선택형 18문항 60점 + 서답형(서술형) 6문항 40점, 총 24문항 100점. 원의 방정식이 36점으로 최대 비중이며, 「중심과 직선 사이의 거리 = 반지름」 하나를 다섯 가지 방향으로 되묻는 역추적형 설계가 이번 시험의 변별 축이다.
서답형이 총점의 40%를 차지하고, 상 난이도 9문항에 배점의 44%가 집중된 구조
도형의 방정식 계열(원 + 직선 + 이동) 77점, 집합 23점 — 4개 대단원 24문항
이번 시험의 변별력을 만드는 축
7번(3점)은 접선의 상수를, 10번(3.5점)은 현의 길이에서 반지름을, 12번(3.5점)은 외부점에서의 두 접선을, 서답형2(8점)는 반지름을 고정한 채 중심을, 서답형4(7점)는 원의 상수항 k를 묻는다. 묻는 대상만 바뀔 뿐 세우는 식은 모두 같다.
16번(3.5점)은 점 P를 직선 y=x+2와 x축에 각각 대칭시켜 둘레를 하나의 선분(길이 10)으로 펴는 문항이고, 서답형1(7점)은 원 밖 점의 최단거리를 「중심까지 거리 − 반지름」으로 바꾼 뒤 x축 대칭을 한 번 더 쓴다.
6번(3점)의 (A∩B)∪BC=A는 분배법칙으로 A∪BC=A가 되어 A∪B=U와 동치이고, 9번(3.5점)의 두 조건은 A∩B⊆X⊆A∪B로 압축돼 23=8을 낳는다. 15번(3.5점)은 대칭차집합의 결합법칙으로 A₄△(A₃△A₄)=A₃임을 알면 |A₃∪A₄|=33+25−8=50으로 끝난다.
3번(3점)은 이동 후 원에서 a·b를, 13번(3.5점)은 평행이동·y축 대칭·접선조건을 거꾸로 밟아 a의 합 −12를, 서답형5(6점)는 원점대칭시킨 직선 위의 점 조건으로 a=1을 끌어낸다. 이동 방향의 부호를 한 번이라도 반대로 쓰면 전부 틀린다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
(a−1)²=9에서 a=4와 a=−2가 동시에 나온다. 문제는 양수를 요구하므로 4만 답이다. 4·7번도 마찬가지로 부호 조건이 답을 하나로 좁히는 장치다.
(A∩B)∪BC는 분배법칙으로 A∪BC가 된다. 그림만 보면 ③·④를 고르기 쉬운데, BC⊆A ⟺ AC⊆B ⟺ A∪B=U이므로 정답은 ⑤다.
mx+y−9=0의 기울기 −m과 x−my+2=0의 기울기 1/m은 곱이 −1이다. 이등분선은 두 직선의 교점을 반드시 지나므로, 교점을 5x−3y−7=0에 대입하면 18m−72=0으로 m=4가 단번에 나온다.
교점은 x=(3n−15)/(3n+5), y=8n/(3n+5). 제2사분면은 x<0 그리고 y>0이므로 등호가 없다. n=0을 넣으면 y=0으로 축 위의 점이 되어 제외되며, 남는 정수는 1·2·3·4로 합 10이다.
(x−5)²+(y+3)²=25에서 y축 대입 시 (y+3)²=0, 즉 R(0,−3)은 교점이 아니라 접점 하나뿐이다. 사각형을 대각선 QP로 잘라 △QRP=10(고정) + △AQP(최대 10+10√5)로 분리해야 20+10√5가 나온다.
3a+4b=34와 3a+4b=14 두 갈래 × (b=±2, a=±2) 네 갈래로 8개가 나오지만 (2, 2)가 x축 조건과 y축 조건에서 중복된다. 중복을 합쳐 n=7이며, 답안에는 7개 좌표를 모두 적어야 만점이다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
7·10·12·17번과 서답형1·2·4를 한 묶음으로 다시 풀되, 반드시 첫 줄에 중심·반지름·직선을 적고 두 번째 줄에 거리식을 적는 형식을 강제한다. 유형이 달라 보여도 손이 움직이는 순서가 같아지면 36점 중 최소 25점이 안정된다.
서답형 6문항 전부에 부분점수가 명시돼 있다. 완답이 어려우면 ⓐ 조건을 식으로 옮긴 줄, ⓑ 경우를 나눈 근거, ⓒ 최종 계산 순으로 반드시 세 단계를 남긴다. 특히 서답형2(8점)와 서답형3(7점)은 경우 분류만 써도 절반 이상을 가져올 수 있다.
6·9·15번과 서답형3을 대상으로 분배·결합·드모르간 법칙을 적용해 식을 한 줄로 줄이는 훈련을 반복한다. X△Y의 결합법칙(15번)과 A∩B⊆X⊆A∪B 꼴(9번)은 다음 시험에도 그대로 재출제될 가능성이 높은 정형 패턴이다.
3·13·18번과 서답형5를 묶어, 평행이동·x축 대칭·y축 대칭·원점 대칭·직선 y=x 대칭 다섯 가지가 중심좌표와 기울기를 각각 어떻게 바꾸는지 표로 만든 뒤 백지 재현한다. 18번(4점)처럼 f의 인수를 바꿔 놓은 형태도 이 표만 있으면 「좌표 교환 후 평행이동」으로 해석된다.
전 24문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 집합 | 집합의 정의 판별(보기형) | 3 | 하 | ③ | ㄱ은 공집합이라도 기준이 명확, ㄹ은 해집합 {1,2}. ㄴ·ㄷ은 '많은·큰'이 주관적이라 제외 |
| 2 | 평면좌표·직선 | 두 점 사이의 거리 | 3 | 하 | ④ | 16+(a−1)²=25 → a=4 또는 −2, 양수 조건으로 4 |
| 3 | 도형의 이동 | 원의 평행이동과 상수 결정 | 3 | 하 | ① | 중심 (1,3) → (4,−2)이므로 a=3, b=−5, ab=−15 |
| 4 | 평면좌표·직선 | 두 직선의 평행·수직 조건 | 3 | 중 | ⑤ | −a=2+b, ab=−3 → (a,b)=(1,−3) 또는 (−3,1). 어느 쪽이든 a²+b²=10 |
| 5 | 집합 | 합집합의 원소 개수 활용 | 3 | 하 | ④ | n(A∪B)=30+25−15=40, 여집합 50−40=10 |
| 6 | 집합 | 집합 연산식의 동치 변형 | 3 | 중 | ⑤ | (A∩B)∪BC=A∪BC=A ⟺ BC⊆A ⟺ A∪B=U |
| 7 | 원의 방정식 | 기울기가 주어진 원의 접선 | 3 | 중 | ② | 2x−y+c=0, |c|/√5=3 → c=±3√5. (a,√5) 대입 시 양수 a=2√5 |
| 8 | 평면좌표·직선 | 내분점과 무게중심의 불변성 | 3 | 중 | ③ | D+E+F=A+B+C이므로 두 삼각형의 무게중심이 일치 → (1,1) |
| 9 | 집합 | 부분집합의 개수(이중 조건) | 3.5 | 중 | ③ | A∩B⊆X⊆A∪B로 번역. |A∪B|=6, |A∩B|=3 → 2³=8 |
| 10 | 원의 방정식 | 현의 길이와 반지름 | 3.5 | 중 | ② | 중심(−1,5)에서 직선까지 거리 5, 반현 4 → r=√(25+16)=√41 |
| 11 | 평면좌표·직선 | 두 직선이 이루는 각의 이등분선 | 3.5 | 상 | ④ | 두 직선은 서로 수직. 교점 ((9m−2)/(3m+5), (9+2m)/(3m+5))을 대입 → 18m−72=0, m=4 |
| 12 | 원의 방정식 | 외부점에서 그은 두 접선과 넓이 | 3.5 | 중 | ① | 접점 (2,1),(−1,2) → 접선 2x+y=5, −x+2y=5. x절편 5/2, −5, 높이 3 → 45/4 |
| 13 | 도형의 이동 | 평행·대칭이동 후 접선 조건 | 3.5 | 중 | ① | 중심 (0,1)→(a,3)→(−a,3). |−a−6|/√5=√5 → a=−1,−11, 합 −12 |
| 14 | 평면좌표·직선 | 교점이 특정 사분면에 오는 조건 | 3.5 | 상 | ⑤ | x=(3n−15)/(3n+5)<0, y=8n/(3n+5)>0 → 0<n<5. 정수 1·2·3·4의 합 10 |
| 15 | 집합 | 대칭차집합의 결합법칙 | 3.5 | 상 | ② | A₄△(A₃△A₄)=A₃ → A₄∪A₃의 개수 25+33−8=50 |
| 16 | 평면좌표·직선 | 대칭이동을 이용한 둘레 최솟값 | 3.5 | 상 | ③ | P(5,1)을 y=x+2에 대칭 → (−1,7), x축에 대칭 → (5,−1). 두 점 사이 거리 10 |
| 17 | 원의 방정식 | 원 위 동점과 사각형 넓이 최댓값 | 4 | 상 | ④ | Q(1,0), R(0,−3)은 접점. △QRP=10 고정, △AQP 최대 = ½·4√5·(5+√5) → 20+10√5 |
| 18 | 도형의 이동 | f(x,y)=0의 인수 치환과 공통부분 | 4 | 상 | ② | 두 도형은 무게중심이 원점인 한 변 2의 정삼각형이 서로 180° 회전한 관계. 공통부분은 한 변 2/3의 정육각형 → k=2√3/3, k²=4/3 |
| 서답형1 | 원의 방정식 | 두 원과 x축 위 점의 거리 최솟값 | 7 | 상 | 12 | C₁(−7,3,r=2), C₂(8,5,r=3). (−7,3)을 x축 대칭 → (−7,−3). 17−(2+3)=12 |
| 서답형2 | 원의 방정식 | 3조건을 만족하는 원의 중심 전수 분류 | 8 | 상 | 7개 | 3a+4b=34 또는 14 × (b=±2 또는 a=±2). 중복 (2,2)를 합쳐 (2,2), (26/3,2), (22/3,−2), (14,−2), (2,7), (−2,5), (−2,10) |
| 서답형3 | 집합 | 원소합 조건으로 집합 확정 | 7 | 상 | {5,7,8,10} | 합 55−10=45, 6개 원소 최대합도 45 → A∪B={5,…,10}. A∩B의 합 12 → {5,7}. 나머지 15:18 분할 → B={5,7,8,10} |
| 서답형4 | 원의 방정식 | 원 위의 점에서의 접선과 두 원의 접촉 | 7 | 중 | k = −44 | 접선 4x−3y=25. 중심 (−1,2)까지 거리 7 = √(5−k) → k=−44 |
| 서답형5 | 도형의 이동 | 평행이동한 점과 원점대칭한 직선 | 6 | 하 | a = 1 | (3,−4)→(2,−1). x−ay+3=0의 원점대칭은 −x+ay+3=0. 대입 → a=1 |
| 서답형6 | 평면좌표·직선 | 선분의 수직이등분선 | 5 | 하 | y = −3x+8 | 중점 (1,5), AB의 기울기 1/3 → 수직 기울기 −3. y−5=−3(x−1) |
운암고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 선택형 18문항 60점, 서답형(서술형) 6문항 40점으로 구성된 총 24문항 100점 시험이다. 서답형이 총점의 40%를 차지해 답만 맞히는 방식으로는 방어할 수 없는 구조다. 단원별 배점은 원의 방정식 7문항 36점, 평면좌표와 직선의 방정식 7문항 24.5점, 집합과 그 연산 6문항 23점, 도형의 이동 4문항 16.5점 순이며, 원이 단독으로 3분의 1 이상을 가져간다. 난이도는 상 9문항 44점, 중 9문항 33점, 하 6문항 23점으로 배점의 44%가 상에 몰려 있다. 1~8번 3점 구간에 개념 확인형을 모아 두고 11번(3.5점)부터 추론형을 끊김 없이 이어 붙인 배치가 설계 의도를 드러낸다.
이 시험을 관통하는 첫 축은 「중심과 직선 사이의 거리 = 반지름」이라는 단 하나의 등식이다. 7번(3점), 10번(3.5점), 12번(3.5점), 서답형2(8점), 서답형4(7점) 다섯 문항 25점이 모두 이 등식을 어느 미지수 쪽으로 푸느냐만 바꿔 출제됐다. 둘째 축은 대칭이동을 최단거리 도구로 쓰는 계열로, 16번(3.5점)과 서답형1(7점) 두 문항 10.5점이 반사점을 잡아 꺾인 경로를 직선거리로 펴는 동일한 발상을 요구한다. 셋째 축은 집합 연산식을 포함관계로 번역하는 계열이며 6번(3점), 9번(3.5점), 15번(3.5점), 서답형3(7점) 네 문항 17점이 여기에 속한다. 최고배점인 서답형2(8점)는 접하는 축을 x축·y축 두 갈래, 직선의 부호를 두 갈래로 4중 분기시킨 뒤 중복 중심 하나를 합쳐 7개를 세야 한다. 측정 대상은 계산 속도가 아니라 누락 없는 경우 분류 능력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 공식을 아는지가 아니라 공식을 어느 방향으로 쓰는지를 묻는다. 같은 접선 조건이라도 반지름을 구하라고 하면 평이한 문제가 되고, 중심이나 상수를 거꾸로 찾으라고 하면 상 난이도가 되는데 이 시험은 후자를 반복해서 냈다. 시험지에는 서답형 6문항 전부에 「풀이과정을 상세하게 서술하여야 합니다」와 「부분점수 있음」이 함께 적혀 있다. 답만 맞혀도 만점이 되지 않는 대신, 끝까지 풀지 못해도 조건 해석과 식 세우기까지 적어 두면 40점 중 상당 부분을 지킬 수 있다는 뜻이다. 그러므로 실점 원인은 계산 실수보다 조건을 식으로 옮기지 못한 독해 단계, 그리고 알면서도 과정을 적지 않은 서술 단계에서 먼저 찾아야 한다.