선택형 15문항 60점 + 서답형 6문항 40점, 총 21문항 100점. 1~7번을 통계, 8~15번을 삼각비로 갈라 배치했고 서답형도 통계 3 · 삼각비 3으로 균등 분배했다. 삼각비의 활용 31점이 최대 비중이며, 결과값에서 미지수를 되짚는 역추적형 5문항 26점이 시험 전체를 관통한다.
서답형이 총점의 40%를 차지해 풀이 과정 서술이 등급을 가른다. 중난도 9문항 46점이 중심축.
통계 3개 중단원 48점 + 삼각비 2개 중단원 52점. 삼각비 쪽이 근소하게 무겁지만 사실상 반반 설계다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
3번(4점, 편차 → 평균), 4번(4점, 두 중앙값 조건 → a·b), 5번(5점, 평균·분산 → 직육면체 부피), 서답형1(6점, 평균 = 중앙값 → x), 서답형3(7점, 분산 → 양수 a)이 같은 발상을 공유한다. 대푯값·산포도를 "구하는 공식"이 아니라 "세우는 방정식"으로 다뤄야 풀린다.
9번(4점)은 A에서 BC에 수선을 내려 30°·60° 두 조각으로 나누고, 12번(4점)은 대각선 AC로 사각형을 직각이등변삼각형 + 60° 삼각형으로 분리한다. 서답형6(8점, 최고배점)은 그림2의 30-60-90 삼각형에서 높이를 구한 뒤, 이등변삼각형을 두 번 덧붙여 15°를 인위적으로 만들어야 한다.
13번(4점)은 사분원에서 a°는 원점, b°는 점 B, c°는 점 D에 배치해 같은 길이가 어느 각의 어떤 삼각비인지 헷갈리게 만든다. 서답형4(6점)는 ∠B = 90°에서 sin A만 주고 ∠C의 세 삼각비를 모두 요구해, sin A = cos C · cos A = sin C의 여각 관계를 알고 있어야 한다.
6번(4점)은 산점도 모양 → 상관관계 → 실생활 사례로 두 번 번역해야 하고, 7번(4점)은 점 20개를 좌표별로 세어 다섯 선택지의 인원·비율을 모두 확인해야 한다. 서답형5(6점)는 주어진 삼각비 표에서 cos 46° = 0.69를 골라 읽어야 하며 sin·tan 열을 잘못 짚으면 전부 어긋난다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
자료가 12, 11, 6, 7, 31, 15, 16, 9, 7, 6 순으로 뒤섞여 제시된다. 그대로 5·6번째를 취하면 (31+15)/2 = 23이 나와 ③을 고르게 된다. 반드시 오름차순 정렬 후 6, 6, 7, 7, 9, 11, 12, 15, 16, 31의 5·6번째 평균 10을 취해야 하고, 평균 12와 더해 22가 정답이다.
직육면체의 모서리는 2, a, b가 각각 4개씩 12개다. 평균 조건은 (2+a+b)/3 = 4로 같지만, 분산은 반드시 12개 전체로 계산해야 한다. 또 a+b = 10, (a−4)²+(b−4)² = 4에서 곱이 0이 되어 {a, b} = {4, 6}으로 확정되는데, 이를 놓치고 임의의 값을 넣으면 32(②) 같은 오답으로 빠진다. 정답은 2×4×6 = 48.
합이 15 이상인 선수는 15를 포함해 13명이라 ④는 옳다. 반면 합이 13 이하인 선수는 (6,7)·(5,6)·(6,6)·(6,5)·(7,5)의 5명으로 비율은 5/20 = 1/4다. ⑤가 1/5이라고 해 틀린 설명이 된다. 합이 정확히 14인 (8,6)·(9,5) 두 점을 어느 쪽에도 넣지 않는 것이 핵심.
b°는 직각삼각형 OAB에서 점 B의 각이므로 b° = 90° − a°다. 따라서 cos b° = AB = OE(ㄷ, 참)이고 sin b° = OA이지 AB가 아니다(ㄴ, 거짓). b°를 원점의 각으로 착각하면 ㄴ을 참으로 보고 ③을 고른다. ㅁ도 OF = tan a°인데 tan c° = 1/tan a°라 거짓. 정답은 ㄷ·ㄹ의 ⑤.
평균이 6이므로 분산식은 (a−6)²+(a+2)² = 64 → a²−4a−12 = 0 → (a−6)(a+2) = 0. 근은 6과 −2 두 개지만 문제가 양수 a를 요구하므로 답은 6뿐이다. 두 근을 모두 적거나 −2를 답하면 감점된다. 조건 문장의 '양수'를 답안에 명시적으로 인용하며 근을 버리는 서술이 안전하다.
묻는 것은 A가 최저점 B보다 얼마나 더 높은지이므로 2 − 2cos46°를 구해야 한다. 2cos46° = 1.38이나 2sin46° = 1.44를 그대로 답하면 오답. 표에서 cos 열의 0.69를 읽어 2 − 1.38 = 0.62 m가 정답이며, 소수 둘째 자리까지 요구했으므로 단위 m와 자릿수를 맞춰 적어야 한다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
9·11·12·15·서답형5·서답형6 여섯 문항이 31점이다. "두 변과 낀 각 → 넓이 = ½ab sin C", "높이를 미지수로 두고 두 직각삼각형에서 두 번 표현", "실생활 그림 → 직각삼각형 추출" 세 패턴을 유형별로 각 10문항씩 손으로 그려 가며 반복한다. 특히 15번·서답형6처럼 각이 45°·60°·75°로 주어지면 tan 값을 먼저 특수각으로 환산하는 습관을 들인다.
3·4·5번과 서답형1·3은 모두 "결과가 주어지고 자료를 복원"한다. 편차의 합 = 0, (편차)²의 평균 = 분산, 중앙값은 정렬 후 가운데 — 이 세 정의를 미지수가 포함된 식으로 바로 세우는 훈련이 필요하다. 미지수가 중앙값 위치에 끼어드는 4번·서답형1 유형은 "미지수의 크기 범위를 가정 → 식 세우기 → 가정 검증"의 3단 서술을 정형화해 둔다.
시험지가 "풀이 과정을 반드시 쓸 것"을 명시했으므로 답만 맞아서는 만점이 나오지 않는다. ⓐ 주어진 조건을 식으로 옮긴 줄, ⓑ 계산 과정, ⓒ 조건 검증(양수·정렬·단위), ⓓ 결론 문장의 4단 구조를 고정한다. 서답형2처럼 평균·중앙값·최빈값 세 값을 요구하면 세 값을 각각 줄을 바꿔 단위(분)와 함께 적어 부분점수를 최대한 확보한다.
6·7번과 서답형5는 개념 난도는 낮지만 잘못 읽으면 통째로 날아간다. 산점도는 y = x 대각선과 합이 15·13인 사선을 실제로 그어 개수를 표시하고, 삼각비 표는 필요한 각의 행과 sin·cos·tan 열의 교차점에 동그라미를 친 뒤 계산한다. 7번은 선택지 5개를 모두 검증해야 하므로 시험 시간의 뒤쪽으로 미루고, 앞의 1~5번을 12분 안에 끝내 여유를 만든다.
전 21문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 대푯값 | 독서 권수 10개의 평균 a와 중앙값 b, a+b | 4 | 하 | ② | 합 120 → 평균 12. 정렬 후 5·6번째 (9+11)/2 = 10. 12+10 = 22 |
| 2 | 대푯값 | 중앙값과 최빈값이 같은 자료 고르기 | 3 | 하 | ④ | ④ 3,4,4,4,7,10 → 중앙값 (4+4)/2 = 4, 최빈값 4로 일치 |
| 3 | 산포도 | 빵 5개의 편차표에서 전체 평균 구하기 | 4 | 하 | ⑤ | 편차의 합 = 0 → B의 편차 −2. 평균 = 62 − (−2) = 64 g |
| 4 | 대푯값 | 두 자료의 중앙값 조건(8, 10)에서 b−a | 4 | 중 | ③ | a·b의 위치를 케이스로 나눠 a = 8, b = 11 확정 → b−a = 3 |
| 5 | 산포도 | 모서리 12개의 평균 4·분산 8/3 → 직육면체 부피 | 5 | 상 | ④ | a+b = 10, (a−4)²+(b−4)² = 4 → 곱 0 → {4, 6}. 부피 2·4·6 = 48 |
| 6 | 상관관계 | 음의 상관 산점도에 해당하는 사례 고르기 | 4 | 하 | ③ | ㄴ 겨울 기온↔난방비, ㄷ 높이↔산소량이 음의 상관. ㄱ·ㄹ은 양의 상관 |
| 7 | 상관관계 | 홈런 산점도 20개 점 해석 중 옳지 않은 것 | 4 | 중 | ⑤ | 합 13 이하는 5명 → 5/20 = 1/4. ⑤의 1/5이 오류(①2명 ②2명 ③20% ④13명은 참) |
| 8 | 삼각비의 뜻과 값 | ∠C = 90°, AC = 3, BC = 4에서 cos B | 3 | 하 | ③ | AB = 5. cos B = BC/AB = 4/5 |
| 9 | 삼각비의 활용 | ∠A = 60°, AB = 4, AC = 6일 때 BC | 4 | 중 | ③ | B에서 AC에 수선 → BC² = 16+36−2·4·6·½ = 28 → BC = 2√7 |
| 10 | 삼각비의 뜻과 값 | sin60°×tan30°+cos0°의 값 | 4 | 하 | ④ | (√3/2)(1/√3) + 1 = ½ + 1 = 3/2 |
| 11 | 삼각비의 활용 | AB = 3, BC = 2, ∠B = 30°인 삼각형의 넓이 | 4 | 하 | ① | ½·3·2·sin30° = 3·½ = 3/2 |
| 12 | 삼각비의 활용 | 대각선 AC로 나눈 사각형 ABCD의 넓이 | 4 | 중 | ② | ∠B = 90°·∠ACB = 45° → 직각이등변, AC = 2√2, 넓이 2. △ACD = ½·1·2√2·sin60° = √6/2. 합 2 + √6/2 |
| 13 | 삼각비의 뜻과 값 | 반지름 1인 사분원에서 세 각 a·b·c의 삼각비 | 4 | 상 | ⑤ | OA = cos a°, AB = OE = sin a°, b° = 90°−a°이므로 cos b° = OE(ㄷ). c° = 90°−a°이므로 sin c° = OA(ㄹ) |
| 14 | 삼각비의 뜻과 값 | 내각비 1:2:4:5에서 두 번째로 작은 각 A의 삼각비 곱 | 4 | 중 | ④ | 360÷12 = 30 → 30·60·120·150. A = 60°. sin60°·cos30°·tan60° = (√3/2)(√3/2)√3 = 3√3/4 |
| 15 | 삼각비의 활용 | 헬기 부각 45°→75°, 정상 상공까지 남은 시간 | 5 | 상 | ① | 높이 h일 때 수평거리 h와 h/tan75°. 2분에 h(1−1/tan75°) 이동 → 남은 시간 2/(tan75°−1) = 2/(1+√3) = √3−1(분) |
| 서답형1 | 대푯값 | 8개 변량에서 평균 = 중앙값이 되는 x | 6 | 중 | x = 9 | (71+x)/8 = (x+11)/2 → 71+x = 4x+44 → x = 9. 7 ≤ 9 ≤ 11이므로 정렬 순서 유지 확인 |
| 서답형2 | 대푯값 | 통학 시간 줄기와 잎 그림의 평균·중앙값·최빈값 | 7 | 중 | 20분 / 22.5분 / 24분 | 6,7,15,19,21,24,24,26,27,31. 합 200 → 평균 20분. 5·6번째 (21+24)/2 = 22.5분. 두 번 나온 24분이 최빈값 |
| 서답형3 | 산포도 | 6, 9, 11, a, 4−a의 분산이 19.6일 때 양수 a | 7 | 중 | a = 6 | 합 30 → 평균 6. (a−6)²+(a+2)² = 64 → a²−4a−12 = 0 → a = 6 또는 −2. 양수 조건으로 6 |
| 서답형4 | 삼각비의 뜻과 값 | ∠B = 90°, sinA = √6/3일 때 ∠C의 삼각비 | 6 | 하 | √3/3, √6/3, √2/2 | 여각 관계로 sinC = cosA = √3/3, cosC = sinA = √6/3, tanC = √3/√6 = √2/2 |
| 서답형5 | 삼각비의 활용 | 줄 길이 2 m 그네가 46° 흔들릴 때 최저점과의 높이 차 | 6 | 중 | 0.62 m | 높이 차 = 2 − 2cos46°. 표에서 cos46° = 0.69 → 2 − 1.38 = 0.62 m |
| 서답형6 | 삼각비의 활용 | 부러진 나무의 원래 높이와 tan15° | 8 | 상 | 2+√3 m, 2−√3 | BC = 1, ∠C = 60° → AB = √3, AC = 2. 높이 = √3+2. CD = CA = 2로 30°를, DE = DA = 2√3으로 15°를 만들어 tan15° = √3/(3+2√3) = 2−√3 |
2022학년도 운암중학교 3학년 2학기 1차지필(중간)고사 수학은 선택형 15문항 60점과 서답형 6문항 40점을 합쳐 총 21문항 100점으로 구성됐다. 서답형이 배점의 40%를 차지해 답만으로는 결코 만점에 닿지 않는 구조다. 단원별 배점은 삼각비의 활용 31점(6문항)이 가장 크고 대푯값 24점(5문항), 삼각비의 뜻과 값 21점(5문항), 산포도 16점(3문항), 상관관계 8점(2문항)이 뒤를 잇는다. 난이도는 상 4문항 22점, 중 9문항 46점, 하 8문항 32점으로, 중난도가 절반에 육박하는 완만한 계단형 배분이다. 1~7번을 통계로, 8~15번을 삼각비로 가른 뒤 서답형에도 통계 3문항·삼각비 3문항을 정확히 나눠 담은 배치에서, 두 영역 중 어느 한쪽만 준비한 학생을 걸러 내려는 설계 의도가 그대로 읽힌다.
이 시험을 관통하는 축은 결과값에서 원자료를 되짚는 역추적형이다. 3번(4점, 편차 → 평균), 4번(4점, 두 중앙값 조건 → a·b), 5번(5점, 평균·분산 → 직육면체 부피), 서답형1(6점, 평균 = 중앙값 → x), 서답형3(7점, 분산 → 양수 a) 다섯 문항이 합계 26점으로 총점의 4분의 1을 이룬다. 공식을 외워 대입하는 방향이 아니라, 정의식을 미지수가 든 방정식으로 옮긴 뒤 되풀어야 답이 나온다. 최고배점인 서답형6(8점)은 부러진 나무를 30-60-90 삼각형으로 환원해 높이 2+√3을 얻은 다음, 이등변삼각형을 두 번 덧붙여 15°를 인위적으로 만들어 tan15° = 2−√3까지 유도하는 2단 구조다. 15번(5점)도 부각 45°와 75° 사이의 이동거리를 비로 환산해야 하고, 13번(4점)은 하나의 사분원에 세 각을 흩어 놓아 삼각비의 정의 자체를 되묻는다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 조건을 식으로 옮기고 그림을 스스로 확장하는 힘이다.
쉽게 말하면 이번 시험은 "답을 아는가"보다 "왜 그 답인지를 적을 수 있는가"를 물었다. 서답형 안내문이 "풀이 과정을 반드시 쓸 것"이라고 못 박았으므로, 결과가 맞아도 과정이 비면 40점 구간에서 큰 실점이 발생한다. 서답형2(7점)처럼 평균·중앙값·최빈값 세 값을 한 문항에서 모두 요구하는 형태는 하나만 어긋나도 부분 감점이 이어지고, 서답형3(7점)은 근 두 개 중 양수만 남기는 조건 검증까지 서술해야 온전한 점수가 된다. 따라서 실점의 원인은 대개 계산력보다 조건 독해력과 서술력에 있다. 7번처럼 점 20개를 일일이 세어 다섯 선택지를 검증해야 하는 문항, 서답형5처럼 표에서 cos46° = 0.69를 정확히 짚어야 하는 문항에서는 꼼꼼함 그 자체가 곧 점수다.