전 22문항 100점. 통계(대푯값·산포도) 30점과 삼각비 70점의 3:7 구도로, 삼각비 단원에 배점이 몰려 있다. 5점 이상 고배점 8문항이 모두 「역추적 계산」과 「보조선으로 직각삼각형 분해」 두 축 위에 놓여 있어, 공식 암기보다 조건을 거꾸로 밟아 올라가는 힘이 등급을 가른다.
선택형 16문항(3~5점) + 서답형 6문항(5~7점) 구성. 서답형이 총점의 35%를 차지해 서술·계산 완주력이 곧 점수다.
삼각비 두 단원이 70점(15문항)으로 전체의 7할. 통계는 30점(7문항)으로 기본기 확인 성격이 강하다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
3번(평균=중앙값 → x), 15번(넓이 25/4 → 정사각형 한 변), 서답형1(평균 1 → x), 서답형2(분산 10 → 5명의 분산), 서답형6(sinx°=1/3 → tany°)이 모두 「답이 먼저 주어지고 조건을 역산」하는 구조다. 27점, 총점의 4분의 1이 이 한 발상에 묶여 있다.
11·12번은 이미 그어진 수선의 발이 만든 각이 원래 각과 같음을 알아채야 풀리고, 14번·16번·서답형5는 스스로 수선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 쪼개야 한다. 그림이 다르게 생겼을 뿐 요구하는 동작은 하나다.
8번(사분원), 11번(직각삼각형 속 수선), 12번(∠BAE = 90°−∠C)은 계산량이 거의 없다. 대신 그림에서 x와 y가 가리키는 각을 정확히 짚고, 그 각이 속한 직각삼각형을 골라내지 못하면 통째로 틀린다. 11번은 sinx+cosy가 두 값 모두 3/5로 같아진다는 점이 함정이자 확인 장치다.
서답형3(5점)은 모선 10cm와 30°에서 반지름 5√3과 높이 5를 각각 삼각비로 뽑아낸 뒤 원뿔 부피 공식에 넣어야 하고, 서답형4(6점)는 대각선 BD로 사각형을 두 삼각형으로 나눠 S = ½absinC를 두 번 적용한다. 삼각비 단독이 아니라 이전 학년의 도형 공식과 결합된다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
4·10·8·12를 정렬하지 않고 그대로 가운데 두 값을 잡으면 9가 아닌 값이 나온다. 짝수 개면 정렬 후 가운데 두 값의 평균(8과 10의 평균 = 9)이다. 정렬 습관 하나로 3점이 갈린다.
보기 ㄴ은 2반 평균이 가장 높다는 이유로 참으로 오인하기 쉽다. 평균·표준편차는 집단의 성질이지 개별 최댓값을 알려주지 않는다. ㄱ·ㄷ·ㄹ만 참이므로 정답은 ⑤.
반지름 1이므로 sinx=BC, cosx=AB는 맞다. y는 점 C에서의 각이라 cosy = BC이지 AB가 아니다(siny가 AB). 옳은 것을 고르는 습관으로 ⑤를 찍으면 실점한다.
DE⊥AC이므로 삼각형 DEC에서 cos C = 4/6 = 2/3이다. 그러나 묻는 각은 ∠BAE = 90°−∠C이므로 cosx° = sin C = √5/3. 각을 바꾸지 않고 2/3(①)을 쓰면 오답이다.
제외되는 값이 정확히 평균 75점이라 남은 5명의 평균도 그대로 75점이고 편차제곱합도 60에서 줄지 않는다. 분산 = 60÷5 = 12. 「10에서 조금 줄겠지」라는 감각으로 답하면 전부 틀린다.
tany° = tan(∠BAC) − tanx°로 쓰면 오답이다. sinx°=1/3에서 AD=9, AC=6√2를 먼저 구하고, 좌표나 tan 덧셈정리에 준하는 분해로 tany° = √2/5를 얻어야 한다. 7점 최고배점이 여기서 갈린다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
1·2·4·6·7·13번과 서답형1은 정의 대입과 특수각 표만으로 끝나는 27점이다. 여기서 한 문항이라도 흘리면 상위권 경쟁에서 사실상 회복이 불가능하다. 30°·45°·60°의 sin·cos·tan 9개 값을 표 없이 3초 안에 쓰는 훈련과, 음수가 섞인 자료의 합 계산(서답형1: 2−3−1+5+6−4+x=7)을 반복한다.
최다 배점 단원이자 5점 이상 고배점 6문항이 몰린 구간이다. 직각이 없는 삼각형 문제(14·16번, 서답형5)는 예외 없이 한 꼭짓점에서 대변에 수선을 내려 높이를 공통 문자로 잡으면 풀린다. 같은 그림을 각도만 바꿔(30·45 / 45·60 / 30·60) 세 번씩 다시 푸는 방식으로 손에 붙인다.
서답형 6문항은 5·6·7점의 고배점이고, 특히 서답형2·4·6은 중간량(편차제곱합 60, 대각선 BD=4√3, AD=9·AC=6√2)을 경유해야 한다. 이 중간량을 답안에 명시적으로 적어두면 최종 계산이 틀려도 부분점수를 확보할 여지가 생긴다. 답만 덜렁 쓰는 답안 습관부터 고친다.
3번·15번·서답형1·2·6이 모두 결과에서 조건을 되짚는다. 평균→합, 분산→편차제곱합, 넓이→변의 길이, 삼각비 값→변의 길이라는 네 개의 역방향 통로를 카드로 만들어 외운다. 문제를 읽자마자 「무엇이 주어졌고 무엇을 되짚어야 하는가」를 한 줄로 적는 연습이 실전 시간을 가장 크게 줄인다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 대푯값 | 4개 자료의 중앙값 | 3 | 하 | ③ | 정렬 4·8·10·12 → 가운데 두 값 평균 (8+10)/2 = 9 |
| 2 | 대푯값 | 7개 자료의 최빈값 | 4 | 하 | ② | 도수 집계 — 22가 3회로 최다(24는 2회) → 22 |
| 3 | 대푯값 | 평균 = 중앙값 조건에서 x 역산 | 4 | 중 | ① | 정렬돼 있으므로 중앙값 = x. (20+x)/5 = x → x = 5 |
| 4 | 산포도 | 5개 자료의 분산 | 4 | 하 | ④ | 평균 5 → 편차 1,0,3,−3,−1 → 제곱합 20 → 20÷5 = 4 |
| 5 | 산포도 | 세 반 평균·표준편차 해석 <보기> 판별 | 4 | 중 | ⑤ | ㄱ(SD 3 최대) ㄷ(SD 1<3) ㄹ(평균 8>5) 참 / ㄴ은 개별 최댓값이라 판단 불가 |
| 6 | 삼각비 뜻·값 | cos60° + tan45° | 3 | 하 | ③ | 1/2 + 1 = 3/2 — 특수각 값 직접 대입 |
| 7 | 삼각비 뜻·값 | ∠B=90°, ∠A=60°, AC=4에서 AB | 4 | 하 | ① | AB는 ∠A의 인접변 → AB = AC·cos60° = 4×1/2 = 2 |
| 8 | 삼각비 뜻·값 | 반지름 1 사분원에서 삼각비의 선분 표현 (옳지 않은 것) | 4 | 중 | ④ | AC=AD=1이므로 sinx=BC, cosx=AB, tanx=DE. y=∠ACB=90°−x이므로 cosy=BC (AB 아님) |
| 9 | 삼각비 활용 | 직각삼각형 두 개를 BC로 연결해 BD 구하기 | 4 | 중 | ⑤ | BC = 2√3·tan60° = 6 → 45° 직각이등변에서 BD = 6√2 cm |
| 10 | 삼각비 뜻·값 | 내각의 비 1:2:3에서 sinA×cosA | 4 | 중 | ② | 세 각 30·60·90 → 두 번째로 큰 각 A=60° → (√3/2)(1/2) = √3/4 |
| 11 | 삼각비 뜻·값 | 수선의 발이 나눈 두 각의 sinx+cosy | 4 | 중 | ⑤ | AB=3, BC=4, AC=5. x=∠C, y=∠A와 대응 → 3/5 + 3/5 = 6/5 |
| 12 | 삼각비 뜻·값 | DE⊥AC, ∠BAE=x°일 때 cosx° | 4 | 중 | ④ | △DEC에서 cos C = 4/6 = 2/3 → x=90°−C → cosx° = sin C = √5/3 |
| 13 | 삼각비 뜻·값 | sin90°÷tan45° + tan30°×sin60° | 4 | 하 | ① | 1÷1 + (√3/3)(√3/2) = 1 + 1/2 = 3/2 — 곱셈·나눗셈 우선순위 주의 |
| 14 | 삼각비 활용 | ∠B=45°, ∠C=60°, AB=4일 때 BC | 5 | 상 | ② | A에서 BC에 수선 AH. BH = 4cos45° = 2√2, AH = 2√2 → CH = AH/tan60° = 2√6/3 → BC = 2√2 + 2√6/3 |
| 15 | 삼각비 활용 | 정사각형 속 이등변삼각형 넓이 25/4에서 한 변 역산 | 5 | 상 | ③ | ½·BE²·sin30° = 25/4 → BE = 5. ∠ABE = (90°−30°)/2 = 30° → AB = 5cos30° = 5√3/2 |
| 16 | 삼각비 활용 | 등대 측량 — ∠B=45°, ∠C=75°, BC=60m에서 AC | 5 | 상 | ④ | ∠A = 60°. C에서 AB에 수선을 내려 분해 → AC = 60·sin45°/sin60° = 20√6 m |
| 서답형1 | 대푯값 | 7개 자료의 평균이 1일 때 x | 5 | 하 | 2 | 합 = 7×1 = 7. 2−3−1+5+6−4 = 5 → x = 2 (음수 부호 누락 주의) |
| 서답형2 | 산포도 | 6명 평균 75·분산 10에서 75점 1명 제외 후 5명의 분산 | 6 | 상 | 12 | 편차제곱합 = 6×10 = 60. 제외값이 평균과 같아 남은 평균도 75, 제곱합도 60 유지 → 60÷5 = 12 |
| 서답형3 | 삼각비 활용 | 모선 10cm, 밑면과 30°인 원뿔의 부피 | 5 | 중 | 125π cm³ | r = 10cos30° = 5√3, h = 10sin30° = 5 → ⅓π(75)(5) = 125π |
| 서답형4 | 삼각비 활용 | □ABCD의 넓이 (∠A=120°, ∠C=60°) | 6 | 상 | 16√3 cm² | 대각선 BD로 분할. △ABD = ½·4·4·sin120° = 4√3, △BCD = ½·(4√3)²·sin60° = 12√3 → 합 16√3 (BD=4√3로 상호검산) |
| 서답형5 | 삼각비 활용 | 40m 떨어진 두 지점에서 30°·45°로 본 섬의 h | 6 | 중 | (20√3 − 20) m | AD = h/tan30° = √3h, DB = h. √3h + h = 40 → h = 20(√3−1) ≒ 14.6 |
| 서답형6 | 삼각비 뜻·값 | BD=CD=3, sinx°=1/3일 때 tany° | 7 | 상 | √2/5 | △ADC에서 3/AD = 1/3 → AD = 9, AC = 6√2. tan∠BAC = 1/√2, tanx° = 1/(2√2) → 차의 탄젠트로 tany° = √2/5 |
2024학년도 운암중학교 3학년 2학기 1차지필고사 수학은 선택형 16문항 65점과 서답형 6문항 35점, 모두 22문항 100점 구성이다. 단원 배점은 삼각비의 활용 36점(7문항), 삼각비의 뜻과 값 34점(8문항), 대푯값 16점(4문항), 산포도 14점(3문항) 순으로, 통계 30점과 삼각비 70점이 정확히 3:7을 이룬다. 난이도는 하 7문항 27점, 중 9문항 39점, 상 6문항 34점으로 중간층이 가장 두텁다. 눈여겨볼 배치는 상급 34점 가운데 19점이 서답형2·4·6에 몰려 있다는 점이다. 앞쪽 선택형에서 기본기를 확인하고 뒤쪽 서답형에서 상위권을 갈라내겠다는 설계가 문항 순서에 그대로 드러난다.
번호가 떨어져 있어도 같은 발상을 공유하는 축이 둘 있다. 첫째는 역추적형 5문항 27점이다. 3번(4점) 평균=중앙값에서 x 역산, 15번(5점) 넓이 25/4에서 정사각형 한 변, 서답형1(5점) 평균에서 자료값, 서답형2(6점) 분산에서 편차제곱합, 서답형6(7점, 최고배점) 삼각비 값에서 변의 길이가 모두 「결과 → 조건」 방향이다. 둘째는 보조선으로 직각삼각형을 만드는 계열 5문항 24점으로, 11·12번(각 4점)은 이미 그어진 수선의 발이 만든 각 대응을 읽어야 하고 14번·16번(각 5점)과 서답형5(6점)는 수선을 스스로 그어야 한다. 최고배점 서답형6(7점)은 sinx°=1/3에서 AD=9와 AC=6√2를 순차로 확보한 뒤 두 각의 차를 처리하는 3단 과정을 요구한다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식의 보유량이 아니라 조건을 역방향으로 밟으며 중간량을 만들어내는 힘이다.
학부모께 한마디로 옮기면, 이번 시험은 「공식을 아느냐」가 아니라 「어디서부터 손을 대느냐」를 묻는 시험이었다. 문제에 답의 일부가 먼저 주어지고 거꾸로 풀어 올라가야 하는 문항이 27점, 그림에 없는 선을 학생이 직접 그어야 하는 문항이 24점이다. 서답형이 35점으로 3분의 1을 넘고 최고배점이 7점(서답형6)이므로, 계산 한 줄을 건너뛰어 답만 적은 답안은 맞아도 위험하고 틀리면 전부 잃는다. 따라서 실점 원인을 찾을 때는 계산 실수부터 의심하지 마시고, 조건 해석과 풀이 과정 서술 두 곳을 먼저 확인하시는 편이 정확하다. 기본 27점 구간에서 흘린 점수가 있다면 그것은 개념이 아니라 정렬·부호 같은 절차 습관의 문제다.