 중 | 추론 | -3<k<3 | 두 구간 기울기 $3+k,\ 3-k$의 부호가 같음 |
| 서답형3 | 역함수 | 역함수 존재 조건과 교점 사이의 거리 | 7 | 상 | 추론 | a=1, b=√2/2 | 연속·증가 → $a=1$, 교점은 $y=x$ 위 |
| 서답형4 | 명제 | 필요조건과 진리집합 | 6 | 중 | 추론 | 4 | $Q\subsetneq P$: $-a\le-3,\ 2a\ge7$ |
이번 시험을 가정에서 어떻게 읽으면 좋은지 정리했습니다.
22문항 가운데 14문항(58점)이 함수 단원이고, 8문항(29점)이 명제 단원입니다. 공식을 바로 대입하는 문항보다 조건을 해석하고 연결해야 하는 추론 문항이 10문항 45.5점으로 배점의 절반을 넘습니다. 또 8·10·17번과 서답형4는 조건을 집합의 포함 관계로 바꿔야 풀립니다.
틀린 문항이 ① 기본 문항(하 6문항 18점)인지, ② 조건을 집합·그래프로 옮겨야 하는 문항인지, ③ 서답형에서 답은 맞았지만 풀이 근거가 부족해 감점된 것인지 나눠 보시면 다음 준비 방향이 분명해집니다.
서답형 답안을 자녀가 말로 설명해 보게 해 주세요. "왜 이 조건이면 이 집합이 저 집합에 들어가는지", "왜 이 근은 버리는지"를 말할 수 있으면 답안에도 쓸 수 있습니다. 정답을 알려 주시기보다 근거를 물어봐 주시는 것이 도움이 됩니다.
명제의 필요·충분조건을 진리집합 그림으로 정리하고, 유리·무리함수는 점근선과 시작점부터 그리는 연습을 권합니다. 이번 시험의 서답형 4문항(27점)은 풀이 근거를 갖춰 다시 써 보기에 좋은 연습 재료입니다.
운암고 1학년 2학기 기말고사는 선택형 18문항(60점)과 서답형 4문항(27점), 입수한 시험지 기준 총 22문항이며, 시험지에 표기된 배점을 모두 더하면 87점이다. 단원별 배점은 명제 29점, 함수와 합성함수 24.5점, 유리함수와 무리함수 20점, 역함수 13.5점 순이다. 함수와 그래프에 속한 세 단원을 합하면 14문항 58점으로 배점의 3분의 2이고, 단일 단원으로는 명제의 비중이 가장 크다. 난이도는 하 6문항 18점, 중 10문항 40점, 상 6문항 29점이다. 선택형 배점은 1~8번 3점, 9~16번 3.5점, 17·18번 4점으로 뒤로 갈수록 커지고, 서답형 4문항은 모두 부분점수가 있는 서술형이다.
여러 문항을 관통하는 축은 조건을 진리집합의 포함 관계로 옮기는 일이다. 8번(3점), 10번(3.5점), 17번(4점), 서답형4(6점)가 모두 이 변환에서 풀이가 시작되며, 네 문항의 배점을 합하면 16.5점이다. 함수 단원에서는 점근선·시작점·꺾이는 점 같은 기준점을 먼저 찾는 문항이 이어진다. 서답형3(7점)은 역함수가 존재할 조건으로 상수를 정한 뒤 교점이 직선 y=x 위에 있다는 근거를 써야 하고, 서답형1(7점)은 정점을 지나는 직선과 무리함수의 교점을 네 경우로 나눠 세야 한다. 문항 구성으로 보면 이 시험은 여러 문항에서 조건을 집합과 그래프로 옮겨 경우를 나누는 추론을 요구한다.
학부모 입장에서 보면, 절차대로 계산하면 답이 나오는 계산 영역 문항은 5문항(15.5점)이고, 추론 영역 문항이 10문항(45.5점)으로 가장 많다. 시험지는 서답형의 풀이 과정을 상세하게 서술하라고 명시했으므로, 답이 맞아도 중간 근거가 빠지면 감점될 수 있다. 배점 구성으로 보면 계산력보다 조건을 읽는 독해력과 근거를 문장으로 남기는 서술력에 더 많은 점수가 걸려 있다. 점수 자체보다 틀린 문항이 기본 문항인지, 조건 변환 문항인지, 서술 근거 누락인지를 먼저 나눠 보는 것이 좋다.