7번(자릿수 조건 곱의 법칙), 8번(직사각형 개수), 9번(모음·자음 교대 배열), 10번(각의 개수), 11번(ₙC₂ 부등식), 12번(리그전), 13번(홀짝 분류), 14번(사전식 나열), 서답형1(순열·조합·공약수 4종 세트), 서답형6(여사건)까지 10문항이 모두 다른 유형이다. 한 유형만 비어 있어도 4점 안팎이 그대로 날아간다.
1번은 x=3을 대입해 (x−3)(x²−2x+3)=0으로 쪼개는 기본형이고, 6번은 계수가 실수이므로 1+i의 켤레 1−i도 근임을 이용해 x²−2x+2를 인수로 분리한 뒤 나머지 이차식을 미정계수법으로 결정하는 표준 유형이다. 4번은 좌변을 (x−y)(x−2y)=0으로 인수분해해 두 갈래로 나눠야 하고, 서답형2는 도형 조건이 삼차방정식 x³−2x²−9=0으로 귀결된다.
2·3번은 해를 구해 정수를 세는 정방향이지만, 서답형4는 반대로 정수해가 5개가 되도록 하는 a의 범위를, 서답형5는 해가 −3≤x<−1이 되도록 하는 t의 범위를 묻는다. 5번도 “해가 x=1뿐”이라는 조건에서 a(x−1)²≤0 꼴을 역으로 복원해야 보기 ㄱ·ㄴ·ㄷ이 모두 판정된다.
15번은 x³=1의 허근 ω의 성질(ω³=1, ω²+ω+1=0)로 f(n)이 2와 −1을 주기 3으로 반복함을 먼저 찾아야, 그 다음 단계인 (x−f(n))(x−k)≤0의 정수해 개수 계산으로 넘어갈 수 있다. 16번은 x²−2ax+a²−4=(x−a−2)(x−a+2)로 쪼개 실근을 a±2로 특정한 뒤, |x−2|+|x−4|≤52를 −23≤x≤29라는 구간 조건으로 바꿔 케이스를 나눈다.
십의 자리 홀수는 1,3,5,7,9로 5가지가 확정되지만, 일의 자리 “4의 배수”를 0,4,8의 3가지로 보면 15가 되어 선택지에 답이 없다. 이 문항은 4,8의 2가지로 처리해 5×2=10을 요구한다. 3점짜리를 선택지 확인 없이 찍고 넘어가면 가장 쉬운 문제에서 점수를 버리게 된다.
x²−3xy+2y²=(x−y)(x−2y)=0에서 y=x와 y=x/2 두 경우가 모두 살아 있다. y=x에서 x=−1/2, −1이 나오고 y=x/2에서 x=−2/5, −2가 나오므로 “모든 실수 x의 값의 곱”은 네 값을 전부 곱한 2/5다. 한 갈래만 계산하면 1/2 또는 4/5로 오답이 된다.
두 인수를 독립으로 보고 (홀×홀)만 세면 안 된다. b가 양쪽에 동시에 등장하므로 ‘a홀·b짝’일 때는 bc가 항상 짝수라 d만 홀수면 되지만(3·3·6·3=162), ‘a짝·b홀’일 때는 c의 홀짝에 따라 d의 조건이 뒤집힌다(81+81=162). 이 연쇄 조건을 놓치면 324가 아니라 다른 값이 나온다.
절댓값 부등식 구간 −23≤x≤29만 따져 a를 구하면 a=31(a−2=29와 중복), a=−25(a+2=−23과 중복)가 섞여 들어온다. 조건 (가)가 “서로 다른 실근의 개수는 4”이므로 이 두 값을 반드시 제외해야 a=28,29,30과 −24,−23,−22의 합인 18이 나온다.
x²−5x−6>0의 해는 x<−1 “또는 x>6”이다. 앞쪽만 보고 t≥−1이면 된다고 답하면 t가 6을 넘는 순간 (6,t] 구간이 해에 추가돼 조건이 깨진다. 정답은 −1≤t≤6이며, t=−1과 t=6 양끝 등호를 직접 대입해 검산하는 서술이 부분점수를 좌우한다.
도형 속 직사각형·각의 개수, 교대 배열, 사전식 나열, 리그전, 홀짝 분류, 여사건, 공약수 개수까지 유형별 대표문제 1개씩을 손으로 다시 풀어 “세는 기준”을 한 줄로 요약해 둔다. 이번 시험처럼 유형이 겹치지 않게 출제되면 이 정리 노트가 곧 43점이다.
1·6번은 30초 안에 인수를 찾아야 하는 문제다. 상수항의 약수를 대입 후보로 즉시 나열하는 습관과, 계수가 실수인 방정식에서 허근·무리근은 반드시 켤레가 짝으로 온다는 원칙을 서답형2·3의 검산에도 그대로 재사용한다.
서답형4의 5<a≤12, 서답형5의 −1≤t≤6은 모두 등호 포함 여부에서 갈린다. 경계값을 원식에 직접 대입해 조건이 유지되는지 확인하는 한 문장을 답안에 쓰면 부분점수와 만점의 차이를 만든다.
서답형1은 ₅P₃=60, ₈C₃=56, 4!×2!=48, 180의 약수 18개로 네 문항 모두 공식 1줄이고, 서답형6도 (1) ₈P₄=1680은 즉답, (2)는 여사건 1680−₆P₄=1320이다. 고난도 서답형5에 시간을 쏟기 전에 이 13점을 먼저 완결하는 순서 전략이 필요하다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 방정식 | 삼차방정식 x³−5x²+9x−9=0의 실근·허근, a+b+c | 3 | 하 | x=3 대입으로 인수를 찾아 (x−3)(x²−2x+3)=0으로 분리 후 근의 공식으로 1±√2 i 확인 |
| 2 | 부등식 | 절댓값 부등식 |2x−5|≤1의 자연수 해의 합 | 3 | 하 | −1≤2x−5≤1로 풀어 2≤x≤3, 자연수 2와 3만 골라 합산 |
| 3 | 부등식 | 연립일차부등식의 정수해의 합 | 3 | 하 | 각 부등식을 x에 대해 정리(x≥1, x≤4)한 뒤 공통범위의 정수 1∼4를 더함 |
| 4 | 방정식 | 연립이차방정식, 모든 실수 x의 값의 곱 | 4 | 중 | (x−y)(x−2y)=0으로 두 갈래를 만들고 각각 대입해 얻은 네 근을 모두 곱함 |
| 5 | 부등식 | 이차부등식의 해가 x=1뿐일 조건 (보기 ㄱㄴㄷ) | 4 | 중 | a(x−1)²≤0 꼴로 복원해 a>0, D=0을 확인하고 b=−2a, c=a를 ㄷ에 대입 |
| 6 | 방정식 | 실계수 사차방정식, 한 근이 1+i일 때 두 실근의 합 | 4 | 중 | 켤레근 1−i로 x²−2x+2를 인수로 잡고 나머지 인수 x²−7x+12를 미정계수법으로 결정 |
| 7 | 경우의수 | 십의 자리 홀수·일의 자리 4의 배수인 두 자리 수의 개수 | 3 | 하 | 자리별 가능한 숫자를 나열해 곱의 법칙 적용(선택지로 4의 배수 범위를 역확인) |
| 8 | 경우의수 | 직사각형 15개로 된 격자에서 직사각형의 개수 | 3 | 하 | 가로선 4개·세로선 6개에서 각각 2개씩 선택하는 문제로 환원해 ₄C₂×₆C₂ 계산 |
| 9 | 경우의수 | 모음 3개·자음 3개를 교대로 나열하는 경우의 수 | 3 | 하 | 배열 패턴 2가지(모자모자모자 / 자모자모자모)를 먼저 잡고 각 그룹 내부 3!×3!을 곱함 |
| 10 | 경우의수 | 6개의 점 중 3개를 이어 만드는 서로 다른 각의 개수 | 4 | 중 | 각은 꼭짓점이 결정하므로 꼭짓점 6가지를 먼저 고정하고 나머지 5점에서 ₅C₂를 곱함 |
| 11 | 경우의수 | ₙC₂의 값이 6 이상 15 이하가 되는 자연수 n의 합 | 4 | 하 | ₙC₂=n(n−1)/2를 n=4,5,6에 직접 대입해 6,10,15를 확인하고 n을 합산 |
| 12 | 경우의수 | 12팀 3라운드 리그전에서 (전체 경기 수)−(팀별 경기 수) | 4 | 중 | a=11×3, b=₁₂C₂×3으로 “한 팀 기준”과 “전체 기준”을 분리해 계산 후 차를 구함 |
| 13 | 경우의수 | 주사위 4개, (a+b)(bc+d)가 홀수가 되는 경우의 수 | 4.5 | 상 | a+b 홀수 조건으로 a·b를 두 경우로 나누고, b의 홀짝에 따라 c·d의 조건이 바뀜을 추적 |
| 14 | 경우의수 | 코돈(A,C,G,T 중 서로 다른 3개)의 사전식 나열에서 GCA의 순서 | 4.5 | 중 | 첫 글자별 블록 크기 ₃P₂=6으로 구간을 좁힌 뒤 G 블록 내부를 직접 나열해 위치 확정 |
| 15 | 융합 | x³=1의 허근으로 만든 f(n), 이차부등식의 정수해 개수 g(n)의 합 | 4.5 | 상 | ω³=1을 써서 f(n)이 2와 −1을 주기 3으로 반복함을 찾고, (x−f(n))(x−k)≤0의 정수 개수를 k의 식으로 합산 |
| 16 | 융합 | 사차식의 서로 다른 실근 4개 조건 + 절댓값부등식 조건, 정수 a의 합 | 4.5 | 상 | (x−a−2)(x−a+2)로 근을 a±2로 특정하고, |x−2|+|x−4|≤52를 −23≤x≤29로 바꿔 케이스 분류 |
| 서답형1 | 경우의수 | (1)₅P₃ (2)특정 카드 포함 조합 (3)이웃 순열 (4)공약수의 개수 — 각 1.5점 | 6 | 하 | (1)₅P₃ (2)3번 카드 고정 후 ₈C₃ (3)CD를 한 덩어리로 4!×2! (4)최대공약수 180의 소인수분해로 약수 개수 |
| 서답형2 | 방정식 | 정육면체 4개를 쌓은 입체의 부피·겉넓이 관계 9A=4B+324에서 x | 7 | 중 | A=4x³, 맞닿은 면을 빼고 B=18x²를 세운 뒤 x³−2x²−9=0을 인수정리로 풀어 x=3 도출 |
| 서답형3 | 방정식 | 두 연립방정식의 공통해가 존재할 때 실수 a, b | 7 | 중 | x+y=6과 x²+y²=18에서 xy=9를 얻어 공통해 x=y=3을 확정한 뒤 나머지 두 식에 대입 |
| 서답형4 | 부등식 | 연립일차부등식의 정수해가 5개가 되는 실수 a의 범위 | 6 | 중 | x≤6을 먼저 확정하고 정수해를 2∼6으로 특정, 1<(a+2)/7≤2를 풀어 5<a≤12 |
| 서답형5 | 부등식 | 연립이차부등식의 해가 −3≤x<−1이 되는 실수 t의 범위 | 7 | 상 | x<−1 또는 x>6과 [−3,t]의 교집합을 수직선에서 비교, t의 하한과 상한을 모두 잡아 −1≤t≤6 |
| 서답형6 | 경우의수 | (1)8개 특징점 중 4개에 소수 배정 (2)a 또는 e를 포함하는 경우 — 3점+4점 | 7 | 중 | (1)서로 다른 소수를 하나씩 주므로 순열 ₈P₄ (2)여사건으로 ₈P₄−₆P₄ 계산 |
이번 운암고등학교 1학년 공통수학1 2026학년도 1학기 기말고사는 총 22문항 100점(선택형 16문항 60점, 서답형 6문항 40점)으로 출제되었다. 선택형은 3점 6문항·4점 6문항·4.5점 4문항으로 배점이 계단식으로 올라가고, 서답형은 6∼7점 구간에 고르게 분포한다. 출제 범위는 방정식과 부등식 후반부 + 경우의 수 전 범위로, 행렬 단원은 이번 시험에서 다루어지지 않았다. 배점 비중은 경우의 수 43점(10문항)이 압도적 1순위이고 방정식 25점(5문항), 부등식 23점(5문항)이 뒤를 이으며, 15·16번은 방정식과 부등식을 한 문항 안에서 동시에 요구하는 융합형 9점이다. 난이도는 하 8문항 28점, 중 10문항 51.5점, 상 4문항 20.5점으로, 중난도가 절반을 차지하는 “허리가 두꺼운” 구조다. 즉 평균대는 높게 형성되지만, 상위권 변별은 13·15·16번과 서답형5 단 4문항(20.5점)에서만 일어난다.
출제 특징은 세 가지로 요약된다. 첫째, 경우의 수에서 유형이 한 번도 겹치지 않는다. 8번 격자 속 직사각형, 9번 교대 배열, 10번 각의 개수, 12번 리그전, 14번 사전식 나열, 서답형6 여사건까지 열 문항이 모두 다른 셈법을 요구하므로, 특정 유형 하나가 비어 있으면 그대로 실점으로 이어진다. 둘째, 부등식은 정방향보다 역산형이 무겁다. 서답형4는 “정수해가 5개”라는 조건에서 a의 범위(5<a≤12)를, 서답형5는 “해가 −3≤x<−1”에서 t의 범위(−1≤t≤6)를 거꾸로 구하게 하는데, 특히 서답형5는 x²−5x−6>0의 해에 x>6 영역이 함께 존재한다는 점을 놓치면 t의 상한을 잡지 못해 절반만 맞게 된다. 셋째, 최고난도는 2단 구조다. 15번은 허근 ω의 주기성으로 f(n)을 2와 −1로 확정하는 1단계를 통과해야 정수해 개수 계산에 들어갈 수 있고, 16번은 절댓값 조건을 −23≤x≤29로 바꾼 뒤에도 “서로 다른 실근 4개” 조건으로 a=31, a=−25를 배제해야 정답 18에 도달한다. 반대로 7번은 “4의 배수”에 0을 포함할지에 따라 답이 갈리는 만큼, 쉬운 문항에서도 선택지 확인이 필요했다.
학부모님께는 이번 시험이 “어려운 몇 문제”보다 “경우의 수 열 가지 유형을 빠짐없이 갖추었는가”에 좌우된 시험이었음을 말씀드린다. 43점이 걸린 단원에서 유형 두세 개가 비어 있으면, 나머지를 다 맞아도 2등급 이하로 내려간다. 학생들에게는 첫째 서답형 순서 전략을 권한다. 서답형1(6점)과 서답형6(7점)은 공식 한 줄이면 끝나는 소문항형이므로 이 13점을 먼저 확보한 뒤 서답형5로 넘어가야 한다. 둘째, 부등식은 반드시 수직선을 그리고 경계의 등호 포함 여부를 점으로 표시하는 습관을 들여야 한다. 다음 학습 사이클은 4주 커리큘럼으로 제안드린다. 1주차 경우의 수 유형 총정리(도형 개수·교대 배열·사전식 나열·리그전·여사건 각 5문제씩 25문제), 2주차 고차·연립방정식의 인수정리와 켤레근 루틴화 + 도형 활용 서술형 10문제, 3주차 부등식 역산형 집중(정수해 개수 조건·해 구간 조건 20문제)과 경계 등호 검산 훈련, 4주차 13·15·16번급 2단 융합형 실전 세트 3회 + 서답형 답안 첨삭 2회. 특히 서답형은 부분점수 비중이 크므로, 답이 맞았더라도 조건 해석과 검산 문장을 답안에 남기는 연습을 반드시 병행해야 한다.