1번(이산확률변수의 판별), 3번(표에서 E(X)), 2번(V(aX+b)=a²V(X))처럼 정의와 성질을 1단계로 묻는 문항이 앞부분에 집중되어 있고, 7번(P(X=x)=(3x+1)/k에서 확률의 총합=1로 k를 먼저 결정), 서답형5(E(Y)=11, E(Y²)=202에서 V(Y)를 거쳐 X로 되돌리기), 서답형6(조합으로 확률질량함수를 세우고 평균 계산)으로 단계가 올라간다.
6번(N(5,3²)에서 P(2≤X≤8)), 15번(통조림 25개 무게 합 → 표본평균의 분포로 전환 후 표준화), 17번(720회 반복 시행을 B(720,1/6)→N(120,10²)로 근사), 서답형3(동전 100회 점수를 4X-100으로 정리 후 근사)이 모두 같은 절차의 난이도만 달리한 변주다. 10번은 정규분포 곡선의 성질(최댓값·대칭성·σ에 따른 모양 변화)을 <보기>로 직접 묻는다.
11번은 E(X̄)·σ(X̄) 정의 확인(하), 13번은 모비율 신뢰구간의 폭 β-α 계산, 14번은 주어진 신뢰구간 86.56≤m≤93.44로부터 x̄와 표본크기 n을 역으로 복원하는 문항이다. 서답형4는 표본평균의 분산 V(X̄)=V(X)/n을 구한 뒤 P(X̄=0)까지 직접 세는 복합형이다.
12번은 서로 다른 두 사람의 독립시행(2회·3회)에서 a+b=4가 되는 조합을 나눠야 하고, 16번은 A→B→C로 공이 옮겨가는 3단계 조건부확률, 17번은 두 눈의 제곱 합이 50 이상인 경우를 먼저 세어 p=1/6을 얻어야 근사로 넘어간다. 18번은 “a≥1 또는 b≥3”이라는 조건집합을 먼저 확정한 뒤 그 안에서 소수인 경우를 세는 조건부확률 구조다.
연속확률변수에서 한 점의 확률은 0이므로 ㄴ은 거짓이고, σ가 작아지면 그래프는 가운데가 높아지고 폭이 좁아진다(ㄹ은 서술이 정반대). 이 두 개를 “그럴듯하다”고 넘기면 정답 조합이 통째로 바뀐다.
P(B|A)=1/4이 곧 P(B)=1/4이라는 점을 못 쓰면 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 식을 세울 수 없다. 또 합사건 공식에서 P(A∩B)를 P(A)P(B)로 바꾸는 독립 조건을 빼먹으면 미지수가 두 개로 늘어 풀리지 않는다.
A에서 꺼낸 공이 흰색이냐 검은색이냐에 따라 상자 B의 구성이 (흰6,검4) 또는 (흰5,검5)로 달라진다. 이 분기를 무시하고 “B에서 검은 공 확률 4/9”로 고정하면 C단계까지 오차가 누적된다. 3단계 모두 경우를 나눠 곱해야 한다.
앞면 X회일 때 점수는 3X-(100-X)=4X-100이다. 이 식 없이 “64점 이상”을 바로 확률로 옮기면 X≥41이라는 기준을 얻지 못한다. 표준화 z=(41-50)/5=-1.8에서 음수 z의 대칭 처리(0.5+0.4641)도 흔한 실수 지점이다.
크기 4인 표본의 평균이 0이려면 네 값의 합이 0이어야 하고, (0,0,0,0) / (-1,1,0,0) / (-1,-1,1,1) 세 가지 유형이 모두 나온다. 같은 값이 섞인 순서 개수(12가지, 6가지)를 놓치면 확률이 크게 작아진다.
E(aX+b)·V(aX+b)·σ(aX+b)와 V(X)=E(X²)-{E(X)}², 이항분포의 E=np·V=npq를 한 장의 카드로 묶어 매일 암송한다. 7번·서답형5처럼 한 단계만 비틀어도 바로 적용될 수 있어야 한다.
“m·σ 확정 → Z로 치환 → 표의 z에 맞추기”를 손이 먼저 움직일 만큼 반복한다. 특히 이항분포 정규근사(17번·서답형3)는 npq로 σ를 구하는 연습을 10문항 이상 별도로 돌린다.
14번처럼 구간 → x̄·n 복원, 13번처럼 폭만 묻는 변형을 세트로 묶어 훈련한다. 신뢰도 95%(1.96)·99%(2.58) 계수와 모비율 √(p̂q̂/n) 형태를 혼동하지 않도록 표로 정리한다.
4번 같은 표형은 분모가 “조건”의 도수임을 표에서 직접 짚고, 16·18번처럼 단계가 있는 문항은 수형도를 그려 각 가지의 확률을 적은 뒤 곱하고 더한다. 머릿속 계산이 가장 큰 실점 원인이다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이산·이항 | 이산확률변수의 판별 (보기 5지선다) | 2.9 | 하 | “값이 셀 수 있는가”를 기준으로 키·농도·시간(연속)과 주사위 눈(이산)을 구분 |
| 2 | 이산·이항 | V(X)=4일 때 V(2X+5) | 3 | 하 | V(aX+b)=a²V(X)에 직접 대입 — 상수항 5는 분산에 영향 없음 |
| 3 | 이산·이항 | 확률분포표에서 E(X) | 3.1 | 하 | E(X)=Σx·P(X=x)를 표의 세 항에 그대로 계산 |
| 4 | 조건부확률 | 선택과목 선호도 표에서 조건부확률 | 3.1 | 하 | 조건 “B 선호”의 합계(21)를 분모로, 그중 남학생 수(8)를 분자로 놓음 |
| 5 | 이산·이항 | B(100,p), E(X)=40일 때 V(X) | 3.2 | 하 | np=40에서 p=0.4를 먼저 구하고 V=npq=100·0.4·0.6 계산 |
| 6 | 정규분포 | N(5,3²)에서 P(2≤X≤8), 표준정규분포표 이용 | 3.3 | 하 | Z=(X-5)/3으로 표준화해 -1≤Z≤1로 바꾸고 0.3413×2로 계산 |
| 7 | 이산·이항 | P(X=x)=(3x+1)/k (x=0~4)일 때 E(X) | 3.3 | 중 | 확률의 총합=1로 k=35를 먼저 확정한 뒤 E(X)=Σx(3x+1)/35 계산 |
| 8 | 정규분포 | 확률밀도함수 그래프(꺾은선 3구간)와 P(3/4≤X≤3/2) | 3.3 | 중 | 전체 넓이=1에서 a=3/4를 먼저 확정 → 구간을 꺾인점 x=1에서 분할해 [3/4,1]은 높이 1/2 직사각형(1/8), [1,3/2]는 윗변 1/2·아랫변 5/8 사다리꼴(9/32)로 계산해 합산(=13/32) |
| 9 | 조건부확률 | 독립사건에서 P(B|A), P(A∪B)로부터 P(A) | 3.3 | 중 | 독립이므로 P(B|A)=P(B)=1/4, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에 대입해 1차방정식 풀이 |
| 10 | 정규분포 | 정규분포 곡선의 성질 <보기> 판정 | 3.3 | 중 | 최댓값 f(m)·직선 x=m 대칭은 참, 연속변수의 P(X=x)=0과 σ 감소 시 폭이 좁아짐을 근거로 거짓 판정 |
| 11 | 통계추정 | 표본평균의 E(X̄)+σ(X̄) | 3.3 | 하 | E(X̄)=m=12, σ(X̄)=σ/√n=5/10에 대입해 합산 |
| 12 | 이산·이항 | 두 사람의 독립시행(2회·3회)에서 6의 약수 횟수 합이 4일 확률 | 3.3 | 상 | p=4/6=2/3을 구한 뒤 (a,b)=(1,3),(2,2) 두 경우로 나눠 이항확률을 곱해 합산, 기약분수로 정리 |
| 13 | 통계추정 | 모비율 95% 신뢰구간의 폭 β-α | 3.4 | 중 | p̂=320/400=0.8을 구하고 폭=2×1.96×√(p̂q̂/n)에 대입 |
| 14 | 통계추정 | 99% 신뢰구간 86.56≤m≤93.44로부터 x̄+n 역산 | 3.4 | 중 | 구간의 중앙값으로 x̄=90, 구간 길이=2×2.58×12/√n으로 √n=9 → n=81을 복원 |
| 15 | 통계추정 | 통조림 25개 무게의 합이 10105g 이상일 확률 | 3.5 | 중 | 합 조건을 25로 나눠 X̄≥404.2로 바꾸고, X̄~N(401,(8/5)²)에서 z=2.0으로 표준화 |
| 16 | 조건부확률 | 상자 A→B→C로 공을 옮긴 뒤 검은 공을 꺼낼 확률 | 3.6 | 상 | A에서 꺼낸 공의 색으로 B의 구성을 분기 → 같은 방식으로 C까지 확장, 각 경로의 확률을 곱해 모두 합산 |
| 17 | 정규분포 | 두 주사위 눈의 제곱 합 ≥50인 횟수(720회 반복)의 확률 | 3.7 | 상 | 6×6 표에서 해당 칸 6개를 세어 p=1/6 → B(720,1/6)의 m=120, σ=10으로 정규근사 후 표준화 |
| 18 | 조건부확률 | 두 주사위 점수 규칙, “a≥1 또는 b≥3” 조건 하에 소수일 확률 | 4 | 상 | x>y(15칸)와 y-x≥3(6칸)으로 조건집합 21칸을 확정한 뒤, 그중 차가 2·3·5인 칸을 세어 조건부확률로 계산 |
| 서답형1 | 정규분포 | f(x)=ax (0≤x≤8√(2a))의 그래프·a 결정과 구간 확률 (서술형) | 5 | 중 | (1) 삼각형 넓이=1로 64a²=1 → a=1/8, 그래프를 좌표평면에 정확히 도시 (2) 정의역 [0,4]에서 P(1≤X≤2)를 넓이로 계산 |
| 서답형2 | 이산·이항 | 동전 2개 시행으로 점 P 이동, n번 후 위치가 1일 확률 (서술형) | 7 | 중 | (1) 둘 다 앞면 1/4, 그 외 3/4 (2) 위치=4k-(n-k)=5k-n=1 식 세우기 (3) n=4 → k=1을 대입해 이항확률 계산 |
| 서답형3 | 정규분포 | 동전 100회, 점수 64점 이상일 확률 (서술형) | 7 | 상 | 앞면 X회일 때 점수=4X-100 → X≥41로 환원, B(100,1/2)를 N(50,5²)로 근사해 z=-1.8에서 표 값 적용 |
| 서답형4 | 통계추정 | 모집단 분포표(a, 1/5, 2a-1)에서 V(X̄)와 P(X̄=0) (서술형) | 8 | 상 | (1) 총합=1로 a=3/5 확정 후 V(X)=16/25, V(X̄)=V(X)/4 (2) 네 값의 합=0이 되는 세 유형을 순서까지 세어 합산 |
| 서답형5 | 이산·이항 | Y=3X-1, E(Y)=11·E(Y²)=202에서 X의 평균·분산 (서술형) | 6 | 중 | E(Y)=3E(X)-1로 E(X)=4, V(Y)=E(Y²)-{E(Y)}²=81, V(Y)=9V(X)로 V(X)=9 유도 |
| 서답형6 | 이산·이항 | 빨간 2·노란 8에서 2개를 꺼낼 때 빨간 공의 개수 X (서술형) | 7 | 중 | (1) P(X=x)=₂Cₓ·₈C₂₋ₓ/₁₀C₂ (x=0,1,2)를 값의 범위까지 명시 (2) 표로 정리 후 E(X)=Σx·P(X=x) 계산 |
이번 운암고등학교 2학년 확률과 통계 2026학년도 1학기 중간고사는 선택형 18문항 60점, 서답형(서술형) 6문항 40점, 총 24문항 100점으로 구성되었다. 선택형 배점이 2.9점부터 4점까지 0.1점 단위로 세분화되어 있어 한 문항의 실수가 곧바로 등급 경계를 흔드는 구조다. 영역별로는 이산확률변수·이항분포가 9문항 38.8점으로 가장 크고, 연속확률변수·정규분포 6문항 25.6점, 통계적 추정 5문항 21.6점, 조건부확률·독립 4문항 14.0점이 뒤를 잇는다. 즉 통계(확률분포+통계적 추정)가 86점을 차지하고 확률 단원은 조건부확률·독립까지만 다뤄졌다. 난이도는 하 7문항(21.9점), 중 11문항(48.5점), 상 6문항(29.6점)으로, 중간 난이도가 절반을 차지하는 “넓게 깔고 끝에서 가르는” 전형적인 내신 설계다.
출제 특징은 앞부분에서 정의와 공식을 확인하고, 뒤로 갈수록 같은 개념을 한 겹씩 포장해 되묻는다는 점이다. 2번의 V(2X+5)는 서답형5에서 “Y=3X-1, E(Y²)이 주어진” 형태로 다시 등장하고, 5번의 이항분포 E·V는 12번(두 사람의 독립시행 결합)과 17번(720회 반복의 정규근사)으로 확장된다. 6번의 단순 표준화는 15번(합 → 표본평균 전환)과 서답형3(점수식 4X-100 → X≥41)에서 “표준화 이전에 조건을 바꿔 쓰는 단계”가 하나 더 붙는다. 실질적 변별은 네 지점에서 발생한다. 16번의 3단계 조건부확률(상자 B의 구성이 분기한다는 것을 잡아내야 함), 17번의 경우 세기(x²+y²≥50인 칸이 정확히 6개), 18번의 조건집합 확정(21칸), 그리고 서답형4(2)의 “합이 0이 되는 세 유형과 그 순서 개수”다. 반대로 14번은 신뢰구간을 중앙값과 길이로 분해하면 정형적으로 풀리므로, 이 문항을 놓쳤다면 개념이 아니라 절차 훈련 부족으로 봐야 한다.
학부모님께는 이번 시험이 어려운 특수 유형보다 교과서·기본서의 표준 유형을 얼마나 정확하고 빠르게 처리하는가를 측정한 시험이었음을 안내드린다. 21.9점의 기본 문항과 48.5점의 중난도 문항, 합계 70점 구간에서 실수 없이 마무리하는 것이 안정적 성적의 조건이며, 고난도 6문항은 그 위에서 승부하는 영역이다. 학생들에게는 서답형 40점 중 서술 형식 자체에서 잃는 점수를 먼저 막아야 한다. 서답형1(1)은 그래프 작도가 채점 요소이고 서답형2(1)은 부분점수가 없으므로, ‘답만 쓰는 습관’은 즉시 교정이 필요하다. 다음 학습 사이클로는 4주 커리큘럼을 권장한다. ① 1주차 — 확률분포 정의·성질(E·V 변환, V=E(X²)-{E(X)}²) 및 이항분포 기본 40문항 속도 훈련, ② 2주차 — 표준화·정규근사 집중(합/평균 전환, npq로 σ 구하기) 30문항 + 표준정규분포표 읽기 정확도 점검, ③ 3주차 — 신뢰구간 역산형(구간 → x̄·n 복원)과 모비율 추정 세트, 조건부확률 다단계 수형도 훈련, ④ 4주차 — 고난도 경우 세기(6×6 표 활용)와 서답형 서술 첨삭 실전. 특히 서술형은 중간 과정 기술과 근거 문장이 부분점수를 좌우하므로, 다음 내신 대비에서는 답안 작성 첨삭을 별도 과정으로 편성할 필요가 있다.