신화수학전문학원 · 시험지 문항분석 리포트
CONFIDENTIAL · 원내 학습지도용
선택형 16문항 65점 + 서답형 6문항 35점, 총 22문항 100점. 이차방정식 41점과 이차함수 59점의 두 축으로 구성되었고, 서답형 비중이 35%에 달해 풀이 과정 서술력이 총점을 좌우하는 시험이다.
총 22문항 100점 · 선택형 1~16번(65점), 서답형 1~6번(35점) · 서답형은 풀이 과정 서술 필수
이차함수 계열 13문항 59점(59%) vs 이차방정식 계열 9문항 41점(41%) — 이차함수 쪽으로 무게중심이 기운 구성
이번 시험의 변별력을 만드는 축
식이 주어지고 값을 구하는 순방향 문항보다, 그래프나 조건이 먼저 주어지고 a, b, p, q를 되찾는 역방향 문항이 25점을 차지한다. 9번은 꼭짓점 (2,5)와 x절편 5로 a=−5/9를 복원해야 f(1)=40/9가 나오고, 서답형5는 x절편 0과 4, 통과점 (1,9) 세 정보로 y=−3x(x−4)를 세워야 한다.
근을 일일이 구하지 않고 두 근의 차·합·곱이나 축에 대한 대칭으로 우회하는 문항이 16점이다. 15번은 AB=6을 두 근의 차 2√(4+k)=6으로 옮기면 k=5가 한 줄에 나오고, 16번은 축 x=4에 대한 대칭으로 A=(8−a, b)를 잡아야 둘레식이 a 하나로 정리된다. 서답형2는 p+1/p=6에서 (p−1/p)²=32를 유도하는 전형적 변형이다.
5번은 (x−a)²=b로, 서답형4는 꼭짓점 좌표로, 12번은 최댓값으로, 서답형1은 판별식(중근)으로 — 표현만 다를 뿐 전부 완전제곱 처리 한 가지 기술을 묻는다. 18점이 같은 계산 절차 위에 얹혀 있다.
서답형 6문항 35점이 총점의 3분의 1을 넘고, 시험지에는 "물음에 알맞은 내용을 서답형 답안지의 해당란에 서술하시오. (단, 풀이 과정을 반드시 쓸 것)"이 명시되어 있다. 서답형2(6점, 부호 판정), 서답형3(6점, 시간 조건 확인), 서답형6(7점, 최고배점·조건 2개 연립)은 결론만으로는 배점을 다 받기 어렵다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
x=2를 만족시키는 식을 찾다 보면 ① x−2=0을 고르기 쉽다. 그러나 발문은 이차방정식을 요구하므로 일차식 ①과 방정식 형태가 아닌 ⑤는 탈락. 근 조건과 차수 조건을 동시에 만족하는 ③ x²−x−2=0만 남는다.
x²−6x−1=2x²에서 좌변만 보고 (x−3)²=10으로 처리하면 a=3, b=10이 되어 오답. 반드시 한 변으로 모아 x²+6x+1=0을 만든 뒤 (x+3)²=8로 가야 a=−3, b=8, a+b=5가 나온다.
y=−x²과 y=½x²의 폭 비교에서 |−1|=1>½이므로 "폭이 좁다"는 ③은 옳은 설명이다. 실제 오류는 ⑤로, x<0 구간에서 x가 증가하면 y=−x²의 값은 −4→−1처럼 증가한다.
구한 식은 y=¼x²−7, 비교 대상은 y=−¼x². 계수의 절댓값이 같아도 부호가 다르면 평행이동만으로는 절대 포갤 수 없다(대칭이동이 필요). 이 한 줄 때문에 ⑤가 아니라 ④가 정답이 된다.
둘레 조건에서 a²−10a+24=0 → a=4 또는 6. a=4면 가로 길이 2a−8=0이 되어 직사각형이 성립하지 않는다. 조건에 맞는 a=6, b=12를 택해야 ab=72이며, a=4를 쓰면 64라는 선지에 없는 값이 나와 다시 풀게 된다.
서답형2는 (p−1/p)²=32에서 ±4√2 중 p>3 조건으로 양수를 택해야 하고, 서답형3은 (t−6)²=0의 중근 t=6이 P·Q가 각각 변 위에 남아 있는 범위(0<t≤12)인지 확인해야 한다. 이 확인 문장을 쓰지 않으면 과정 점수가 깎인다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
하위 15점은 4문항뿐이라 기본만으로는 60점대에 머문다. 2·3·5·8·9·10·11·13·14번과 서답형1·5까지 51점이 실제 등급을 결정하는 본체다. 이 12문항은 모두 한 가지 개념 + 한 번의 조건 대입으로 끝나므로, 유형별 3문제씩 반복해 계산 실수 0을 목표로 삼는다.
9·10·14번과 서답형4·5·6은 모두 "정보를 보고 식을 세우는" 문항이다. 꼭짓점형 y=a(x−p)²+q / x절편형 y=a(x−α)(x−β) / 일반형 y=ax²+bx+c 중 어느 틀을 쓸지 3초 안에 고르는 훈련을 한다. 틀 선택만 맞으면 미지수가 하나로 줄어 계산이 절반이 된다.
6·15·16번과 서답형2·3·6은 전부 문장이나 그림 속 조건을 식으로 옮기는 지점에서 막힌다. AB=6 → 두 근의 차, 둘레 32 → 2(가로+세로)=32, 꼭짓점이 직선 위 → 좌표를 직선식에 대입. 조건 한 줄 = 방정식 한 개로 대응시키는 표를 직접 만들어 정리한다.
"풀이 과정을 반드시 쓸 것"이 명시된 시험이므로, 답만 맞아도 만점이 보장되지 않는다. 식 세우기 → 정리·계산 → 조건에 맞는 해 선택을 줄을 바꿔 가며 쓰고, 마지막에 "p>3이므로 4√2", "직사각형이 되려면 a>4이므로 a=6"처럼 해를 고른 이유를 반드시 한 줄 남긴다.
전 22문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 방정식 풀이 | 주어진 근을 갖는 이차방정식 판별 | 3 | 하 | ③ | 각 식에 x=2를 대입하되 '이차'방정식이라는 차수 조건을 함께 확인 → x²−x−2=0 |
| 2 | 방정식 풀이 | 해를 대입해 미정계수 a 결정 | 4 | 중 | ② | x=1 대입 → 2a²+a−3=0 → (2a+3)(a−1)=0, 양수 조건으로 a=1 |
| 3 | 방정식 풀이 | 일차항 계수와 상수항을 바꾼 식의 해 역이용 | 4 | 중 | ② | 바꾼 식 x²+(k+1)x+k=0에 x=2 대입 → 3k+6=0 → k=−2 |
| 4 | 방정식 활용 | 연속하는 세 자연수의 조건식 | 4 | 중 | ④ | n−1, n, n+1로 두면 3·(2n)+7=n² → n²−6n−7=0 → n=7, 세 수의 합 21 |
| 5 | 방정식 풀이 | (x−a)²=b 꼴로의 완전제곱 변형 | 4 | 중 | ③ | 2x²을 이항해 x²+6x+1=0 → (x+3)²=8 → a=−3, b=8, a+b=5 |
| 6 | 방정식 풀이 | 알콰리즈미 도형 해법 과정 해석 | 5 | 상 | ③ | x²+12x=x(x+12), 6·6으로 분할, 더하는 정사각형 36, (x+6)²=81, x=3 — 24는 어느 칸에도 오지 않음 |
| 7 | 함수 그래프 | 이차항 계수의 절댓값과 그래프의 폭 | 3 | 하 | ③ | |a|가 작을수록 폭이 넓다 → |−½|=0.5가 최소 |
| 8 | 함수 그래프 | y=−x²의 그래프 성질 5개 판정 | 4 | 중 | ⑤ | x<0에서 x가 증가하면 y=−x²은 −4→−1로 증가 → ⑤가 틀린 설명 |
| 9 | 함수 그래프 | 그래프에서 계수 복원 후 함숫값 계산 | 4 | 중 | ④ | 꼭짓점 (2,5)로 f(x)=a(x−2)²+5, f(5)=0 → a=−5/9, f(1)=40/9 |
| 10 | 함수 그래프 | 꼭짓점·통과점으로 식 결정 + 보기 4개 판정 | 4 | 중 | ④ | y=¼x²−7. ㄱ·ㄴ·ㄷ 참, ㄹ은 a의 부호가 반대라 평행이동으로 포갤 수 없어 거짓 |
| 11 | 함수 그래프 | 평행이동한 그래프의 통과점 | 4 | 중 | ② | y=(x−2)²−3에 x=5 대입 → k=9−3=6 |
| 12 | 함수 활용 | 물 로켓의 최고 높이(최댓값) | 4 | 하 | ① | y=−5x²+10x+1=−5(x−1)²+6 → 최고 높이 6m |
| 13 | 함수 그래프 | x축에 대한 대칭이동과 통과점 | 4 | 중 | ④ | y=−2x²의 x축 대칭은 y=2x². 2k²=8 → k=±2, 양수 조건으로 k=2 |
| 14 | 함수 그래프 | 축과 통과점으로 p, q 결정 | 4 | 중 | ② | 축이 x=3이므로 p=3, (6,7) 대입 → ⅓·9+q=7 → q=4, pq=12 |
| 15 | 함수 활용 | x축과 만나는 두 점 사이의 거리 | 5 | 상 | ① | 두 근은 2±√(4+k), 차가 2√(4+k)=6 → 4+k=9 → k=5 (근을 직접 구할 필요 없음) |
| 16 | 함수 활용 | 포물선에 내접한 직사각형의 둘레 | 5 | 상 | ⑤ | 축 x=4 대칭으로 가로 2a−8, 세로 −a²+8a. 둘레 32 → a²−10a+24=0 → a=6(a=4는 가로 0), b=12, ab=72 |
| 서답형 1 | 방정식 풀이 | 중근을 가질 조건(판별식) | 5 | 중 | k = 5/2 | D=(2k−1)²−16=0 → 2k−1=±4 → k=5/2 또는 −3/2, 양수 조건으로 5/2 |
| 서답형 2 | 방정식 풀이 | 근의 성질을 이용한 식의 값 | 6 | 상 | 4√2 | p²−6p+1=0 → p+1/p=6 → (p−1/p)²=6²−4=32. p>3이므로 양수인 4√2 |
| 서답형 3 | 방정식 활용 | 두 동점이 만드는 삼각형의 넓이 | 6 | 상 | 6초 후 | PB=24−2t, BQ=3t → ½(24−2t)(3t)=108 → t²−12t+36=0 → (t−6)²=0 → t=6 (0<t≤12 만족) |
| 서답형 4 | 함수 그래프 | 완전제곱을 이용한 꼭짓점 좌표 | 5 | 하 | (2, 7) | y=−x²+4x+3=−(x²−4x+4)+4+3=−(x−2)²+7 |
| 서답형 5 | 함수 활용 | 그래프 해석 후 식 복원 → 함숫값 | 6 | 중 | 12 m | x절편 0·4이므로 y=ax(x−4), (1,9) 대입 → −3a=9 → a=−3. x=2에서 y=−3·2·(−2)=12 |
| 서답형 6 | 함수 활용 | 통과점 + 꼭짓점 조건의 연립 | 7 | 상 | a = 2, b = 5 | (−1,11) 대입 → 3a+b=11. y=a(x−1)²−a+b이므로 꼭짓점 (1, b−a), 이를 y=−2x+5에 대입 → b−a=3. 연립 → a=2, b=5 |
운암중학교 3학년 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 16문항 65점과 서답형 6문항 35점, 모두 22문항 100점으로 구성되었다. 서답형이 35%를 차지해 과정 서술이 총점의 3분의 1을 좌우한다. 단원별 배점은 이차함수의 그래프 8문항 32점(32%), 이차방정식의 풀이 7문항 31점(31%), 이차함수의 활용 5문항 27점(27%), 이차방정식의 활용 2문항 10점(10%) 순으로, 이차함수 계열이 13문항 59점을 차지한다. 난이도는 상 6문항 34점, 중 12문항 51점, 하 4문항 15점 — 기본 확보 구간이 15점뿐이라 중난도 51점의 완주 여부가 등급을 가른다. 1~6번을 이차방정식, 7~14번을 이차함수 그래프로 순서대로 배열하고 5점 문항(6·15·16번)을 각 블록 끝에 놓아 단원 마무리마다 변별을 걸었다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 역추적이다. 9번(4점)은 꼭짓점 (2,5)와 x절편 5에서 a=−5/9를, 10번(4점)과 14번(4점)은 꼭짓점·축·통과점에서 계수를, 서답형5(6점)는 x절편 0·4와 점 (1,9)에서 식 전체를 복원하게 한다. 서답형6(7점)까지 더해 역추적형 5문항이 25점이다. 두 번째 축은 근을 구하지 않고 관계로 우회하는 계열로, 15번(5점, AB=6을 두 근의 차 2√(4+k)=6으로 치환), 16번(5점, 축 x=4 대칭으로 가로 2a−8 도출), 서답형2(6점, p+1/p=6에서 (p−1/p)²=32 유도)가 16점을 담당한다. 최고배점 서답형6(7점)은 통과점 조건과 "꼭짓점이 일차함수 그래프 위"라는 조건을 3a+b=11, b−a=3으로 번역해 연립해야 하는, 조건이 2단으로 중첩된 유일한 문항이다. 이 시험이 측정한 것은 계산 속도가 아니라 조건을 방정식 한 줄로 옮기는 번역 능력이다.
학부모 관점에서 이 시험은 "공식을 외웠는가"가 아니라 "그림과 문장을 식으로 바꿀 수 있는가"를 묻는 시험이다. 답이 맞아도 점수가 깎일 수 있다는 점이 특히 중요하다. 시험지에는 "풀이 과정을 반드시 쓸 것"이 명시되어 있어, 서답형 35점은 식을 세운 근거와 여러 해 중 하나를 고른 이유까지 적어야 온전히 인정된다. 실제로 서답형2는 ±4√2 중 p>3이므로 양수를 택한다는 한 줄이, 16번은 a=4를 버리고 a=6을 택한다는 한 줄이 정답을 갈랐다. 따라서 아이가 점수를 잃었다면 원인을 계산력보다 조건 독해력과 서술력에서 먼저 찾아야 한다. 답을 맞히고도 과정에서 감점됐다면 교정 기간은 짧고, 조건을 식으로 옮기지 못해 손을 못 댔다면 유형별 번역 훈련이 필요하다.