선택형 18문항(65점)과 서답형 6문항(35점, 모두 서술형), 총 24문항 100점. 함수의 극한부터 도함수의 활용까지 다루었으며, ‘분모가 0으로 가는 극한’을 미분계수로 읽어 내는 발상이 여러 번호에 걸쳐 반복된 시험입니다.
서답형 6문항은 모두 서술형이며, 시험지 안내문에 풀이 과정과 답을 모두 채점하고 부분점수를 부여한다고 명시되어 있습니다. 난이도·행동영역은 본원 분석진의 문항 구조 분석에 따른 분류이며, 실제 정답률과는 다를 수 있습니다.
미분계수와 도함수, 함수의 극한 두 단원이 합쳐 64점으로 배점의 절반을 넘습니다.
추론 11문항이 50점으로 배점의 절반을 차지합니다. 대표 문항은 18번(4.5점)과 서답형6(7점)입니다.
이번 시험의 난도를 높이는 축
8·10·11·13·15번은 모두 “분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0으로 간다”에서 출발합니다. 이후 8·11·15번은 미분계수로, 10번은 유리화로, 13번은 인수분해로 이어집니다. 번호는 흩어져 있지만 5문항 18점이 같은 발상을 공유하는, 이번 시험의 관통 축입니다.
7번은 평균값 정리, 17번은 보기 하나마다 사잇값·롤·평균값 정리를 각각 요구하고, 서답형4는 사잇값 정리로 실근의 위치를 판정합니다. 정리의 결론보다 적용 조건(닫힌구간 연속·열린구간 미분가능)을 확인하는 습관이 필요합니다.
6번(기울기 주어짐) → 12번(두 곡선의 접선이 수직) → 서답형6(한 점에서 곡선에 그은 접선의 개수)으로 같은 주제가 난도를 높여 반복됩니다.
13번(유리함수), 15번(이차함수), 16번(일차함수), 서답형3(이차함수)은 극한·미분 조건으로 함수식을 먼저 확정해야 질문에 답할 수 있습니다.
문항 구성상 감점으로 이어지기 쉬운 함정
$x\to-1+$의 극한 2 대신 함숫값 $f(-1)=1$을 읽으면 ③, $x\to0-$일 때 $x+1\to1-$인데 우극한 1을 읽으면 ⑤가 됩니다. 치환한 변수의 방향(좌·우)을 먼저 적어야 합니다.
$(3+a)(2a+3)=-1$에서 $a=-2$와 $a=-\dfrac{5}{2}$가 함께 나옵니다. “$a$는 정수” 조건을 놓쳐 $a=-\dfrac{5}{2}$를 쓰면 $a+b+c=1$로 ④를 고르게 됩니다.
ㄴ $|x(x-2)^2|$는 $x=2$ 근처에서 안쪽이 0 이상이라 절댓값이 그대로 벗겨져 미분가능하고, ㄷ은 미분계수 $\lim_{h\to0}\sqrt{|h|}=0$이 존재합니다. 정답은 ㄱ뿐입니다.
$f(0)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$까지 구하고 $\alpha$를 더하지 않으면 ③, $\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$만 쓰면 ①이 됩니다. 묻는 값이 $\alpha+f(0)$임을 마지막에 다시 확인해야 합니다.
시험지가 직선 OP의 기울기, 점 M의 좌표, 직선 $l$의 방정식, 점 Q의 좌표를 반드시 쓰도록 지정했습니다. 답이 맞아도 네 요소 중 하나가 빠지면 부분점수에서 감점될 수 있습니다.
판별식이 0이면 접점이 하나 더 생겨 접선이 2개가 됩니다. 경계를 포함해 $-18\le k\le-2$로 쓰면 최댓값·최솟값이 모두 틀립니다.
난이도 상 6문항 중 배점이 높은 5문항(13번 제외) · 문항 원문 대신 소재와 조건의 요지만 소개합니다
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1~7번과 서답형1은 기본 개념·공식을 바로 적용하는 문항입니다. 극한값과 함숫값 구분(2번), 평균변화율 계산(4번) 같은 기본 절차를 시간 재고 반복해 정확도를 먼저 올립니다.
8·11·15번은 “분자 → 0, 극한값 = 미분계수” 두 줄을, 10·13번은 “분자 → 0” 뒤 유리화·인수분해로 이어 가는 흐름을 자동으로 쓰도록 유형별로 묶어 훈련합니다.
모든 서답형이 풀이 과정까지 채점됩니다. 서답형5처럼 필수 서술 요소가 지정된 문항을 골라, 각 단계의 근거(대입한 조건·사용한 정리)를 한 줄씩 남기는 답안 쓰기를 연습합니다.
17번은 정리의 적용 조건, 서답형6은 판별식이 0인 경계의 처리가 주의할 지점입니다. 정리를 쓸 때마다 조건을 적고, 부등식 답은 경계값을 넣어 직접 검산하는 습관을 들입니다.
전 24문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 함수의 극한 | $\frac{\infty}{\infty}$꼴 유리식의 극한 | 3 | 하 | 계산 | ② | 최고차항 계수비 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ |
| 2 | 함수의 극한 | 그래프에서 좌·우극한 읽기 | 3 | 하 | 이해 | ④ | $x+1=u$ 치환 → $\lim_{u\to1-}f(u)$, $2+0=2$ |
| 3 | 함수의 극한 | 부등식과 극한의 대소 관계 | 3.5 | 하 | 이해 | ① | $x$ 대신 $2x$ 대입 후 양변 $\div 2x^2$ → 10 |
| 4 | 미분계수와 도함수 | 평균변화율 = 미분계수 | 3.5 | 하 | 계산 | ② | 평균변화율 2, $f'(a)=2a-2=2$ |
| 5 | 미분계수와 도함수 | 도함수 계산과 미정계수 | 3.5 | 하 | 계산 | ② | $b=4$, $f'(1)=-2+a=4$ → $a=6$ |
| 6 | 도함수의 활용 | 기울기가 주어진 접선 | 3.5 | 하 | 계산 | ⑤ | $f'(x)=-2$ → 접점 $(4,8)$, $y=-2x+16$ |
| 7 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 3.5 | 하 | 계산 | ③ | $105=3(3a^2-4)$ → $a^2=13$ |
| 8 | 미분계수와 도함수 | 합성 꼴 극한과 미분계수 | 3.5 | 중 | 추론 | ⑤ | $f(4)=4$, $\{f(x^2)\}'=2xf'(x^2)$ → $f'(4)=3$ |
| 9 | 함수의 극한 | 극한의 성질 참·거짓 | 3.5 | 중 | 이해 | ③ | 반례 $f=x,\ g=\frac{1}{x}$ / $g=\frac{g}{f}\cdot f$ |
| 10 | 함수의 연속 | 무리식 함수의 연속 조건 | 3.5 | 중 | 추론 | ① | 분모→0이면 분자→0, 유리화 $\frac{1}{2\sqrt{4+a}}=\frac{1}{6}$ |
| 11 | 미분계수와 도함수 | 구간별 함수의 미분가능성 | 3.5 | 중 | 추론 | ③ | $f(1)=0$, $f'(1)=7$ → $b=7,\ c=-7,\ a=4$ |
| 12 | 도함수의 활용 | 두 곡선의 수직인 접선 | 3.5 | 중 | 문제해결 | ⑤ | $b=3$, $(3+a)(2a+3)=-1$, 정수 조건 $a=-2$ |
| 13 | 함수의 극한 | 극한 조건으로 유리함수 결정 + 최대·최소 | 3.5 | 상 | 추론 | ④ | $f(x)=\frac{3x+1}{x+1}$, 구간 $[2,4]$ 차 $\frac{4}{15}$ |
| 14 | 미분계수와 도함수 | 절댓값 함수의 미분가능성 | 3.5 | 중 | 이해 | ① | 좌·우 미분계수 비교: ㄱ만 $-4\ne4$ |
| 15 | 미분계수와 도함수 | 극한과 미분계수로 이차함수 결정 | 4 | 중 | 추론 | ④ | $f(2)=\frac{3}{4}$, $3+4f'(2)=7$ |
| 16 | 함수의 극한 | $\infty-\infty$꼴 극한과 다항함수 결정 | 4 | 상 | 추론 | ④ | $f(x)=\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\alpha=\frac{\sqrt{3}}{9}$ |
| 17 | 도함수의 활용 | 사잇값·롤·평균값 정리 판정 | 4.5 | 상 | 추론 | ⑤ | $f(1)=0$ 도출 후 $g(-1)=g(1)=0$, $g(0)=-3,\ g(2)=3,\ g(3)=0$ |
| 18 | 함수의 연속 | $|f(x)|$의 연속과 교점 개수 극한 | 4.5 | 상 | 추론 | ③ | $a\in\{1,3\},\ b\in\{0,2\}$ → (나)로 $a=3,\ b=2$ |
| 서답형1 | 함수의 극한 | 치환을 이용한 극한 | 5 | 하 | 계산 | 1/2 | $x-2=t$, $\frac{f(t)}{t}\cdot\frac{1}{t+6}\to\frac{3}{6}$ |
| 서답형2 | 미분계수와 도함수 | 곱의 미분법과 연립방정식 | 5 | 중 | 계산 | 16 | $-2a+b=-12,\ 5a+b=23$ → $a=5,\ b=-2$ |
| 서답형3 | 미분계수와 도함수 | 도함수 항등식으로 다항함수 결정 | 6 | 중 | 추론 | 14 | 차수 비교 $n+1=3$ → 이차, 계수비교 $f(x)=x^2+x+8$ |
| 서답형4 | 함수의 연속 | 사잇값 정리와 실근의 위치 | 6 | 중 | 추론 | 77 | $g(2)\lt 0\lt g(3)$ → $7\lt n\lt 15$, $8+\cdots+14$ |
| 서답형5 | 함수의 극한 | 도형의 넓이와 극한 | 6 | 상 | 문제해결 | 3/16 | $Q\left(\frac{t}{2}+1,0\right)$, $S=\frac{1}{4}(t+2)\sqrt{\frac{t}{2}}$ |
| 서답형6 | 도함수의 활용 | 한 점에서 곡선에 그은 접선의 개수 | 7 | 상 | 추론 | 최댓값 -3, 최솟값 -17 | $s\{2s^2-(6-k)s-4k\}=0$, 판별식 $\lt 0$ → $-18\lt k\lt -2$ |
이번 시험을 가정에서 어떻게 읽으면 좋은지 정리했습니다.
극한과 미분의 개념을 서로 연결하는 힘을 묻는 시험이었습니다. 기본 개념·공식을 바로 적용하는 하 8문항 28.5점 외에, 배점의 절반인 50점이 조건을 연결해 결론을 끌어내는 추론 11문항에 걸려 있습니다.
틀린 문항이 ① 하 문항(1~7번·서답형1)인지, ② 중 문항(8~12·14·15번, 서답형2~4)인지, ③ 상 문항(13·16·17·18번, 서답형5·6)인지 나누어 보시면 다음 공부의 방향이 분명해집니다. 서술형은 답이 맞아도 과정에서 감점될 수 있으니, 채점된 답안의 부분점수도 함께 확인해 주세요.
틀린 문제를 다시 풀 때 답보다 첫 줄을 말로 설명해 보게 해 주세요(예: “분모가 0으로 가는데 극한값이 있으니까 분자도 0”). 풀이를 소리 내어 설명할 수 있어야 서술형 답안에도 근거가 남습니다.
하·중 문항의 정확도 → 서술형 풀이 과정 쓰기 → 정리와 판별식의 조건·경계 확인 순서로 준비하기를 권합니다. 자녀별 구체적인 학습 계획은 담당 선생님 상담에서 함께 정하실 수 있습니다.
운암고등학교 2학년 2학기 미적분Ⅰ 중간고사는 선택형 18문항 65점, 서답형 6문항 35점(모두 서술형)으로 총 24문항 100점입니다. 단원별 배점은 미분계수와 도함수 32.5점, 함수의 극한 31.5점, 도함수의 활용 22점, 함수의 연속 14점 순이며, 함수의 극한과 미분계수와 도함수 두 단원이 64점을 차지합니다. 난이도는 하 8문항 28.5점, 중 10문항 42점, 상 6문항 29.5점이고, 상 문항이 13번과 16~18번, 서답형5·6에 몰려 있어 앞에서 기본을 확인하고 뒤에서 난도를 높이는 배치가 뚜렷합니다.
출제의 관통 축은 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0으로 간다는 조건입니다. 8번, 10번, 11번, 13번, 15번, 5문항 18점이 이 조건에서 출발해 미분계수(8·11·15번)나 유리화·인수분해(10·13번)로 이어집니다. 두 번째 축은 사잇값·롤·평균값 정리로, 7번(3.5점)·17번(4.5점)·서답형4(6점)에 걸쳐 있습니다. 최고배점 서답형6(7점)은 한 점에서 곡선에 그은 접선의 개수를 판별식 부등식으로 바꾸고, 판별식이 0인 경계까지 걸러 내야 하는 문항입니다. 결국 이 시험은 공식을 아는지보다 조건을 어떤 식으로 바꿀지 판단하는 힘을 측정했습니다.
쉽게 말씀드리면, 이번 시험은 계산을 빨리 하는 시험보다 문제의 조건을 수학 식으로 번역하는 시험에 가깝습니다. 배점의 절반인 50점이 조건을 연결해 결론을 끌어내는 추론 문항에 걸려 있고, 서답형 35점은 시험지 안내문에 풀이 과정과 답을 모두 채점하고 부분점수를 부여한다고 명시되어 있어 답이 맞아도 근거가 빠지면 감점될 수 있습니다. 특히 서답형5는 직선의 기울기, 중점의 좌표, 직선의 방정식, 교점의 좌표를 반드시 쓰도록 지정했습니다. 따라서 문항 구성상 조건 해석력과 서술력에 큰 배점이 걸린 시험으로 보는 것이 적절합니다.