선택형 16문항 60점 + 서답형 4문항 40점, 총 20문항 100점. 도형 두 단원(사각형의 성질 37점 · 삼각형의 외심과 내심 32점)이 69점을 차지하고, 결과 수치를 주고 미지수를 되짚게 하는 역추적형 4문항 35점이 변별을 만든다.
서답형 4문항이 전체 배점의 40%를 가져가고, 난이도 '상' 6문항이 41점을 차지하는 상위 변별형 구성
도형 3개 단원이 79점(79%), 일차함수가 21점(21%). 특히 사각형의 성질과 외심·내심 두 단원만으로 69점이 결정된다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
서답형1(10점)은 넓이 18 → 높이 → 상수 a=1, b=−2, 서답형3(12점)은 △BCE=33 → 평행사변형 132 → 높이 12 → BD=20, 서답형4(8점)는 △BOC=48 → OD=6 → 반지름 10, 15번(5점)은 등적 성질 → 부채꼴 넓이로 귀결한다. 네 문항 모두 "구해야 할 것"이 마지막에 있고, 중간 단계를 스스로 세워야 도달한다.
4·10번은 학생 대화 형식으로 5개 진술을, 5·16번은 <보기> 4~6개를, 11·12번은 조건–결론 연결 5쌍을 전부 검증하게 한다. 하나만 틀려도 선지가 달라지므로 "대략 알기"가 통하지 않는다. 특히 10번은 외심·내심의 다섯 가지 서술 중 참이 단 하나(슬기)뿐이다.
15번은 사각형 AOBC가 평행사변형이라는 조건에서 △ABC = △AOB임을 읽어내면, 삼각형 넓이가 상쇄되어 색칠한 부분이 부채꼴 60°의 값 3π/2로 깔끔히 정리된다. 무리수 √3 항을 남기고 계산하면 선지에 없는 값이 나온다. 서답형3도 대각선이 만드는 네 삼각형의 넓이가 모두 같다는 사실이 출발점이다.
외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같고 세 변의 수직이등분선의 교점, 내심은 세 변까지의 거리가 같고 세 각의 이등분선의 교점이다. 6·10번은 이 네 항목을 교차로 섞어 냈고, 서답형2·4(18점)는 그 정의를 그대로 길이 계산에 사용해야 풀린다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
그래프가 (0,2)와 (3,0)을 지나므로 기울기는 −2/3, y절편은 2다. 선지 ③은 y절편을 3(=x절편)으로, ⑤는 기울기를 −3/2(역수)로 바꿔 놓았다. 정답 ②의 ab=−4/3만 성립한다. 절편 두 값을 먼저 표에 적고 선지를 대조해야 실수를 막는다.
∠A의 외각이 110°이므로 ∠A=70°이고, 여기서 ①A가 꼭지각(70·55·55) ②A가 밑각(70·70·40) 두 경우로 갈린다. 가능한 내각은 40·55·70 세 값(ㄴ·ㄷ·ㄹ)뿐인데, 110을 내각으로 남겨 ㅂ까지 고르면 ②·⑤로 빠진다.
△OAF≡△OCF(③)는 F가 AC의 중점이므로 성립하지만, △OCE와 △OCF(④)는 EC=BC/2, FC=AC/2로 대응변이 다르다. "외심 주변 직각삼각형은 다 합동"이라는 통념이 함정이다. 합동은 같은 변을 반으로 나눈 짝끼리만 성립한다.
∠BEC=60°는 E 아래쪽 각이다. △ABE≡△ADE(SAS)에서 ∠AEB=∠AED=180°−60°=120°, ∠DAE=45°이므로 ∠ADE=15°(③)다. 60°를 내각으로 그대로 써서 180−45−60=75° 방향으로 가면 선지에조차 없다.
사각형 AOBC가 평행사변형이므로 네 변이 모두 반지름 3과 같아 △AOC·△BOC가 정삼각형이 되고 ∠AOB=120°다. △ABC=△AOB이므로 삼각형 넓이 9√3/4가 상쇄되어 답은 3π/2(②). 삼각형을 빼지 않고 부채꼴 120°만 쓰면 3π(④)로 잘못 간다.
지문은 "AC에 내린 수선의 발"로 적혀 있으나 그림의 D는 BC 위에 있고 DC=8이 BC 쪽에 표기돼 있다. △BOC의 넓이 48을 쓰려면 OD가 △BOC의 높이여야 하므로 그림 기준(D∈BC)으로 읽는 것이 유일한 정합적 해석이다. BC=16, OD=6, 반지름 OC=10.
사각형 ABCD가 평행사변형이려면 ax+by=4가 y=x/2+1과 평행해야 한다(−a/b=1/2 → b=−2a). 이 관계를 먼저 세우지 않고 네 교점을 문자로 두면 미지수가 늘어 계산이 무너진다. 이후 세로 간격 1+2/a에 가로폭 6을 곱해 18 → a=1, b=−2.
네 문항 모두 조건란에 "각 단계의 문제를 해결하는 과정을 자세히 서술할 것"이 박혀 있고, 서답형1은 직선의 식 유도, 서답형2는 외접원 위치 설명, 서답형3은 풀이 과정의 그림 표현, 서답형4는 OD의 의미 기술을 따로 요구한다. 최종값만 쓰면 40점 중 상당액이 증발한다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형1은 (평행 조건 → 직선의 식 → 밑변 3√5·높이 6√5/5 → a,b), 서답형3은 (△BCD=66 → 넓이 132 → 높이 12 → BD=20)처럼 조건란이 곧 배점 항목이다. 답이 맞아도 중간 단계를 빠뜨리면 감점되므로, 풀이를 쓸 때 조건란 항목마다 한 줄씩 번호를 붙여 대응시키는 습관을 들인다.
평행사변형이 되는 5가지 조건, 직사각형·마름모·정사각형이 되는 추가 조건을 한 장으로 만들고, 11·12번처럼 조건을 주고 도형을 맞히는 방향과 도형을 주고 성질을 맞히는 방향을 모두 연습한다. "AB=DC는 평행사변형에서 이미 참이라 추가 정보가 아니다" 같은 판정이 핵심이다.
가로에 외심/내심, 세로에 '교점의 정체'와 '거리가 같은 대상'을 놓은 4칸 표를 완성해 두면 6·10번 유형(7점)은 즉답이 된다. 여기에 직각삼각형 전용 공식(외접원 R=빗변/2, 내접원 r=(두 변의 합−빗변)/2)을 붙이면 서답형2(10점)까지 한 번에 방어된다.
3점 문항 5개(1·6·7·8·14번, 15점)는 도합 8분 안에 끝내고, 남은 시간을 13·15·16번과 서답형에 몰아준다. 특히 16번은 보기 6개를 모두 검증해야 하므로 △ABC≡△EAD, △AEC≡△DCE, AB=DC가 참이라는 결론까지 가는 데 시간이 필요하다. 실전 모의로 '3점 구간 속도'를 먼저 확보하는 것이 우선이다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 일차함수 | 함수값 조건으로 상수 결정 후 함숫값 합 | 3 | 하 | ④ | f(2)=6 → a=1, f(x)=2x+2 → 4+8=12 |
| 2 | 일차함수 | 그래프에서 기울기·절편 읽고 선지 참·거짓 | 4 | 중 | ② | (0,2),(3,0) → a=−2/3, b=2 → ab=−4/3만 성립 |
| 3 | 일차함수 | 세 일차방정식의 그래프가 한 점에서 만날 조건 | 4 | 중 | ① | 계수가 확정된 두 식으로 교점 (6,−2) 먼저 → 대입해 a=1 |
| 4 | 삼각형의 성질 | 이등변삼각형·직각삼각형 합동 명제 5개 판별 | 3 | 중 | ⑤ | 꼭지각 이등분선은 밑변을 수직이등분 → 두 직각삼각형 합동(범규) |
| 5 | 삼각형의 성질 | 외각 조건 + 이등변삼각형 경우분류 | 4 | 상 | ③ | ∠A=70° → {70,55,55} 또는 {70,70,40} → 가능한 값 40·55·70 (ㄴㄷㄹ) |
| 6 | 외심과 내심 | 외심의 기본 성질 중 옳지 않은 것 | 3 | 하 | ④ | EC=BC/2 ≠ FC=AC/2 → △OCE와 △OCF는 합동이 아님 |
| 7 | 외심과 내심 | 외심에서 생기는 세 각의 합 공식 | 3 | 하 | ③ | ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90° → 90−16−50=24° |
| 8 | 삼각형의 성질 | 피타고라스 정리로 정사각형의 넓이 | 3 | 하 | ⑤ | 넓이=AC²=5²+4²=41 (길이를 구할 필요 없음) |
| 9 | 외심과 내심 | 내심의 각 이등분 성질로 각 계산 | 4 | 중 | ② | ∠B=40°, ∠C=70° → ∠A=70° → ∠DAI=∠A/2=35° |
| 10 | 외심과 내심 | 외심·내심 정의 진술 5개 중 참인 것 | 4 | 중 | ① | 내심 → 세 변까지의 거리가 같다(슬기)만 참. 나머지는 외심·내심 정의 교차 오류 |
| 11 | 사각형의 성질 | 추가 조건 → 특수 사각형 연결 판별 | 4 | 중 | ① | 평행사변형 + 대각선 수직 = 마름모. ②④는 직사각형, ③은 이미 참인 조건 |
| 12 | 사각형의 성질 | 평행사변형이 되는 조건 식별 | 3 | 중 | ⑤ | OA=OC=4, OB=OD=6 → 두 대각선이 서로를 이등분 |
| 13 | 사각형의 성질 | 정사각형 대각선 위의 점과 합동 삼각형 | 5 | 상 | ③ | △ABE≡△ADE → ∠AED=180−60=120°, ∠DAE=45° → ∠ADE=15° |
| 14 | 사각형의 성질 | 직사각형 대각선이 만드는 이등변삼각형 | 3 | 하 | ④ | ∠AOB=180−118=62°, OA=OB → ∠OAB=(180−62)/2=59° |
| 15 | 사각형의 성질 | 원 위의 평행사변형 + 등적변형 + 부채꼴 넓이 | 5 | 상 | ② | 네 변이 모두 반지름 3 → ∠AOB=120°, △ABC=△AOB로 상쇄 → 3π/2 |
| 16 | 사각형의 성질 | 평행사변형 위 이등변 조건과 합동 보기 6개 | 5 | 상 | ⑤ | ㄷ(△ABC≡△EAD)·ㄹ(AB=DC)·ㅁ(△AEC≡△DCE)만 참, ㄱㄴㅂ은 반례 존재 |
| 서답형 1 | 일차함수 | 네 직선이 만드는 평행사변형의 넓이 → 상수 결정 | 10 | 상 | a=1, b=−2 | 평행 조건 b=−2a → 세로 간격 (1+2/a)×가로 6=18 → a=1. 밑변 AB=3√5, 높이 6√5/5 |
| 서답형 2 | 외심과 내심 | 직각삼각형의 외접원·내접원 반지름과 넓이 차 | 10 | 중 | 84π | 외심=빗변의 중점 → R=10. r=(16+12−20)/2=4 → 100π−16π=84π |
| 서답형 3 | 사각형의 성질 | 부분 삼각형 넓이 → 높이 → 대각선 길이 | 12 | 상 | BD=20 | △BCD=66, 넓이 132 → 높이 12 → 13²−12²로 수평 5 (∠B 예각) → √(16²+12²)=20 |
| 서답형 4 | 외심과 내심 | 외심에서 변에 내린 수선과 삼각형 넓이 | 8 | 중 | OD=6, R=10 | D는 중점 → BC=16, 48=½·16·OD → OD=6, OC=√(8²+6²)=10 |
운암중학교 2학년 2025학년도 2학기 중간고사(1차지필) 수학은 선택형 16문항 60점, 서답형 4문항 40점으로 총 20문항 100점이다. 서답형이 전체 배점의 40%를 가져가 한 문항의 무게가 평균 10점에 이른다. 단원별 배점은 사각형의 성질 7문항 37점, 삼각형의 외심과 내심 6문항 32점, 일차함수 4문항 21점, 삼각형의 성질 3문항 10점 순으로, 도형 두 단원만으로 69점이 결정된다. 난이도는 상 6문항 41점, 중 9문항 44점, 하 5문항 15점이다. 1~3번에 일차함수를 배치해 1학기 연계를 확인한 뒤 4번부터 곧장 도형으로 진입시키고, 5점짜리 13·15·16번을 선택형 끝에 몰아 시간 압박까지 설계에 포함시켰다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 결과 수치를 주고 미지수를 되짚게 하는 역추적 설계다. 서답형1(10점)은 넓이 18에서 높이를 거쳐 상수 a=1, b=−2를, 서답형3(12점, 최고배점)은 △BCE=33에서 평행사변형 넓이 132와 높이 12를 거쳐 BD=20을, 서답형4(8점)는 △BOC=48에서 OD=6과 반지름 10을 복원한다. 15번(5점)까지 묶으면 4문항 35점이 같은 발상을 공유한다. 두 번째 축은 명제 전수 판별형으로 4·5·10·11·12·16번 6문항 23점이 "옳은 것만 있는 대로"를 요구해 부분 지식을 차단한다. 최고배점 서답형3은 넓이에서 높이로, 다시 피타고라스로 이어지는 3단 연결과 ∠ABC<90° 조건에 의한 경우 배제를 동시에 요구한다. 결국 이 시험이 측정한 것은 공식 암기가 아니라 주어진 수치를 도형의 구조로 환원해 거꾸로 추적하는 능력이다.
쉽게 말해 이번 시험은 외운 공식에 바로 대입해 끝나는 문제를 5문항 15점만 남기고, 나머지 85점을 한 번 더 생각해야 하는 문제로 채웠다. 서답형 네 문항의 조건란은 예외 없이 "각 단계의 문제를 해결하는 과정을 자세히 서술할 것"을 명시했고, 여기에 더해 서답형1은 직선의 식을 찾는 과정, 서답형2는 외접원의 위치 설명, 서답형3은 풀이 과정의 그림 표현, 서답형4는 OD의 의미 기술을 따로 요구한다. 즉 최종 답이 맞아도 과정을 쓰지 않으면 40점 중 상당액이 그대로 날아간다. 따라서 실점 원인은 계산 실수보다 조건을 도형 언어로 옮기는 독해력, 그리고 근거를 문장으로 남기는 서술력에서 먼저 찾아야 한다.