3·6번은 ∑의 성질과 k(k+2) 일반항 파악 정도의 기본이지만, 14번(근과 계수의 관계 → 유리화 → 소거), 서답형4(Sn=n²+2n → an=2n+1 → 부분분수), 서답형6(교점의 거리 f(n)을 n의 식으로 만든 뒤 ∑)은 모두 주어진 상황을 먼저 “n에 대한 일반항”으로 번역하는 단계가 승부처다. ∑ 공식 자체는 마지막 한 줄에 불과하다.
16번은 홀수항 일반항과 S2n이 함께 주어져 “짝수항의 합 = 전체합 − 홀수항의 합”으로 분해해야 하고, 서답형4·5는 Sn에서 an을 역으로 뽑아내는 정석 유형이다. 특히 서답형5의 Sn=5n²−3n+1은 상수항 +1이 붙어 있어 a1이 일반항 공식과 어긋나는, 이 시험 최대의 함정이 심어져 있다.
1·2번은 일반항 대입 수준이지만, 8번(가로·세로 6줄이 동시에 등차인 3×3 표), 9번(등차 조건과 등비 조건을 동시에 만족하는 정수쌍), 10번(공비가 음수라는 단서로 r=±2 중 결정), 15번(S14=S3+11 → a9=1 → 최대가 되는 n), 서답형2(S100−S95 비 → r10=8)는 모두 주어진 조건을 방정식으로 옮기는 변환력을 묻는다.
4·5·7·12번은 각의 변환 공식, 삼각방정식, 사인법칙, 헤론·내접원 공식을 그대로 쓰면 되는 표준형이다. 반면 11번(2sin²x+5cosx+1>0 → cos x에 대한 이차부등식 → tan(a+2b)), 18번(중점 D와 외접원 위의 점 E, 삼각형 ADE의 외접원 반지름), 서답형3(y=tan(2x−π/2)의 주기·점근선)은 여러 단원의 도구를 이어 붙여야 답에 닿는다.
Sn=5n²−3n+1에서 n≥2일 때 an=10n−8이지만, a1=S1=3으로 일반항 대입값 2와 다르다. 이 한 줄을 놓치면 최종값이 1만큼 어긋나 8점짜리 문항 전체가 무너진다. 상수항이 붙은 Sn은 출제자가 의도적으로 심은 분기점이다.
π 단위 변환(①②③)은 부호만 바뀌지만 π/2 단위 변환은 sin↔cos, tan↔1/tan으로 함수가 바뀐다. tan(π/2+π/3)=−1/tan(π/3)=−√3/3인데 −√3으로 착각하면 ⑤가 “옳은 것”으로 보여 정답을 지나친다.
(2cos x+1)(cos x−3)<0에서 cos x−3은 항상 음수라는 판단을 빠뜨리면 부호 방향이 뒤집힌다. 또 0≤x<π라는 제한 때문에 α의 최솟값 a=0(등호 포함), β의 최댓값 b=2π/3이 되는데, a를 0이 아닌 다른 값으로 잡으면 tan(a+2b)=tan(4π/3)이 나오지 않는다.
9n²−3n−2=(3n−2)(3n+1)로 인수분해되어 두 근이 αn=3n−2, βn=3n+1로 깔끔하게 떨어진다. 이를 못 보고 근의 공식을 쓰면 √ 안이 정리되지 않아 유리화·소거 구조 자체가 보이지 않는다.
교점의 x좌표 차 |x1−x2|=|5n−1|까지 구해 놓고, 직선의 기울기가 1이므로 실제 거리는 √2|x1−x2|라는 점을 놓치면 {f(n)}²이 절반이 되어 답이 1018이 아닌 509로 어긋난다. 17번 역시 (a1²−3)²=9와 =1 두 경우를 모두 검토해야 a1=0, ±2가 모두 나온다.
∑ 문제의 실패는 계산이 아니라 일반항을 못 세운 데서 생긴다. 분모에 √가 있으면 유리화, 두 항의 곱이면 부분분수, 그 외에는 ∑k·∑k²·∑k³ 공식형 — 이 세 갈래 판별을 3초 안에 내리는 훈련을 반복한다.
an=Sn−Sn−1을 쓸 때마다 “단, n≥2”를 손으로 쓰고 a1=S1을 별도 계산해 대조하는 습관을 만든다. Sn에 상수항이 있으면 100% 일치하지 않는다는 것을 사실로 외워 둔다.
Sp−Sq는 연속 항들의 합, 등차 세 수는 “2×가운데=양끝의 합”, 등비 세 수는 “가운데²=양끝의 곱”으로 조건을 보자마자 식으로 옮기는 반사 훈련이 필요하다. 8번 같은 표 배열형은 확정값이 두 개 있는 줄부터 공략한다.
π/2 단위와 π 단위 변환을 표로 만들어 매일 30초 낭독하고, 삼각부등식은 cos(또는 sin) 하나로 통일하는 절차를 표준화한다. 도형 활용형은 사인법칙·코사인법칙·헤론·내접원(S=rs)·원주각 다섯 도구를 한 장에 정리해 두고 조건에 맞춰 꺼내 쓴다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 등차등비 | 등차수열의 일반항 (a₁=5, d=2일 때 a₃) | 3 | 하 | aₙ=a₁+(n−1)d에 그대로 대입 (a₃=5+2·2=9) |
| 2 | 등차등비 | 등비수열 a₂=3, a₃=−9일 때 a₅ | 3 | 하 | 공비 r=a₃/a₂=−3을 먼저 구하고 a₅=a₃·r²로 두 칸만 진행 |
| 3 | 수열의 합 | ∑의 성질 (3aₖ−bₖ+2의 합) | 3 | 하 | ∑을 항별로 분리하고 상수항은 항의 개수 20을 곱함 (45−30+40=55) |
| 4 | 삼각함수 | 각의 변환 공식 — 값이 바르지 않은 것 찾기 | 3 | 하 | π 단위(부호만 변화)와 π/2 단위(함수가 교체)를 구분해 다섯 보기를 하나씩 검증 |
| 5 | 삼각함수 | 삼각방정식 2cos x−1=0 (0≤x<2π) | 3 | 하 | cos x=1/2로 정리한 뒤 단위원에서 1·4사분면 두 해(π/3, 5π/3)를 읽음 |
| 6 | 수열의 합 | 1×3+2×4+⋯+10×12의 값 | 3 | 중 | 일반항을 k(k+2)=k²+2k로 확정한 뒤 ∑k²+2∑k 공식에 대입 (385+110=495) |
| 7 | 삼각활용 | 측량 응용 — 사인법칙으로 두 지점 거리 | 3 | 중 | ∠A=180°−75°−60°=45°를 먼저 구하고 AB/sin C = BC/sin A로 연결 (40√6) |
| 8 | 등차등비 | 3×3 표의 가로·세로가 모두 등차수열 (a+b+e) | 3 | 중 | 확정값이 두 개인 줄(2,a,8 / 2,b,6)부터 등차중항으로 채우고 연쇄적으로 c, e를 결정 |
| 9 | 등차등비 | 등차·등비 조건을 동시에 만족하는 정수 a, b | 3.5 | 중 | 2a=−5+b와 b²=−9a를 연립해 4a²+29a+25=0을 얻고, 정수 조건으로 a=−1만 채택 |
| 10 | 등차등비 | 공비가 음수인 등비수열의 제8항까지의 합 | 3.5 | 중 | a₈/a₄=r⁴=16에서 r=±2 중 “음수” 단서로 r=−2 확정 후 a₁=3, 합 공식 적용 |
| 11 | 삼각함수 | 삼각부등식의 해 구간에서 tan(a+2b) | 3.5 | 상 | sin²x=1−cos²x로 통일해 (2cos x+1)(cos x−3)<0 → cos x>−1/2 → 0≤x<2π/3, tan(4π/3)=√3 |
| 12 | 삼각활용 | 세 변이 5,7,8인 삼각형의 내접원 넓이 | 3.5 | 중 | 헤론 공식으로 넓이 10√3 → S=rs에서 r=√3 → 내접원 넓이 πr²=3π |
| 13 | 수열의 합 | ∑k³ 공식의 수학적 귀납법 증명 빈칸 (가)(나) | 3.5 | 중 | (가)=(k+1)³로 두고 {k(k+1)/2}²+(k+1)³을 (k+1)²로 묶어 (나)=(k+2)²를 유도, f(3)+g(1)=64+9=73 |
| 14 | 수열의 합 | 이차방정식의 두 근으로 만든 ∑ (유리화·소거) | 3.5 | 상 | 9n²−3n−2=(3n−2)(3n+1) 인수분해로 두 근을 확정 → 분모 유리화 후 망원급수로 소거 (⅓(16−1)=5) |
| 15 | 등차등비 | S₁₄=S₃+11일 때 Sₙ이 최대가 되는 n | 3.5 | 중 | a₄+⋯+a₁₄=11(11개 항) → 중앙항 a₉=1 → d=−4, aₙ의 부호가 바뀌는 n=9가 답 |
| 16 | 수열의 합 | 홀수항 일반항과 S₂ₙ이 주어질 때 짝수항의 합 | 3.5 | 중 | ∑a₂ₖ = S₂₀ − ∑a₂ₖ₋₁ 로 분해 (−20 − 235 = −255) |
| 17 | 수열의 합 | 귀납적 정의(홀·짝 분기)에서 a₁의 최댓값−최솟값 | 4 | 상 | a₆=16에서 거꾸로 a₅→a₄→⋯로 역추적, [(a₁²−3)²−5]²=16의 두 분기를 모두 풀고 정수해 0, ±2만 채택 → 4 |
| 18 | 삼각활용 | 외접원과 중점 D·점 E, 삼각형 ADE의 외접원 반지름 조건 | 4 | 상 | ∠AED=∠ACB(같은 호의 원주각)로 AD=√2·sin C를 얻고, 사인법칙과 코사인법칙을 연립 (4√17/17) |
| 서답형1 | 삼각활용 | sin A cos C = sin B인 삼각형의 모양 판정 (서술형) | 5 | 중 | 사인법칙으로 변으로 바꾸고 cos C에 코사인법칙을 대입해 a²=b²+c² → ∠A=90°인 직각삼각형임을 서술 |
| 서답형2 | 등차등비 | (S₁₀₀−S₉₅)/(S₉₀−S₈₅)=8일 때 a₂₁ (서술형) | 6 | 중 | 두 차를 각각 5개 항의 합으로 풀어 비가 r¹⁰=8임을 보이고, a₂₁=a₁·r²⁰=½·8²=32 |
| 서답형3 | 삼각함수 | y=tan(2x−π/2)의 그래프·주기·점근선 (서술형) | 6 | 중 | y=tan2(x−π/4)로 변형 → 주기 π/2, 점근선은 2x−π/2=π/2+nπ에서 x=nπ/2 (n은 정수) |
| 서답형4 | 수열의 합 | Sₙ=n²+2n일 때 ∑1/(aₙaₙ₊₁) (서술형) | 7 | 상 | aₙ=2n+1(n=1도 성립함을 확인) → 부분분수 ½(1/(2n+1)−1/(2n+3))로 분해해 소거 (10/69) |
| 서답형5 | 수열의 합 | Sₙ=5n²−3n+1일 때 ∑(aₙ₊₂−aₙ) (서술형) | 8 | 상 | 합을 전개해 a₆+a₇−a₁−a₂로 접고, a₁=S₁=3은 일반항 10n−8과 다름을 명시적으로 서술 (99) |
| 서답형6 | 수열의 합 | 곡선과 직선의 두 교점 거리 f(n)과 ∑n{f(n)}² (서술형) | 8 | 상 | x²+(1−n)x+2n−6n²=0의 (x₁−x₂)²=(5n−1)² → 기울기 1이므로 {f(n)}²=2(5n−1)² → ∑k³·∑k²·∑k 공식 적용 (1018) |
이번 운암고등학교 2학년 대수 2026학년도 1학기 중간고사는 총 24문항 100점(선택형 18문항 60점, 서답형 6문항 40점)으로 구성되었다. 출제 범위는 삼각함수와 수열 두 대단원으로, 같은 과목의 지수와 로그·지수함수와 로그함수 계열은 한 문항도 나오지 않았다. 배점을 영역별로 보면 수열의 합·수학적 귀납법이 43.5점으로 압도적 1위이고 등차·등비수열 25.5점이 뒤를 이어, 수열 단독으로 69점을 차지한다. 삼각함수는 성질·방정식·부등식·그래프가 15.5점, 사인·코사인법칙 등 도형 활용이 15.5점으로 균형을 이루며 나머지 31점을 담당했다. 난이도는 하 5문항 15점, 중 12문항 47점, 상 7문항 38점으로 중난도 중심의 완만한 계단형이며, 1~5번 15점은 정의 확인 수준으로 안전하게 배치되어 있다.
이번 시험의 성격을 한마디로 요약하면 “∑ 계산 능력이 아니라 ∑으로 번역하는 능력”을 묻는 시험이다. 14번은 9n²−3n−2를 (3n−2)(3n+1)로 인수분해해야 두 근이 드러나고, 서답형4는 Sn에서 an=2n+1을 뽑아야 부분분수가 보이며, 서답형6은 교점의 좌표 차에 기울기 보정(√2배)을 해야 비로소 ∑ 공식에 들어간다. 세 문항 모두 최종 계산은 한 줄이지만 그 앞의 변환에서 승부가 갈린다. 가장 결정적인 변별 장치는 서답형5의 Sn=5n²−3n+1이다. 상수항 +1 때문에 a1=3이 일반항 10n−8의 값 2와 어긋나는데, 이를 놓치면 8점 문항 전체가 무너진다. 선택형에서는 11번(삼각부등식의 경계 등호), 17번(귀납적 정의의 두 분기와 정수 조건), 18번(원주각을 매개로 두 사인법칙 연결)이 상위권 내부를 가르는 지점이었다. 반대로 4번의 tan(π/2+θ) 오독, 10번의 “공비가 음수” 단서 누락처럼 중위권이 흔히 흘리는 3~3.5점짜리 실점도 곳곳에 배치되어 있다.
학부모님께는 이번 시험이 어려운 문제를 많이 낸 시험이라기보다 “조건을 식으로 옮기는 정확성”과 “서술의 완성도”가 점수를 가른 시험이었다는 점을 안내드린다. 특히 서답형 40점 중 23점이 뒤쪽 세 문항(7·8·8점)에 몰려 있어, 시간 배분과 서술 훈련만으로도 체감 성적이 크게 달라진다. 학생에게는 다음 4주 학습 사이클을 권한다. 1주차 — Sn↔an 전환 집중(상수항 있는 Sn 유형 20문제, n=1 검증을 매번 손으로 쓰기). 2주차 — ∑ 유형 3분류 반사 훈련(유리화형·부분분수형·공식형 각 15문제)과 수학적 귀납법 증명 빈칸 10문제. 3주차 — 등차·등비 조건 번역 훈련(Sp−Sq 분해, 합의 최대·최소, 귀납적 정의 역추적 20문제). 4주차 — 삼각함수 변환표 암송 + 삼각부등식 표준 절차 10문제, 사인·코사인법칙 도형 활용 15문제로 마무리한다. 매주 마지막 날에는 서술형 2문항을 시간 제한 아래 작성하고 첨삭받아, 부분점수를 확보하는 답안 형식을 몸에 익히도록 지도하겠다.